1、南开区高三年级模拟考试(一)参考答案 第 1 页（共 7 页）20192020 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(一)参考答案 数学学科 一、选择题：（本题共 9 小题，每题 5 分，共 45 分）题 号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）答 案CABDBDCAB二、填空题：（本题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分）（10）2；（11）52；（12）23；（13）125，6364；（第一个空 2 分，第二个空 3 分）（14）(12，1)；（15）132，5 714（第一个空 2 分，第二个空 3 分）三、解答题：（其他正确解法请比照给分）（16）解：（）由3 ac
2、osCcsinA=0 得3 sinAcosCsinCsinA=0，1 分sinA0，3 cosCsinC=0，即 tanC=3，2 分0C，C=3 3 分SABC=34 ab=3 32，即 ab=6，又 ab=1，解得 a=3，b=26 分由余弦定理得 c2=a2+b22abcosC=7，解得 c=7，7 分从而 cosA=2222bcabc=7148 分（）由（）得 sinA=3 2114，南开区高三年级模拟考试(一)参考答案 第 2 页（共 7 页）sin2A=2sinAcosA=3 314，cos2A=2cos2A1=1314，11 分cos(2AC)=cos2AcosC+sin2Asi
3、nC=(1314)21+3 314 23=1714 分（17）解：（）解法 1：在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1CC1，PCC1 即为 PC 与 AA1 所成角 CC1底面 ABC，CC1BC，BP=PC1，PCC1=BC1C，不妨设 AB=1，AB=AC=AA1，BC1=3，cosPCC1=PCC1=33 4 分（）解法 2：如图，以 A 为原点，建立空间直角坐标系 D-xyz，不妨设 AB=1，则 B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，1)，C1(0，1，1)BP=PC1，P(12，12，12)，CP=(12，12，12)，又1AA=(0，0，1)，cos=11|CP
4、 AACP AA=33，PC 与 AA1 所成角的余弦值为33 5 分 P A C BA1C1B1zxy南开区高三年级模拟考试(一)参考答案 第 3 页（共 7 页）（）设 P(a，b，c)，由 BP=21PC，得(a1，b，c)=2(a，1b，1c)，解得 P(2 1，22，22)，CP=(2 1，12，22)，设 PC 与平面 ABB1A1 所成角为，平面 ABB1A1 的法向量为 n1=(0，1，0)，所以 sin=|cos|=11|CPCPnn=|12|2 22=12，=30 10 分 （）设 BP=1BC=(，)，则CP=CB+BP=(1，1，0)+(，)=(1，1，)设平面 ACP
5、 的法向量为 n2=(a，b，c)，则220 10011110ACxyzyCPxyzxyz()()()()()()，nn取 z=1，得 x=，即 n2=(，0，1)又平面 A1AC 的法向量为 n3=(1，0，0)，cos45=2323|nnn n=22|1()，解得=12，1BPPC=1 15 分（18）解：（）n2 时，an=SnSn1=22nn2121nn()()=n，n=1 时，a1=S1=1，满足上式，an=n3 分南开区高三年级模拟考试(一)参考答案 第 4 页（共 7 页）bn+1bn=2n+1，bnbn1=2n（n2），bn+1=2bn1（n2），bn的奇数项和偶数项分别是 2
6、 为首项，2 为公比的等比数列，bn=12222nnnn，为奇数，为偶数.7 分（）21121niiiia bb()=1122niiii()=12niii1 2niii，8 分设 Mn=1x+2x2+3x3+(n1)x n1+nx n（x0，1），xMn=1x2+2x3+3x4+(n1)xn+nxn+1 得(1x)Mn=x+x2+x3+xnnxn+1=11nxxx()nxn+1，Mn=1211nxnxnxx()()12 分12niii=12221 212nnn()()=(n1)2n+1+2，1 2niii=12111222112nnn()()=222nn，14 分从而21121niiiia b
7、b()=(n1)2n+1+22nn 15 分（19）解：（）由题设：3bc，232b ca，解得 a=2，b=3，椭圆 C 的方程为22143xy4 分南开区高三年级模拟考试(一)参考答案 第 5 页（共 7 页）（）当直线 l 与 x 轴重合时，|MF|=3|FN|，不合题意；当直线 l 与 x 轴不重合时，设直线 l 的方程为 x=ty+1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立2213412xtyxy，消去 x 整理得(3t2+4)y2+6ty9=0，有 y1+y2=2634tt，y1y2=2934t，7 分由|MF|=2|FN|，得 y1=2y2，联立得，22227293434ttt
8、()，解得 t=2 55直线方程为 5250 xy 10 分（）设 P(x0，y0)，当直线 l 与 x 轴重合时，点 P 在椭圆外，x02，x0+2 同号，由|PM|PN|=|PF|2，得(x02)(x0+2)=(x01)2，解得 x0=5211 分当直线 l 与 x 轴不重合时，由（）知，y1+y2=2634tt，y1y2=2934t，|PM|=21t|y1y0|，|PN|=21t|y2y0|，|PF|=21t|y0|，点 P 在椭圆外，y1y0，y2y0 同号，由|PM|PN|=|PF|2，得(y1y0)(y2y0)=y02，整理得 y1y2y0(y1+y2)=0，即2934ty0263
9、4tt=0，解得 y0=32t，代入直线 l 的方程 x=ty+1，得 x0=5214 分 点 P 在定直线 x=52上15 分（20）解：（）f(x)=a(lnx+1)axa1，1 分由曲线 y=f(x)在点(e，f(e)处的切线方程为 xye=0，南开区高三年级模拟考试(一)参考答案 第 6 页（共 7 页）知 ef(e)e=0，即 f(e)=aeea=0，f(e)=2aaea1=1，解得 a=15 分（）若函数 f(x)是(1，+)内的减函数，则 f(x)=a(lnx+1)axa10 在(1，+)恒成立a0，lnx+1xa10 在(1，+)恒成立6 分令 g(x)=lnx+1xa1，g(
10、x)=1x(a1)xa2，若 0a1，g(x)0，g(x)在(1，+)单调递增，g(x)g(1)=0 若 1a2，当 x(1，1111aa)时，g(x)0，g(x)单调递增，g(x)g(1)=0若 a2，当 x(1，+)时，g(x)0，g(x)单调递减，g(x)g(1)=0综上，a2 时，f(x)是(1，+)内的减函数10 分（）方程 f(x)=0方程 alnxxa1=0若 a=1，则 x=1 是方程 alnxxa1=0 的解，a1令 t=xa1，则 x=11at ，方程 alnxxa1=0方程1aa lnt=t若 a=0，方程1aa lnt=t 无实数根若 a0，a1，方程1aa lnt=t方程1aa=lntt令 h(t)=lntt，h(t)=21lntt，当 t(0，e)时，h(t)0，当 t(e，+)时，h(t)0，所以 h(t)在(0，e)上单调递增，在(e，+)上单调递减，h(t)h(e)=e1，h(t)(，e1)南开区高三年级模拟考试(一)参考答案 第 7 页（共 7 页）若方程1aa=lntt无实数根，则1aa e1，解得 a0 或 aee1，综上，a0 或 aee116 分