1、专题强化练(十八)1(2020承德第一次模拟)已知函数f(x)x3ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)若不等式f(x)mx2对xR恒成立，求m的取值范围解：(1)f(x)3x2exx3exx2ex(x3)，令f(x)0，得x3，则f(x)的单调递增区间为3，)；令f(x)0，得x3，则f(x)的单调递减区间为(，3)综上所述：f(x)的单调递增区间为3，)，单调递减区间为(，3)(2)当x0时，不等式f(x)mx2即00，显然成立当x0时，不等式f(x)mx2对xR恒成立，等价于mxex对xR恒成立设g(x)xex(x0)，g(x)(x1)ex，令g(x)0，得x0，得x1且x0.所以g(
2、x)ming(1).所以m，即m的取值范围为.2已知f(x)ln x.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)若对任意x0，均有x(2ln aln x)a恒成立，求正数a的取值范围解：(1)f(x)，x(0，)当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)为增函数，无极值当a0时，x(0，a)时，f(x)0，f(x)在(a，)为增函数，所以f(x)在(0，)有极小值，无极大值，f(x)的极小值为f(a)ln a1.(2)若对任意x0，均有x(2ln aln x)a恒成立，即对任意x0，均有2ln aln x恒成立，由(1)可知f(x)的最小值为ln a1，问题转化为2ln aln a1，即ln a1
3、，故0ae，故正数a的取值范围是(0，e3(2020河南省月考)已知函数f(x)axb在点(e，f(e)处的切线方程为yax2e.(1)求实数b的值；(2)若存在x0e，e2，满足f(x0)e，求实数a的取值范围解：(1)函数f(x)的定义域为(0，1)(1，)，因为f(x)axb，所以f(x)a.所以f(e)a，又f(e)eaeb，所以所求切线方程为y(eaeb)a(xe)，即yaxeb.又函数f(x)在点(e，f(e)处的切线方程为yax2e，所以be.(2)由题意得f(x0)ax0ee，所以问题转化为a在e，e2上有解令h(x)，xe，e2，则h(x).令p(x)ln x2，则当xe，e
4、2时，有p(x)0.所以函数p(x)在区间e，e2上单调递减，所以p(x)p(e)ln e20.所以h(x)0，所以h(x)在区间e，e2上单调递减所以h(x)h(e2).所以实数a的取值范围为.4(2020长治模拟)已知函数f(x)exax1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)(x1x2x3)是曲线yf(x)上任意三点，求证：0时，由f(x)0知xln a，由f(x)0知，xln a，所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在ln a，)上单调递增(2)证明：由题可知：要证，需证，即需证 ，设x2x1t1，x3x1t2，则需证：当0t1t
5、2时，0)，则g(t)，设h(t)et(t1)1，则h(t)tet0，所以h(t)在(0，)单调递增，所以h(t)h(0)0，于是g(t)0，g(t)在其定义域内单调递增，所以，当t1t2时，.所以不等式0，由f(1)a10，解得a1.则f(x)xxln x，所以f(x)ln x，令f(x)0，解得x1；令f(x)0，解得0x1，即m2，当0x1时，f(x)x(1ln x)0且x0时，f(x)0；当x时，显然f(x).如图，由图象可知，m10，即m1，由可得2m1.因此实数m的取值范围是(2，1)6(2020洛阳第三次模拟)已知函数f(x)ln xax1.(1)若对任意x(0，)，f(x)0恒成立，求a的取值范围；(2)求证：1时，ln xax10，不符合题意，若a0，f(x)0得0x，f(x)，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)maxfln a1ln 0，所以ln a0，a1，所以a的取值范围1，)(2)证明：由(1)知，当a1，ln xx1(x0)，所以ln，lnlnln，而，所以ln，所以(nN*)