1、2.3 函数的奇偶性与周期性第一章集合与常用逻辑用语第二章函数的概念、基本初等函数()及函数的应用1奇、偶函数的概念(1)偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有，那么函数 f(x)就叫做偶函数(2)奇函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有，那么函数 f(x)就叫做奇函数2奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于对称；奇函数的图象关于对称3具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于，即“定义域关于”是“一个函数具有奇偶性”的条件4周期函数的概念(1)周期、周期函数 对于函数 f(x)，如果存在一个 T，使得当 x 取定义域内的值时，都
2、有，那么函数 f(x)就叫做周期函数T 叫做这个函数的周期(2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个_的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期5函数奇偶性与单调性之间的关系(1)若函数 f(x)为奇函数，且在a，b上为增(减)函数，则 f(x)在b，a上为；(2)若函数 f(x)为偶函数，且在a，b上为增(减)函数，则 f(x)在b，a上为6奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)奇奇，偶偶，奇奇，偶偶，奇偶.7函数的对称性如果函数 f(x)，xD，满足xD，恒有 f(ax)f(bx)，那么函数的图象有对称轴 xab2；如果函数 f(x)，xD，满足xD，恒有f(a
3、x)f(bx)，那么函数的图象有对称中心ab2，0.8函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数 f(x)(xD)在定义域内有两条对称轴 xa，xb(ab)，则函数 f(x)是周期函数，且周期 T2(ba)(不一定是最小正周期，下同)(2)如果函数 f(x)(xD)在定义域内有两个对称中心 A(a，0)，B(b，0)(ab)，那么函数 f(x)是周期函数，且周期 T2(ba)(3)如果函数 f(x)，xD 在定义域内有一条对称轴 xa 和一个对称中心 B(b，0)(ab)，那么函数 f(x)是周期函数，且周期 T4|ba|.自查自纠1(1)f(x)f(x)(2)f(x)f(x)2y 轴 原点3原
4、点对称 原点对称 必要不充分4(1)非零常数 每一个 f(xT)f(x)(2)最小5(1)增(减)函数(2)减(增)函数6奇 偶 偶 偶 奇 1.(2019陕西西安中学模拟)设 f(x)x2g(x)，xR，若函数 f(x)为偶函数，则 g(x)的解析式可以为()A.g(x)x3 B.g(x)cosx C.g(x)1x D.g(x)xex 解：因为 f(x)x2g(x)，且函数 f(x)为偶函数，所以有(x)2g(x)x2g(x)，即 g(x)g(x)，所以 g(x)为偶函数，由选项可知，只有选项 B 中的函数为偶函数故选 B.2.(2019 全国卷)设 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x
5、)ex1，则当 x0 时，f(x)()A.ex1B.ex1 C.ex1D.ex1 解：当 x0 时，x0，则 f(x)f(x)(ex1)ex1.故选 D.3.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且满足 f(x1)f(x3)，当 x(2，0)时，f(x)2x，则 f(1)f(4)等于()A.1B.12C.12D.1 解：由于 f(x1)f(x3)，故 f(x)f(x4)，故函数 f(x)是周期为 4 的周期函数，又 f(x)为奇函数，故 f(1)f(4)f(1)f(0)21012.故选 C.4.(2018江苏)函数 f(x)满足 f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2，2上，f(x)cos
6、 x2，0 x2，x12，20 且 a1).解：(1)定义域要求1x1x0，所以1x1，所以 f(x)的定义域不关于原点对称，所以 f(x)不具有奇偶性(2)解法一(定义法)：当 x0 时，f(x)x22x1，x0，f(x)(x)22(x)1x22x1f(x)；当 x0 时，f(x)x22x1，x0，f(x)(x)22(x)1x22x1f(x)所以 f(x)为奇函数 解法二(图象法)：作出函数 f(x)的图象，由图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数(3)由4x20，|x3|30 得2x2 且 x0.所以 f(x)的定义域为2，0)(0，2，关于原点对称 所以 f(x)4x2（x3）3
7、4x2x.所以 f(x)f(x)，所以 f(x)是奇函数(4)由9x20，x290得 x3.所以 f(x)的定义域为3，3，关于原点对称 又 f(3)f(3)0，f(3)f(3)0.所以 f(x)f(x)所以 f(x)既是奇函数，又是偶函数(5)由1x1x0，得1x1，即 f(x)ln1x1x的定义域为(1，1)又 f(x)ln1x1xln1x1x1ln1x1xf(x)，故 f(x)为奇函数(6)因为函数的定义域为 R，又因为 f(x)f(x)logax（x）21loga(x x21)loga(x21x)loga(x21x)loga(x21x)(x21x)loga(x21x2)loga10.即
8、 f(x)f(x)，所以 f(x)为奇函数评析 判断函数奇偶性的步骤是：第一步，求函数定义域，看定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数，也不是偶函数；第二步，验证 f(x)是否等于f(x)，或验证其等价形式f(x)f(x)0 或f（x）f（x）1(f(x)0)是否成立.对于分段函数的奇偶性应分段验证，但验证过程往往比较繁琐，且容易判断错误，通常是用图象法来判断.对于含有 x 的对数式或指数式的函数常用“f(x)f(x)0”来判断.变式 1(1)在函数 yxcosx，yexx2，ylg x22，yxsinx 中，偶函数的个数是()A.3B.2C.1D.0 解：yxcosx 为奇函数，y
9、exx2 为非奇非偶函数，ylg x22与 yxsinx 为偶函数故选 B.(2)(2019贵州凯里一中模拟)已知 f(x)x2x1，g(x)x2，则下列结论正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数 B.f(x)g(x)是奇函数 C.f(x)g(x)是奇函数 D.f(x)g(x)是偶函数解：令 h(x)f(x)g(x)，则 h(x)x2x1x2x2xx2（2x1），定义域为(，0)(0，)因为 h(x)x2xx2（2x1）x（12x）2（2x1）h(x)，所以 h(x)f(x)g(x)是偶函数 令 F(x)f(x)g(x)x22（2x1），定义域为(，0)(0，)所以 F(x)（x）22（2x
10、1）x22x2（12x），因为 F(x)F(x)且 F(x)F(x)，所以 F(x)f(x)g(x)既不是奇函数也不是偶函数故选 A.(3)(2018山东枣庄二模)已知 f(x)axlog2(4x1)是偶函数，则 a()A.1B.1C.2D.2解法一：由已知可得 f(x)f(x)，所以axlog2(4x1)axlog2(4x1)，所以 log24x14x12ax，所以 log24x（4x1）4x（4x1）2ax，所以2x2ax，所以 a1.解法二：因为 f(x)axlog2(4x1)是偶函数，所以 f(1)f(1)，即 alog2(411)alog2(411)，解得 a1.故选A.(4)(20
11、19广西南宁三中模拟)设函数 f(x)log2（1x），x0，若 f(x)是奇函数，则 g(3)的值是()A.1B.3C.3D.1 解：因为 f(x)是奇函数，所以 f(3)f(3)，即 log2(13)g(3)1，则 g(3)3.故选 C.(5)已知函数 f(x)x2x，x0，x2x，x0.判断函数的奇偶性.解：当 x0 时，f(x)x2x，x0，f(x)(x)2xx2xf(x)；当 x0 时，f(x)x2x，x0，f(x)(x)2xx2xf(x)所以 f(x)是奇函数 另解：作图类型二 利用函数性质求解析式 例 2(1)函数 f(x)在 R 上为奇函数，且当 x0 时，f(x)x1，则当
12、x0 时，f(x)x1，所以当 x0，f(x)x1f(x)，即当 x0 时，f(x)(x1)x1.故填 x1.(2)已知函数 f(x)满足 f(x)f(x2)13.()求证：f(x)是周期函数；()若 f(1)2，求 f(99)的值；()若当 x(0，2时，f(x)x，试求 x(4，8时函数 f(x)的解析式.解：()证明：由题意知 f(x)0，则 f(x2)13f（x）.用 x2 代替 x得 f(x4)13f（x2）f(x)，故 f(x)为周期函数，且 4 为 f(x)的周期()若 f(1)2，则 f(99)f(2443)f(3)13f（1）132.()当 x(4，6时，x4(0，2，则 f
13、(x4)x4，又周期为 4，所以 f(x)f(x4)x4.当 x(6，8时，x6(0，2，则 f(x6)x6，根据周期为 4，则 f(x2)f(x6)x6.又 f(x)f(x2)13，所以 f(x)13f（x2）13x6.所以解析式为 f(x)x4，4x6，13x6，6x8.(3)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x1)2f(x)，当 x0，1时，f(x)x2x，则当 x4，3时 f(x)的解析式为_.解：当 x4，3时，x40，1，此时 f(x4)(x4)2x4x27x12，由 f(x1)2f(x)得 f(x4)2f(x3)4f(x2)8f(x1)16f(x)，故所求 f(x)的解析式
14、为 f(x)116(x27x12)故填 f(x)116(x27x12)评析 利用函数性质求解析式，主要有利用奇偶性、周期性、对称性及其他性质求解析式，关键在于把所求区间上的变量转化到已知区间.题(2)存在规律性：若 f(xa)f(x)b(常数)，则 2a 为 f(x)的周期(a0)；同理，f(xa)f(x)，f(xa)1f（x），f(xa)1f（x），f(xa)1f（x）1f（x）等均可推得 2a 为 f(x)的周期(a0).另外，关于周期函数应注意：周期函数的定义域必定至少一端是无界的；T 是 f(x)的周期，则 nT(nN*)也是 f(x)的周期.变式 2(1)已知 f(x)是 R 上的奇
15、函数，当 x0 时，f(x)x3ln(1x)，则当 x0 时，f(x)_.解：当 x0，f(x)(x)3ln(1x)，因为 f(x)是 R 上的奇函数，所以 f(x)f(x)(x)3ln(1x)x3ln(1x)故填 x3ln(1x)(2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且它的图象关于直线 x1 对称.()求证：f(x)是周期为 4 的周期函数；()若 f(x)x(0 x1)，求 x5，4时，函数 f(x)的解析式.解：()证明：由函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，有 f(x1)f(1x)，即有 f(x)f(x2)又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，故有 f(x)f(x
16、)故 f(x2)f(x)从而 f(x4)f(x2)f(x)，所以 f(x)是周期为 4 的周期函数()由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，有 f(0)0.x1，0)时，x(0，1，f(x)f(x)x.故 x1，0时，f(x)x.x5，4时，x41，0，f(x)f(x4)x4.从而，x5，4时，函数 f(x)x4.(3)已知定义在 R 上的 f(x)满足 f(1x)f(1x)，且当 x2时，f(x)ex2ex，则当 x0 时，f(x)的解析式为_.解：由 f(1x)f(1x)得，函数关于直线 x1 对称，即 f(2x)f(x)，当 x0 时，x0，则 2x2，有 f(2x)e(2x)2e2
17、x，故所求 f(x)的解析式为 f(x)e(2x)2e2x(x0)故填 f(x)e(2x)2e2x.类型三 奇偶性与单调性的综合问题例 3(1)(2017全国卷)函数 f(x)在(，)单调递减，且为奇函数.若 f(1)1，则满足1f(x2)1 的 x 的取值范围是()A.2，2B.1，1 C.0，4D.1，3 解：因为 f(x)为奇函数，所以 f(1)1，不等式1f(x2)1，即 f(1)f(x2)f(1)，因为 f(x)单调递减，所以1x21，解得1x3，故 x 的取值范围为1，3故选 D.(2)(2019 届全国卷五省优创名校联考)已知 f(x)为定义在 R上的奇函数，g(x)f(x)x，
18、且当 x(，0时，g(x)单调递增，则不等式 f(2x1)f(x2)x3 的解集为()A.(3，)B.3，)C.(，3D.(，3)解：由奇函数的性质结合题意可知函数 g(x)是定义在 R上的单调递增函数，不等式 f(2x1)f(x2)x3 即 f(2x1)(2x1)f(x2)(x2)，即 g(2x1)g(x2)，结合函数的单调性可得，2x1x2，解得 x3.故选 B.(3)(德州市 2019 届高三第二次练习)已知定义在 R 上的函数 f(x)在区间0，)上单调递增，且 yf(x1)的图象关于 x1 对称，若实数 a 满足f(log2a)f(2)，则 a 的取值范围是()A.0，14B.14，
19、C.14，4D.(4，)解：根据题意，yf(x1)的图象关于直线 x1 对称，则函数 f(x)的图象关于 y 轴对称，即函数 f(x)为偶函数，又由函数 f(x)在区间0，)上单调递增，可得 f(|log2a|)f(2)，则|log2a|2，即2log2a2，解得14a4，即 a 的取值范围为14，4.故选 C.评析 单调性和奇偶性是函数的两条重要基本性质.单调性与奇偶性之间有着密切的联系：奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，且 f(x)f(x)；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性，且 f(x)f(x)f(|x|).综合利用函数的单调性和奇偶性，可以解决很多函数问题，特别是
20、抽象函数问题.变式 3(1)(2019 届河南省名校联盟调研(三)已知定义在 R 上的函数 f(x)的图象关于 y 轴对称，且函数 f(x)在(，0上单调递减，则不等式 f(x)f(2x1)的解集为()A.，13(1，)B.(，1)13，C.13，1D.1，13 解：依题意，函数 f(x)是偶函数，且 f(x)在0，)上单调递增，故 f(x)f(2x1)f(|x|)f(|2x1|)|x|2x1|x2(2x1)23x24x10 x13或 x1.故选 A.(2)(2018太原检测)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(xy)f(x)f(y)(x，yR)，当 x0，则函数 f(x)在a，b上()A
21、.有最小值 f(a)B.有最大值 fab2 C.有最小值 f(b)D.有最大值 f(b)解：令 yx，得 f(0)f(x)f(x)，再令 xy0 得 f(0)0，代入得 f(x)f(x)，即 f(x)是奇函数，图象关于原点对称因为当x0，yR，xyf(y)，即 f(x)在 R 上是减函数，可得 f(x)在a，b上有最小值 f(b)，最大值 f(a)另解：依条件取 f(x)x.故选 C.(3)定义在 R 上的函数 yf(x)在(，a)上是增函数，且函数yf(xa)是偶函数，当x1a，且|x1a|f(x2)B.f(x1)f(x2)C.f(x1)f(x2)D.f(x1)f(x2)解：因为函数 yf(
22、xa)是偶函数，其图象关于 y 轴对称，把这个函数图象平移|a|个单位(a0 右移)可得函数 yf(x)的图象，因此函数 yf(x)的图象关于直线 xa对称，此时函数 yf(x)在(a，)上是减函数由于 x1a 且|x1a|f(x2)故选 A.类型四 函数周期性与奇偶性的应用例 4(1)(2019 惠州四月模拟)已知奇函数 f(x)(xR)满足 f(x4)f(x2)，且当 x(0，3)时，f(x)1x3sin2 x，则 f(2 020)()A.14B.13C.12D.12解：因为奇函数 f(x)(xR)满足 f(x4)f(x2)，所以 f(x6)f(x)，因为当 x(0，3)时，f(x)1x3
23、sin2 x，所以 f(2 020)f(33762)f(2)f(2)123sin 12.故选 D.评析 利用奇偶性和周期性，将待求的函数值转化为已知区间上的函数值求解.(2)已知函数 f(x)满足 f(x2)f(x2)，yf(x2)的图象关于y 轴对称，当 x(0，2)时，f(x)log2x2，则下列结论中正确的是()A.f(4.5)f(7)f(6.5)B.f(7)f(4.5)f(6.5)C.f(7)f(6.5)f(4.5)D.f(4.5)f(6.5)f(7)解：由题知 f(x)是以 4 为周期的周期函数，其图象的对称轴为x2.因为当 x(0，2)时，f(x)log2x2，所以 f(x)在区间
24、(0，2)上是增函数又 f(4.5)f(0.5)，f(7)f(3)f(21)f(21)f(1)，f(6.5)f(2.5)f(20.5)f(20.5)f(1.5)，且 00.511.52，所以f(0.5)f(1)f(1.5)，即 f(4.5)f(7)f(6.5)故选 A.评析 易知函数 f(x)在(0，2)上是增函数，根据图象的对称性及周期性，将待比较的函数值的自变量全部转化到(0，2)上，再比较大小.解这类问题建议数形结合，直观明了.变式 4(1)(2018湖北名校联考)已知定义在 R 上的函数 f(x)，对任意实数 x 均有 f(x4)f(x)2 2，若函数 f(x2)的图象关于直线 x2
25、对称，则 f(2 022)_.解：由函数 yf(x2)的图象关于直线 x2 对称可知，函数 f(x)的图象关于 y 轴对称，故 f(x)为偶函数由 f(x4)f(x)2 2，得 f(x44)f(x4)2 2f(x)，所以 f(x)是周期为 8 的偶函数，所以 f(2 022)f(25382)f(2)，再令 x2，则 f(2)f(2)2 2，又因为 f(2)f(2)，所以 f(2)2.故填 2.(2)(2019 届广东省汕头市两校高三第二次联考)设函数 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的函数，且对任意的实数 x，恒有 f(x)f(x)0，当 x1，0时，f(x)x2.若 g(x)f(x)lo
26、gax 在 x(0，)上有且仅有三个零点，则 a 的取值范围为_.解：因为 f(x)f(x)0，所以 f(x)f(x)，所以 f(x)是偶函数，根据函数的周期和奇偶性作出 f(x)的图象如图所示，因为 g(x)f(x)logax 在 x(0，)上有且仅有三个零点，所以 yf(x)和 ylogax 的图象在(0，)上只有三个交点，结合图象可得，所以loga31，loga51，a1，解得 3a5.故填(3，5)1.判断函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域(函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，如果函数定义域不关于原点对称，那么它不具有奇偶性)，若定义域关于原点对称，再判断 f(x)
27、与f(x)的关系，从而确定函数的奇偶性.2.奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了方便判断函数的奇偶性，有时需要将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(x)f(x)f(x)f(x)0f（x）f（x）1(f(x)0)进行判断.3.判断函数奇偶性的方法通常有(1)定义法：根据定义判断.(2)图象法：函数的图象能够直观地反映函数的奇偶性，f(x)为奇函数的充要条件是函数 f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数的充要条件是函数 f(x)的图象关于 y 轴对称.(3)运用奇、偶函数的运算结论.要注意定义域应为两个函数定义域的交集.4.判断周期函数的一般方法(1)定义法：应用定义法判断或
28、证明函数是否具有周期性的关键是从函数周期的定义出发，充分挖掘隐含条件，合理赋值，巧妙转化.运用“考点梳理”栏目中有关周期的结论可简化运算.(2)公式法：若函数 f(x)是周期函数，且周期为 T，则函数 f(axb)(a0)也为周期函数，且周期 T T|a|.5.函数奇偶性和周期性的应用已知奇(偶)函数或周期函数在定义域的某一区间内的解析式，求函数在另一区间或整体定义域内的解析式时，一定要注意区间的转换.如：若 x0，则x0；若 1x2，则 3x24 等.如果要研究其值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上.6.解题中要注意以下性质的灵活运用(1)f(x)为偶函数f(x)f(|x|).(2)若奇函数 f(x)在 x0 处有定义，则 f(0)0.(3)若 f(x)既是奇函数，又是偶函数，则它的图象一定在 x 轴上.
