1、备考训练10空间向量与空间角大题备考1如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值22020山东淄博模块考试如图，点C在以AB为直径的圆O上，PA垂直于圆O所在平面，G为AOC的重心(1)求证：平面OPG平面PAC；(2)若PAAB2AC2，求二面角AOPG的余弦值32020山东济南质量评估如图，五面体ABCDEF中，正方形ABCD的边长为2，AB2EF，点P在线段DE上，且DP2PE，Q为BC的中点(1)求证：BE平面PAQ；(2)已知AE平面ABCD，且AE2，求二面
2、角PAFE的余弦值42020山东青岛质量检测九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在九章算术中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du)；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖膈(bie nao)指四个面均为直角三角形的四面体如图在堑堵ABCA1B1C1中，ABAC.(1)求证：四棱锥BA1ACC1为阳马；(2)若C1CBC2，当鳖膈C1ABC体积最大时，求锐二面角CA1BC1的余弦值5如图1，平面多边形PABCD中，PAPD，AD2DC2BC4，ADBC，APPD，ADDC，E为PD的中点，现将APD沿AD折起，如图2，使P
3、C2.(1)证明：CE平面ABP；(2)求直线AE与平面ABP所成角的正弦值6如图1，直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90，E，F分别为边AD和BC上的点，且EFAB，AD2AE2AB4FC4.将四边形EFCD沿EF折起成如图2的位置，使ADAE.(1)求证：AF平面CBD；(2)求平面CBD与平面DAE所成锐角的余弦值备考训练10空间向量与空间角大题备考1解析：(1)证明：因为BB1平面ABCD，AC平面ABCD，所以BB1AC.因为ACBD且BDBB1B，所以AC平面BB1D，又B1D平面BB1D，所以ACB1D.(2)易知AB，AD，AA1两两垂直，如图，以A为坐标原点，AB，AD，
4、AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.设ABt，则A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)，因为ACBD，所以t2300，解得t或t(舍去)所以(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)，设n(x，y，z)是平面ACD1的法向量，则即取x1，则y，z，所以n(1，)是平面ACD1的一个法向量设直线B1C1与平面ACD1所成的角为，则sin |cosn，|，故直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.2.解析：(1)证明：如图
5、，延长OG交AC于点M.因为G为AOC的重心，所以M为AC的中点因为O为AB的中点，所以OMBC.因为AB是圆O的直径，所以BCAC，所以OMAC.因为PA平面ABC，OM平面ABC，所以PAOM.又PA平面PAC，AC平面PAC，PAACA，所以OM平面PAC.即OG平面PAC，又OG平面OPG，所以平面OPG平面PAC.(2)以点C为原点，方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系Cxyz，则C(0,0,0)，A(0,1,0)，B(，0,0)，O，P(0,1,2)，M，则，.平面OPG即为平面OPM，设平面OPM的一个法向量为n(x，y，z)，则令z1，得n(0，4,1)过点C作CHA
6、B于点H，由PA平面ABC，易得CHPA，又PAABA，所以CH平面PAB，即为平面PAO的一个法向量在RtABC中，由AB2AC，得ABC30，则HCB60，CHCB.所以xHCHcosHCB，yHCHsinHCB，所以.设二面角AOPG的大小为，则cos .3解析：(1)证明：连接BD交AQ于点M，连接PM，因为BMQDMA，BQAD，所以BMDM，又EPDP，所以PMBE，又PM平面APQ，BE平面APQ，所以BE平面APQ.(2)以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，C(2，2，0)，D(0,2，0)，
7、E(0,0,2)，F(，0,2)，设P(x，y，z)，因为DP2PE，所以，则(x，y2，z)(0，2，2)，则P，所以，设平面AFP的法向量为n1(x1，y1，z1)，又因为(，0,2)，所以即取x1，则y1，z11，故n1(，1)；又平面AEF的法向量为n2(0,1,0)，所以cosn1，n2，由图可知所求二面角为锐角，所以二面角PAFE的余弦值为.4解析：(1)证明：A1A底面ABC，AB面ABC，A1AAB.又ABAC，A1AACA，AB面ACC1A1，又四边形ACC1A1为矩形四棱锥BA1ACC1为阳马(2)ABAC，BC2，AB2AC24，又A1A底面ABC，VC1ABCC1CAB
8、ACABAC，当且仅当ABAC时，VC1ABCABAC取最大值，ABAC，A1A底面ABC，以A为原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz.B(，0,0)，C(0，0)，A1(0,0,2)(，0，2)，(，0)，(0，0)设平面A1BC的一个法向量n1(x1，y1，z1)由得n1(，1)同理得平面A1BC1的一个法向量为n2(，0,1)，cosn1，n2，二面角CA1BC1的余弦值为.5解析：(1)证明：取PA的中点H，连接HE，BH，如图E为PD的中点，HE为APD的中位线，HEAD，且HEAD.又ADBC，BCAD，HEBC，HEBC，四
9、边形BCEH为平行四边形，CEBH.BH平面ABP，CE平面ABP，CE平面ABP.(2)由题意知PAD为等腰直角三角形，四边形ABCD为直角梯形取AD的中点F，连接BF，PF，AD2BC4，平面多边形PABCD中，P，F，B三点共线，且PFBF2，翻折后，PFAD，BFAD，PFBFF，DF平面PBF，BC平面PBF，PB平面PBF，BCPB.在直角三角形PBC中，PC2，BC2，PB2，PBF为等边三角形取BF的中点O，DC的中点M，连接PO，OM，则POBF，DF平面PBF，DFPO.又DFBFF，PO平面ABCD.以O为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz
10、，则B(1,0,0)，D(1,2,0)，P(0,0，)，A(1，2,0)，E，(2,2,0)，(1,0，)设平面ABP的法向量为n(x，y，z)，则故可取n(3，3，)，cosn，直线AE与平面ABP所成角的正弦值为.6解析：(1)证明：取DE中点G，连接FG，AG，CG.由条件CF綉DG，CFGD为平行四边形，FGCD.又FG平面CBD，CD平面CBD，FG平面CBD.同理AG平面CBD.又FGAGG，FG平面AFG，AG平面AFG.平面AFG平面CBD，又AF平面AFG，所以AF平面CBD.(2)EFAE，EFDE，AEDEE，EF平面ADE，又ADDE，故可以AE中点H为原点，AE为x轴建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz，则A(1,0,0)，D(0,0，)，B(1，2,0)，E(1,0,0)，F(1，2,0)DE的中点坐标为，(1,0，)，(1，2,0)，C.易知是平面ADE的一个法向量，n1(0,2,0)，设平面BCD的法向量为n2(x，y，z)，由令x2，则y2，z2，n2(2,2，2)cosn1，n2.平面CBD与平面DAE所成锐角的余弦值为.