1、20222023学年高三年级TOP二十名校十二月调研考高三理科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则（ ）ABCD2若复数z满足，则（ ）AB1CD23已知，则（ ）AabcBbcaCcbaDacb4将6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到1个小区，每个小区至少分配1名志愿者，若分配到3个小区的志愿者人数均不相同，则不同的分配方案共有（ ）A60种B120种C180种D360种5下列点中，曲线的一个对称中心是（ ）ABCD6执行如图所示的程序框图，若输出的S为1，则判断框内应该填入的条件是（ ）A
2、BCi5Di57有一组样本数据，该样本的平均数和方差均为2，在该组数据中加入1个数2得到新的样本数据，则两组样本数据相同的为（ ）A平均数和中位数B中位数和方差C方差和极差D平均数和极差8已知数列满足，则的前n项积的最大值为（ ）A1B2C3D49已知四面体ABCD的各顶点都在球O的表面上，E，F分别为AB，CD的中点，O为EF的中点若，直线AC与BD所成的角为60，ABEF，则球O的表面积为（ ）ABCD10已知O为坐标原点，则（ ）A的最小值为B的最大值为C的最小值为1D的最大值为211已知抛物线C：的焦点为F，A是C的准线与x轴的交点，P是C上一点，APF的平分线与x轴交于点B，则的最大
3、值为（ ）ABCD12已知及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数设，则（ ）A1B0C1D2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13曲线的一条切线经过点，则该切线的斜率为_14已知双曲线C：，直线xa与C的两条渐近线交于A，B两点，O为坐标原点，若的面积为，则C的离心率为_15在中，D为BC边上一点，BAD90，BCAD，若，则_16在空间中，如果将几何体绕着某条直线l旋转一定角度后与原来重合，我们称这个变换过程为l轴旋转对称变换，并称的最小值为最小旋转角已知三棱锥ABCD的所有棱长均为1，将三棱锥ABCD进行轴旋转对称变换，最小旋转角为180，若将三棱锥ABCD绕着直线l旋
4、转90得到三棱锥，则两个三棱锥的公共部分的体积为_三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（本小题满分12分）已知数列为等差数列，数列满足，且，（1）求，的通项公式；（2）证明：18（本小题满分12分）电机（或变压器）绕组采用的绝缘材料的耐热等级也叫绝缘等级，电机与变压器中常用的绝缘材料耐热等级分为如下7个级别：耐热等级YAEBFHC绝缘耐温（）某绝缘材料生产企业为测试甲、乙两种生产工艺对绝缘耐温的影响，分别从两种工艺生产的产品中各随机抽取50件，测量各件产品的绝缘耐
5、温（单位：），其频率分布直方图如下：（1）若10月份该企业采用甲工艺生产的产品为65万件，估计其中耐热等级达到C级的产品数；（2）若从甲、乙两种工艺生产的产品中分别随机选择1件，用频率估计概率，求2件产品中耐热等级达到C级的产品数的分布列和数学期望19（本小题满分12分）如图，在平行四边形ABCM中，ABAC2，BAC90以AC为折痕将折起，使点M到达点D的位置，且二面角DACB的大小为120（1）求BD；（2）设P为BD上一点，求直线CP与平面ABD所成角的正弦值的最大值20（本小题满分12分）已知椭圆C：的长轴比短轴长2，焦距为（1）求椭圆C的方程；（2）已知，过点P的直线l与C交于A，B
6、两点，延长AQ到D，延长BQ到E，且满足轴证明：D，E两点到直线的距离之积为定值21（本小题满分12分）已知a0，函数（1）当时，讨论的单调性；（2）若曲线与直线y1有且只有一个交点，求a（二）选考题：共10分请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分22【选修44：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy中，曲线，的参数方程分别为：（t为参数），：（为参数）（1）将，的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，设，的第一象限的交点为A，求以OA为直径的圆的极坐标方程23【选修45：不等式选讲】（10分）已知函数（1）设m1
7、，求不等式的解集；（2）若恒成立，求m的取值范围20222023学年高三年级TOP二十名校十二月调研考高三理科数学参考答案1【答案】C【解析】，则故选C2【答案】A【解析】因为，所以，所以故选A3【答案】D【解析】，所以acb4【答案】D【解析】若分配3个小区的志愿者人数均不相同，则1个小区1人，1个小区2人，1个小区3人，则不同的分配方案共有种故选D5【答案】C【解析】令，则，即，故对称中心可以是故选C6【答案】C【解析】执行该程序框图，i1，K0，S130，执行第1次循环i1，K1，S65；执行第2次循环i2，K3，S13；执行第3次循环i5，K8，S1；当i5时不满足i5，输出S1故选C
8、7【答案】D【解析】新样本的平均数为，方差；因为加入的2是原样本数据的平均值，故不是最大和最小的数，所以极差不变但中位数有可能发生改变故选D8【答案】B【解析】由类比得，两式相除得，即由，得，设的前n项积为，则有，则数列是以3为周期的数列，的最大值为2故选B9【答案】B【解析】依题意，作出球O的内接正四棱柱IDJCAHBG，因为，所以AKG60或120，又ABEF，则AKG60因为，则AG2，在中，则，则球O的表面积故选B10【答案】D【解析】由，可得点A的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，根据向量减法的几何意义，由，可得点B的轨迹是以A为圆心，1为半径的圆，如图所示当点B在坐标原点位置时，取
9、最小值0，当点B在射线OA与圆A的交点位置时，取最大值2，A，B选项错误根据向量数量积的几何意义，当点B在坐标原点位置时，在方向上的投影取最小值0，此时取最小值0，当点B在射线OA与圆A的交点位置时，在方向上的投影取最大值2，此时取最大值2，C选项错误，D选项正确故选D11【答案】B【解析】不妨设点P在第一象限，作垂直准线于点，则有，由角平分线定理得，当直线AP与抛物线相切时，最大，最大，设直线AP的方程为xmy1（m0），由整理得，由，得m1，则当直线AP与抛物线相切时，则，设O为原点，则，由上可知，整理得，则，当直线AP与抛物线相切时取最大值故选B12【答案】A【解析】因为为奇函数，所以，
10、即，两边同时求导，则有，所以的图象关于直线x1对称因为为偶函数，所以，即，两边同时求导，则有，所以函数的图象关于点对称则有，所以故选A13【答案】1【解析】设切点的坐标为，由题意得，则该切线的斜率，解得，则切线的斜率k114【答案】【解析】双曲线C的一条渐近线为，令xa，则有yb，则，由双曲线的性质可知为等腰三角形，其面积，则ab，即，所以C的离心率15【答案】【解析】在中，由正弦定理可得，又BCAD，可得，且，则有又，联立，得，即，则，整理得，解得或（舍去）故16【答案】【解析】经过三棱锥不共面的两条棱的中点作一条直线，三棱锥绕着这条直线最小旋转180后与原三棱锥重合如图所示，三棱锥ABCD
11、与三棱锥的公共部分为正八面体EFGHIJ在四棱锥EGHIJ中，底面GHIJ为边长为的正方形，高为，则四棱锥EGHIJ的体积，正八面体EFGHIJ的体积为，故两个三棱锥的公共部分的体积为17【答案】见解析【解析】（1）为等差数列，设公差为d，即，即，（2）由（1）可知，则18【答案】见解析【解析】（1）由频率分布直方图可知，65万件产品中，耐热等级达到C级的产品数为（万件），故耐热等级达到C级的产品数约为52万件（2）设采用甲工艺生产的产品中耐热等级达到C级的产品数为X，采用乙工艺生产的产品中耐热等级达到C级的产品数为Y，则耐热等级达到C级的产品总数为XY由频率分布直方图可知，随机选择1件采用甲
12、工艺的产品耐热等级达到C级的概率为，随机选择1件采用乙工艺的产品耐热等级达到C级的概率为XY所有可能的取值为0，1，2，则，分布列如下表所示：XY012P19【答案】见解析【解析】（1）在MC的延长线上取点Q，因为，所以DCQ即为二面角DACB的平面角，则DCQ120，且DCM60因为，所以平面CDM，又因为平面ABCM，所以平面平面ABCM作DH垂直CM于H，连接BH，所以平面ABCM，又平面ABCM，所以，且H为CM的中点由题意可知，在中，（2）以C为原点，的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有，设，则设平面ABD的一个法向量，由得可取则所以直线CP与平面ABD所成角的正
13、弦值，当时，t取最大值所以直线CP与平面ABD所成角的正弦值的最大值20【答案】见解析【解析】（1）由长轴比短轴长2，则2（ab）2，即ab1，由焦距为，则，即，联立，得ab3，则a2，b1，所以C的方程为（2）由题意可知，直线l的斜率不为0当l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，由对称性可知，四边形ABDE为矩形，则D，E两点到直线的距离之积为当l的斜率存在时，设l的方程为，结合题意可设，由，可得，整理得，由A，Q，D三点共线，可知，即，由B，Q，E三点共线，可知，即，得：，又，则，则故D，E两点到直线的距离之积为定值21【答案】见解析【解析】（1）当时，易知在上单调递增，且所以当时，单调递
14、减，当时，单调递增（2）依题意，a0，的定义域为令，易知在上单调递增，则，故存在，使得当时，当时，因为x0，所以当时，单调递减，当时，单调递增，当，取极小值，也是唯一的最小值点由得，即，两边同时取自然对数，则有，则由得，当且仅当时，等号成立当时函数取最小值1，函数过点，函数与有且只有一个交点由，可得，解得a1所以曲线与直线y1有且只有一个交点时，a122【答案】见解析【解析】（1）由的参数方程得，两式相减得，所以的普通方程为由的参数方程得的普通方程为（2）由得到所以A的直角坐标为以OA为直径的圆的圆心的极坐标为，半径为1，则OA为直径的圆的极坐标方程为，所以所求圆的极坐标方程为23【答案】见解析【解析】（1）由m1，则，当时，则；当x1时，成立，则x1，综上，不等式的解集为（2）因为恒成立，所以恒成立，设当时，在上单调递增，当xm时，所以函数的最小值为m，所以，故m的取值范围为