1、临泽一中2019-2020学年下学期期中模拟试卷高一数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第卷（选择题）一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由角在第二象限知，余弦小于零，正弦大于零，因此对点来说横坐标小于零纵坐标大于零，故可以确定点位于第二象限【详解】 点在第二象限.故选:.【点睛】本题考查三角函数值的符号,难度容易.2.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小
2、灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ）A. 58厘米B. 63厘米C. 69厘米D. 76厘米【答案】B【解析】【分析】由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可.【详解】因为弧长比较短的情况下分成6等分，所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长，故导线长度约为63(厘米).故选：B.【点睛】本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题.3.已知向量，若，则在上的投影是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由在上的投影为，代入求解即可得解.【详解】由题
3、意在上的投影为.故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，属于基础题.4.“剑桥学派”创始人之一数学家哈代说过：“数学家的造型，同画家和诗人一样，也应当是美丽的”；古希腊数学家毕达哥拉斯创造的“黄金分割”给我们的生活处处带来美；我国古代数学家赵爽创造了优美“弦图”.“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设直角三角形的两条直角边中较短的边为,较长的边为.根据两个正方形的面积,结合勾股定理求得与的关系,进而求得和, 再由正弦的二倍
4、角公式即可求得.【详解】设直角三角形的两条直角边中较短的边为,较长的边为,即 因为大正方形的面积为25,小正方形的面积为1所以大正方形的边长为由勾股定理可知每个直角三角形的面积为 所以 则解方程组可得所以 由正弦的二倍角公式可知故选:D【点睛】本题考查了三角形中三角函数值的求法,正弦的二倍角公式应用,属于基础题.5.平面向量、满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算求得的值，计算出的值，进而可求得的值.【详解】，可得，因此，.故选：B.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的模，考查计算能力，属于基础题.6.函数的零点是和，则（ ）A. B.
5、 C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由韦达定理得到，再由两角和的正切公式得到结果.【详解】因为的零点是和，所以，是方程的两个根，根据韦达定理得到,再由两角和的正切公式得到:.故选B.【点睛】本题考查了二次方程的根，以及韦达定理的应用，涉及正切函数的两角和的公式的应用，属于基础题.7.已知函数（，）的图象经过点，若关于x的方程在上恰有一个实数解，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数图象经过点，可得，可得，由，可得，所以的所有正解从小到大为，在上恰有一个实数解，可列出关于的不等式组，可得答案.【详解】解：因为的图象经过点，所以，又因为，所以，所以由，得
6、，即，所以的所有正解从小到大为，因为关于x的方程在上恰有一个实数解，所以，即，其中T为的最小正周期，所以，所以，所以，所以或.所以或，所以，故选:A.【点睛】本题主要考查三角函数的图形与性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.8.定义adbc，已知函数f（x）（x0，），若f（x）的最大值与最小值的和为1，则实数m的值是（）A. 4+2或42B. 42或4+2C. 42D. 4+2【答案】B【解析】【分析】先根据定义化简函数，再根据三角函数关系转化为二次函数，根据二次函数性质求最值,最后根据最值和为1求结果.【详解】因为，所以当时，因为f（x）的最大值与最小值的和为1，所以，舍去当时
7、，因为f（x）的最大值与最小值的和为1，所以，舍去当时，因为f（x）的最大值与最小值的和为1，所以，因为，所以当时，因为f（x）的最大值与最小值的和为1，所以，因为，所以综上：或故选：B【点睛】本题考查函数新定义以及二次函数最值，考查综合分析求解能力，属较难题.9.已知函数，为其图象的对称中心，是该图象上相邻的最高点和最低点，若，则的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据，列出方程，求得值，再根据正弦函数的图象的对称中心，求出的值，即可得到函数的解析式【详解】由题意，函数，为其图象的对称中心，因为是该图象上相邻的最高点和最低点，可得，即，解得，又由，即，令，可得，
8、则的解析式为，故选：A【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力10.若函数在上的最小值为，则在上的最大值为（ ）A. 4B. 5C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函数平方关系可得，由可得，利用二次函数的性质即可得解.【详解】由题意，由可得，当即时，取得最小值，当即时，取得最大值.故选：D.【点睛】本题考查了同角三角函数平方关系以及三角函数图象与性质的应用，属于中档题.11.如图所示为函数的部分图象，点MN分别为图象的最高点和最低点，点P为该图象一个对称中心，点与点B关于点P对称，且向量在
9、x轴上的投影恰为1，则的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先根据勾股定理求出，即可得到点的坐标，再根据点与点B关于点P对称可得点的坐标， 由在x轴上的投影恰为1可求出函数的周期，由求出；再将点代入解析式求出，将点代入解析式求出即可.【详解】在中， 由勾股定理可得，即，又点与点B关于点P对称，所以，在x轴上的投影恰为1，则点的横坐标为，点的横坐标为，解得，当时，解得，由，则， 将点代入解析式，解得，所以的解析式为.故选：B【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质、投影的概念，考查考生的用图能力以及运算求解能力，属于中档题.12.已知正三角形的边长为，平面内的动点，满
10、足，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】，取中点，得到轨迹为圆，转化为求点到圆上点距离的最大值即可.【详解】解法一：取中点，从而轨迹为以为圆心，为半径的圆，三点共线时，为最大值.所以最大值为，的最大值为.解法二：如图所示，建立直角坐标系.，点满足，令，.又，则，.的最大值是.故选:A.【点睛】本题考查向量线性运算和模长的几何意义，用几何法求模长的最值，考查数形结合思想，属于中档题.第卷（非选择题）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.函数的最小正周期为_.【答案】【解析】【分析】首先化简.再根据公式即可求出最小正周期
11、.【详解】因为函数.所以最小正周期为：.故答案为：.【点睛】本题主要考查了正切函数的最小正周期的求法，属于基础题.14.若将函数的图象沿轴向右平移个单位后所得的图象与的图象关于轴对称，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图像的对称性，求得的最小值.【详解】解：将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，可得的图象.根据图象与的图象关于轴对称，可得，即时，的最小值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数图像的对称性，属于基础题.15.已知，则与夹角的余弦值为_.【答案】【解析】【分析】根据题意,利用向量坐标的线性运算求出的坐标,分别求出
12、,代入夹角公式求解即可.【详解】由题意知,因为，所以,由向量模的定义知,由平面向量数量积的夹角公式可得,.故答案为:【点睛】本题考查平面向量坐标的线性运算及平面向量数量积的坐标表示和夹角公式;考查运算求解能力;熟练掌握平面向量数量积的坐标表示和夹角公式是求解本题的关键;属于中档题.16.如图，已知，B为AC的中点，分别以AB，AC为直径在AC的同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点不含端点A，B，且，则的最大值为_【答案】4【解析】【分析】以A为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，求得A，B，C的坐标，可得以AB为直径的半圆方程，以AC为直径的半圆方程，设出M，N的坐标，由
13、向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值【详解】以A为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，可得，以AB为直径的半圆方程为，以AC为直径的半圆方程为，设，可得，即有，即为，即有，又，可得，即，则，可得，即，时，的最大值为4故答案为4【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了圆的方程与应用问题，建立平面直角坐标系，用坐标表示向量是解题的关键三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知.(1)化简；(2)若是第三象限角，且，求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分
14、析】(1)根据诱导公式直接化简即可;(2)由,可以利用诱导公式计算出,再根据角所象限确定,进而得出结论.【详解】(1)根据诱导公式,所以;(2)由诱导公式可知,即,又是第三象限角,所以,所以.【点睛】本题主要考查诱导公式的运用,属于基础题.使用诱导公式时,常利用口诀“奇变偶不变,符号看象限”进行记忆.18.已知向量.（1）求向量，的夹角；（2）求的值.【答案】（1）；（2）【解析】分析】（1）根据题意，将平方，利用向量的数量积定义，代入，计算求解即可.（2）由（1）向量夹角的值，可得，根据向量数量积运算定律，求解即可.【详解】（1）因为，所以，所以，解得，又因为，所以.（2）由（1）可得 ，
15、所以.【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角、向量数量积的运算，属于基础题.19.已知平面向量，满足：|2，|1（1）若（2）（）1，求的值；（2）设向量，的夹角为若存在tR，使得，求cos的取值范围【答案】（1）-1（2）cos1，1【解析】【分析】（1）利用数量积的运算性质，结合数量积的定义进行求解即可；（2）对进行平方，然后根据平面向量的运算性质，结合数量积的定义、一元二次方程根的判别式、余弦函数的有界性进行求解即可.【详解】（1）若（2）（）1，则1，又因为|2，|1，所以421，所以1；（2）若，则1，又因|2，|1，所以t2+2（）t+30，即t2+4tcos+30，所以1
16、6cos2120，解得cos或，所以cos1，1.【点睛】本题考查了平面向量的运算性质和定义，考查了数学运算能力.20.已知函数f（x）4cosxsin（x）+a的最大值为2.（1）求实数a的值；（2）在给定的直角坐标系上作出函数f（x）在0，上的图象：（3）求函数f（x）在，上的零点，【答案】（1）；（2）作图见解析；（3）零点为和.【解析】【分析】（1）利用正弦的和角公式，以及辅助角公式化简为标准型正弦函数，根据其最大值，即可求得参数；（2）根据（1）中所求，列表、描点，即可求得函数在区间上的图象；（3）求出在上的零点，再与取交集即可求得结果.【详解】（1）f（x）4cosxsin（x）+
17、a4cosx（sinxcosx）+a2sinxcosx+2cos2x+asin2x+cos2x+a+12sin（2x）+a+1则f（x）的最大值为2+a+12，得a1.（2）由（1）可得列表如下：用“五点法”画出函数f（x）在区间0，的简图，如图所示；（3）由得2xk，kZ，则x，kZ，由，得，即k0或k1，当k0时，x，当k1时，x，即函数在,上的零点为和.【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数，以及用五点作图法画函数图象，涉及三角函数零点的求解，属综合中档题.21.某同学用“五点法”画函数f（x）Asin（x+）（0，|）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将
18、上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将yf（x）图象上所有点向左平移（0）个单位长度，得到yg（x）的图象.若yg（x）图象的一个对称中心为（，0），求的最小值.（3）若，求的值.【答案】（1）填表见解析；f（x）5sin（2x）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据表中已有数据，求得，再补充完整表格；（2）根据（1）中所求，结合图像平移可得，再求其对称中心，即可求得的表达式，以及其最小值；（3）根据，利用恒等变换，即可求得结果.【详解】（1）根据表中已知数据可知：过点，且其最大值为，故可得A5，解得2，.故f（x）5sin（2x）数据补全如下表：（2）由（1）知，f（x）
19、5sin（2x），得g（x）5sin（2x+2）.令2x+2k，kZ，解得x，kZ，由于函数yg（x）的图象关于点（,0）成中心对称，令，kZ，解得，kZ，由0可知，当k1时，取得最小值.（3）由，可得，可得.【点睛】本题考查利用利用三角函数的性质求函数解析式，以及五点作图，涉及给值求值问题的求解，属综合中档题.22.如图，某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空，外的地方种草，的内接正方形为一水池，其余的地方种花，若，设的面积为，正方形的面积为(1)用表示和；(2)当变化时，求的最小值及此时角的大小.【答案】（1）；（2）最小值【解析】【分析】（1）在中，可用表示，从而可求其面积，利用三角形相似可得的长度，从而可得. （2）令，从而可得，利用的单调性可求的最小值.【详解】（1）在中，所以，.而边上的高为，设斜边上的为，斜边上的高为，因，所以，故，故，.（2），令，则.令，设任意的，则，故为减函数，所以，故，此时即.【点睛】直角三角形中的内接正方形的问题，可借助于解直角三角形和相似三角形得到各边与角的关系，三角函数式的最值问题，可利用三角变换化简再利用三角函数的性质、换元法等可求原三角函数式的最值.
