1、课时达标检测(十二） 函数与方程练基础小题强化运算能力1已知函数f(x)log2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是_(填序号)(0,1)；(1,2)；(2,4)；(4，)解析：因为f(1)6log2160，f(2)3log2220，f(4)log240，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)答案：2已知函数f(x)xcos x，则f(x)在0,2上的零点个数为_解析：令F(x)x，G(x)cos x，它们在同一坐标系下在区间0,2上的图象如图，由两函数的交点知f(x)在区间0,2上的零点个数为3.答案：33已知函数f(x)其中m0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不
2、同的根，则m的取值范围是_解析：作出f(x)的图象如图所示当xm时，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)b有三个不同的根，则4mm2m，即m23m0.又m0，解得m3.答案：(3，)4函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是_解析：因为f(x)在(0，)上是增函数，则由题意得f(1)f(2)(0a)(3a)0，解得0a3.答案：(0,3)5(2018天津六校联考)已知函数yf(x)的图象是连续的曲线，且对应值如表：x123456y124.4337424.536.7123.6则函数yf(x)在区间1,6上的零点至少有_个解析：依题意知f(2)0，f(3)
3、0，f(4)0，f(5)0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均至少含有一个零点，故函数yf(x)在区间1,6上的零点至少有3个答案：3练常考题点检验高考能力一、填空题1设a是方程2ln x3x的解，则a在的区间是_(填序号)(0,1)；(3,4)；(2,3)；(1,2)解析：令f(x)2ln x3x，则函数f(x)的零点即原方程的解，显然函数f(x)在(0，)上递增，且f(1)20，f(2)2ln 21ln 410，所以函数f(x)在(1,2)上有零点，即a在区间(1,2)内答案：2(2017南京二模)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x(0，)时
4、，f(x)2 018xlog2 018x，则函数f(x)的零点个数是_解析：作出函数y2 018x和ylog2 018x的图象如图所示，可知函数f(x)2 018xlog2 018x在x(0，)上存在一个零点，又f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)在x(，0)上有且仅有一个零点，又f(0)0，函数f(x)的零点个数是3.答案：33若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,1时，f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点有_个解析：因为偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，故函数的周期为2.当x0,1时，f(x)x，故当x1,0时，f(x)x.在同一个坐标系中画出函数
5、yf(x)的图象与函数ylog3|x|的图象，如图所示显然函数yf(x)的图象与函数ylog3|x|的图象有4个交点，则函数yf(x)log3|x|的零点有4个答案：44已知函数f(x)函数g(x)3f(2x)，则函数yf(x)g(x)的零点个数为_解析：由已知条件得g(x)3f(2x)分别画出函数yf(x)，yg(x)的草图，观察发现有2个交点，则函数yf(x)g(x)有2个零点答案：25(2018如皋四校联考)函数f(x)若方程f(x)xa有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为_解析：函数f(x)的图象如图所示，作出直线l：yax，向左平移直线l，观察可得当函数yf(x)的图象与
6、直线l：yxa的图象有两个交点，即当方程f(x)xa有且只有两个不相等的实数根时，有a1.答案：(，1)6(2018湖南衡阳模拟)函数f(x)的定义域为1,1，图象如图1所示，函数g(x)的定义域为2,2，图象如图2所示，方程f(g(x)0有m个实数根，方程g(f(x)0有n个实数根，则mn_.解析：由题图可知，若f(g(x)0，则g(x)1或g(x)0或g(x)1.由题图2知，g(x)1时，x1或x1；g(x)0时，x的值有3个；g(x)1时，x2或x2，故m7.若g(f(x)0，则f(x)或f(x)或f(x)0.由题图1知，使f(x)与f(x)的x取值各有2个；f(x)0时，x1或x1或x
7、0，故n7.由此可得mn14.答案：147若f(x)则函数g(x)f(x)x的零点为_解析：要求函数g(x)f(x)x的零点，即求f(x)x的根，或解得x1或x1.g(x)的零点为1，1.答案：1，18(2018河北衡水二中检测)已知函数f(x)则使函数g(x)f(x)xm有零点的实数m的取值范围是_解析：函数g(x)f(x)xm的零点就是方程f(x)xm的根，作出h(x)的图象，如图所示，观察它与直线ym的交点，得知当m0或m1时有交点，即函数g(x)f(x)xm有零点的实数m的取值范围是(，0(1，)答案：(，0(1，)9(2018湖北优质高中联考)函数f(x)|x1|2cos x(4x6
8、)的所有零点之和为_解析：题设可转化为两个函数y|x1|与y2cos x在4,6上的交点的横坐标的和，因为两个函数均关于x1对称，所以两个函数在x1两侧的交点对称，则每对对称点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象易知两个函数在x1两侧分别有5个交点，所以f(x)的所有零点之和为5210.答案：1010(2017南通、泰州、扬州三模)已知函数f(x)若函数g(x)2f(x)ax恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围是_解析：由题知g(x)显然，当a2时，g(x)有无穷多个零点，不符合题意；当xa时，令g(x)0，得x0，当xa时，令g(x)0，得x0或x2，若a0且a2，则g(x)在a，)上
9、无零点，在(，a)上存在零点x0和x，所以 a，解得0a2；若a0，则g(x)在0，)上存在零点x0，在(，0)上存在零点x，符合题意；若a0，则g(x)在a，)上存在零点x0，所以g(x)在(，a)上只有1个零点，因为0 /(，a)，所以g(x)在(，a)上的零点为x，所以a，解得a0.综上，实数a的取值范围是.答案：二、解答题11关于x的二次方程x2(m1)x10在区间0,2上有解，求实数m的取值范围解：设f(x)x2(m1)x1，x0,2，若f(x)0在区间0,2上有一解，f(0)10，f(2)0.又f(2)22(m1)21，m.而当m时，f(x)0在0,2上有两解和2，m.若f(x)0在区间0,2上有两解，则m1.由可知实数m的取值范围是(，112已知yf(x)是定义域为R的奇函数，当x0，)时，f(x)x22x.(1)写出函数yf(x)的解析式(2)若方程f(x)a恰有3个不同的解，求a的取值范围解：(1)设x0，则x0，f(x)x22x.又f(x)是奇函数，f(x)f(x)x22x.f(x)(2)方程f(x)a恰有3个不同的解，即yf(x)与ya的图象有3个不同的交点，作出yf(x)与ya的图象如图所示，故若方程f(x)a恰有3个不同的解，只需1a1，故a的取值范围为(1,1)