1、课时跟踪检测（二十三） 解三角形的综合应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的_方向上解析：由条件及图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80.答案：南偏西802.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB_m.解析：在BCD中，CBD1801530135.由正弦定理得，解得BC15(m)在RtABC中，ABBCtan
2、ACB1515(m)答案：153在直角梯形ABCD中，ABCD，ABC90，AB2BC2CD，则cosDAC_.解析：由已知条件可得图形，如图所示，设CDa，在ACD中，CD2AD2AC22ADACcosDAC，所以a2(a)2(a)22aacosDAC，所以cosDAC.答案：4已知A船在灯塔C北偏东80处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为_ km.解析：由条件知，ACB8040120，设BCx km则由余弦定理知9x244xcos 120，因为x0，所以x1.答案：15.某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，
3、在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75方向上，则点B与电视塔的距离是_km.解析：如题图，由题意知AB246，在ABS中，BAS30，AB6，ABS18075105，所以ASB45，由正弦定理知，所以BS3(km)答案：36(2018天一中学检测)线段AB外有一点C，ABC60，AB200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始_h后，两车的距离最小解析：如图所示，设过x h后两车距离为y，则BD20080x，BE50x，所以y2(20080x)2(50x)22(2
4、0080x)50xcos 60整理得y212 900x242 000x40 000(0x2.5)，所以当x时y2最小答案：二保高考，全练题型做到高考达标1一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是_海里解析：如图所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10(海里)答案：102如图，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB1 km，水
5、的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为_km/h.解析：设AB与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin ，从而cos ，所以由余弦定理得2212221，解得v6.答案：63(2018通州中学高三测试)甲船在湖中B岛的正南A处，AB3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同时乙船自B岛出发，以12 km/h的速度向北偏东60方向驶去，则行驶15 min时，两船间的距离是_km.解析：画出示意图如图所示，设行驶15 min时，甲船到达M点，乙船到达N点，由题意知AM82(km)，BN123(km)，M
6、BABAM321(km)，由余弦定理得MN2MB2BN22MBBNcos 1201921313，所以MN(km)答案：4一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是_m.解析：设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.答案：505(2018镇江
7、模拟)在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(BC)sin2Bsin2C，则角A的取值范围为_解析：由题意得sin2Asin2Bsin2C，再由正弦定理得a20.则cos A0，因为0A，所以0A.因此角A的取值范围是.答案：6.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75的方向，则海轮的速度为_海里/分钟解析：由已知得ACB45，B60，由正弦定理得，所以AC10，所以海轮航行的速度为(海里/分钟)答案：7(2018南京模
8、拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为10 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌时长为50 s，升旗手应以_m/s的速度匀速升旗解析：依题意可知AEC45，ACE1806015105，所以EAC1804510530.由正弦定理可知，所以ACsinCEA20 m.所以在RtABC中，ABACsinACB2030 m.因为国歌时长为50 s，所以升旗速度为0.6 m/s.答案：0.68(2018洛阳统考)如图，在ABC中，sin，AB2，点D在线段AC上，
9、且AD2DC，BD，则cosC_.解析：由条件得cosABC，sinABC.在ABC中，设BCa，AC3b，则由余弦定理得9b2a24a.因为ADB与CDB互补，所以cosADBcosCDB，所以，所以3b2a26，联立解得a3，b1，所以AC3，BC3.在ABC中，cosC.答案：9(2018镇江期末)如图，某公园有三条观光大道AB，BC，AC围成直角三角形，其中直角边BC200 m，斜边AB400 m现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB，BC，AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D，E，F.(1)若甲、乙都以每分钟100 m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分
10、钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲、乙两人之间的距离；(2) 设CEF，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且DEF，请将甲、乙之间的距离y表示为的函数，并求甲、乙之间的最小距离解：(1)依题意得BD300，BE100.在ABC中，cos B，所以B.在BDE中，由余弦定理得DE2BD2BE22BDBEcos B30021002230010070 000，所以DE100.答：甲、乙两人之间的距离为100 m.(2)由题意得EF2DE2y，BDECEF.在RtCEF中，CEEFcosCEF2ycos .在BDE中，由正弦定理得，即，所以y，0，所以当时，y有最小值50.答：甲、乙之间的最小距
11、离为50 m.10(2018南通中学高三测试)如图所示，摄影爱好者S在某公园A处发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为.设S的眼睛到地面的距离为 m.(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2)立柱的顶端有一长2 m的彩杆MN绕其中点O在S与立柱所在的平面内旋转摄影爱好者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？请说明理由解：(1)如图，作SC垂直OB于C，则CSB，ASB.又SA，故在RtSAB中，可求得BA3，即摄影爱好者到立柱的水平距离为3 m.由SC3，CSO，在RtSCO中，可求得OC.因为BCSA，故O
12、B2，即立柱高为2 m.(2)如图，连结SM，SN.设SNa，SMb.由(1)知SO2，在SOM和SON中，cosSOMcosSON，即，可得a2b226.在MSN中，cosMSN，当且仅当ab时，等号成立又MSN(0，)，则0MSN.故摄影爱好者S可以将彩杆全部摄入画面三上台阶，自主选做志在冲刺名校1如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15，经过420 s后看山顶的俯角为45，则山顶的海拔高度为_m(取1.4，1.7)解析：如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知A15，DBC45，所以A
13、CB30，AB5042021 000(m)又在ABC中，所以BCsin 1510 500()因为CDAD，所以CDBCsinDBC10 500()10 500(1)7 350.故山顶的海拔高度h10 0007 3502 650(m)答案：2 6502如图，经过村庄A有两条夹角为60的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PMPNMN2(单位：千米)记AMN.(1)将AN，AM用含的关系式表示出来；(2)如何设计(即AN，AM为多长)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大)?解：(1)由已知得MAN60，AMN，MN2，在AMN中，由正弦定理得，所以ANsin ，AMsin(120)sin(60)(2)在AMP中，由余弦定理可得AP2AM2MP22AMMPcosAMPsin2(60)4sin(60)cos(60)1cos(2120)sin(2120)4sin(2120)cos(2120)sin(2150)，0120，当且仅当2150270，即60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时ANAM2.