1、浙江省宁波市效实中学2019-2020学年高一数学下学期5月期中试题（含解析）本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页.满分100分，考试时间120分钟.选择题部分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.）1.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由条件求出，然后可算出.【详解】因为，所以所以故选：A【点睛】本题考查的是正弦的二倍角公式，较简单.2.已知实数列1，x，y，z，5成等差数列，则( )A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】C【解析】【分析】直接根据等差中项求解即可【详解】解：实数列1，x，y，
2、z，5成等差数列，得，故选：C【点睛】本题主要考查等差中项，属于基础题3.如图，正方形边长为，延长至，使，连接、则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由图象知，所以有，再根据同角三角函数关系式，可求出，选B.考点：1.两角差的正切公式；2.同角三角函数关系式.4.已知，.记数列的前n项和为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意转化条件可得，由裂项相消法即可得解.【详解】由题意，所以.故选：D.【点睛】本题考查了裂项相消法求数列前n项和的应用，考查了运算求解能力，关键是熟练掌握数列求和的方法，属于基础题.5.已知点A(1，3)，B(-2，-1)，
3、若直线l：y=k(x-2)+1与线段AB有公共点，则k的取值范围是（ ）A. B. C. 或D. 【答案】D【解析】【分析】先由条件画出图象，再求出直线与线段有交点的条件，进而可求出答案.【详解】因为直线l：y=k(x-2)+1恒过定点，如图所示：若直线l：y=k(x-2)+1与线段AB有公共点，则，又，所以.故选：D.【点睛】本题考查由直线的位置关系求斜率的取值范围问题，考查运算和转化能力，属于基础题.6.在中，设角 的对边分别为若，则是（ ）A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理，将等式中的边a,b消去，化为关
4、于角A,B的等式，整理化简可得角A,B的关系，进而确定三角形【详解】由题得，整理得，因此有，可得或，当时，为等腰三角形；当时，有，为直角三角形，故选D【点睛】这一类题目给出的等式中既含有角又含有边的关系，通常利用正弦定理将其都化为关于角或者都化为关于边的等式，再根据题目要求求解7.已知三内角所对边分别为，若成等差数列，则( )A. B. C. D. 与的大小不能确定【答案】C【解析】【分析】由题意利用等差数列的性质及三角形的内角和，可求得，利用余弦定理，结合基本不等式，可得，从而得解.【详解】在中，成等差数列，又，由余弦定理得，（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），.故选：C.【点睛】本
5、题考查了等差数列的性质、余弦定理以及基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题.8.已知，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由，结合三角恒等变换公式以及同角三角函数的基本关系，可求出的值.【详解】解：因为，所以，即，整理得，所以，故选:A.【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了三角恒等变换公式.本题的难点是对已知条件进行配凑角.9.已知数列满足，若，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据数列的递推公式和等比数列的定义，可得出数列是等比数列，首项为，公比为2，利用等比数列的通项公式
6、求出，从而得到，结合数列的单调性，即可求出实数的取值范围.【详解】解：由题可知，则，则有，所以，可知数列是等比数列，首项为，公比为2，所以，由于，所以，因为数列是单调递增数列，当时，即，即，整理得：，则，所以，当时，而，则，解得：，综上得：.故选：B.【点睛】本题考查根据数列的递推公式证明等比数列，考查等比数列的定义和通项公式，以及数列单调性的应用，考查化简运算能力.10.已知数列前n项和为，且满足则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由条件可得出，然后可得，即可推出选项C正确.【详解】因为所以，所以所以，所以所以故选：C【点睛】本题主要考查的是数列的前项和与的关系，解答的
7、关键是由条件得到，属于中档题.非选择题部分二、填空题（本大题共7小题，多空题每题4分，单空题每题3分，共25分.）11.计算_；的值是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】空1；根据两角和的余弦公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可；空2：根据诱导公式，逆用两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可.【详解】空1：空2：故答案为：；【点睛】本题考查了余弦两角和公式的应用，考查了逆用两角和的正弦公式求值，考查了特殊角的三角函数值，考查了数学运算能力.12.已知公差不为的等差数列，若，且、成等比数列，则_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】设等差数列的公差为
8、，根据题意得出关于和的方程组，解出这两个量，进而可求得.【详解】设等差数列的公差为，由题意，即，解得，因此，.故答案为：；.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，同时也考查了等差数列通项公式的求解和等比数列定义的应用，考查计算能力，属于基础题.13.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则_;_.【答案】 (1). (2). 2【解析】分析】由正弦定理可得，由余弦定理可求出【详解】解：，由正弦定理得，由余弦定理得，即，解得，或（舍去），故答案为：，2【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，属于基础题14.设直线l的方程为，则直线l经过定点_；若直线l在两坐标轴上的截距相等，
9、则直线l的方程为_.【答案】 (1). (2). 或【解析】【分析】直线l的方程可写为，解方程组，即得定点坐标；分截距为0和截距不为0两种情况讨论，求出值，即得直线l的方程.【详解】直线l的方程可写为.解方程组，得，定点坐标为.直线l经过定点.当截距为0时，直线l过原点，直线l的方程为.当截距不为0时，且.直线l在两坐标轴上的截距相等，直线l的方程为.综上，直线l的方程为或.故答案为：；或.【点睛】本题考查直线的方程，属于基础题.15.在数列中，已知，则=_【答案】【解析】【分析】利用累加法求得，再利用裂项求和法求得数列的前项和.【详解】因为，故可得，累加可得，又因为，则，故可得，则.故答案为
10、：.【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项公式，以及用裂项求和法求数列的前项和，属中档题.16.已知为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为，斜边上中线CE所在直线方程为，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程为_.【答案】【解析】【分析】设，由中点公式求出点A坐标，根据等腰直角三角形可知，建立与，与间关系，即可求出，进而根据点斜式求出直线的方程.【详解】因为中线CE所在直线方程为，所以可设，由AC中点为，可得，所以，为等腰直角三角形，CE为中线，,，又是的中点，,，化简得： ，由解得，所以点,又因为，所以直线方程为,即所求方程为.故答案为：【点睛】本题主要考查了两直线垂直位置
11、关系，根据两直线垂直研究斜率之间的关系，直线方程的点斜式，考查了推理能力和运算能力，属于中档题.17.设的内角、所对的边、成等比数列，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由题意得出，可得，利用切化弦的思想以及两角和的正弦公式得出，设，可得出，利用三角形三边关系可得出关于的不等式组，进而可求得的取值范围.【详解】、成等比数列，则，所以，设，则，由三角形三边关系可得，即，即，解得.因此，的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查三角形中边长之比的取值范围的求解，考查了三角恒等变换思想以及三角形三边关系的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题（本大题共5小题，共45分.解答应写出文字说明，
12、证明过程或演算步骤.）18.已知两条直线和，求分别满足下列条件的实数的值.（1），且过点；（2），且坐标原点到直线的距离为1.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用直线过点，直线，斜率之积为，得到两个关系式，求出a，b的值；（2）利用点到直线距离为1，求出a，再由知斜率相等求得.【详解】（1），又过点由得（2）因为原点到：的距离为1所以，解得或，由，当时，解得此时直线不存在，不符合题意；当时，解得【点睛】本题主要考查了两条直线垂直、平行的位置关系，考查了两直线斜率的关系，考查了运算能力，属于中档题.19.已知函数（1）求函数在区间上的值域（2）设，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【
13、分析】（1）由两角差正弦公式逆用化简，根据正弦型函数的图象与性质求值域即可；（2）化简可得的值，由同角三角函数的基本关系得，利用即可求解.【详解】，（1）当时，可得：，所以，所以，即函数在区间上的值域为.（2），即，.【点睛】本题主要考查了两角和差正弦公式，正弦型函数的图象与性质，角的变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题.20.设数列的前项和为，且，数列满足.（1）求；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据与的关系可得，即可证明数列为等比数列，得到通项公式，代入即可求解；（2）根据错位相减法即可求出数列的前项和为.【详解】（1）当时，解得，由，得，作差，得，即
14、，所以数列是首项，公比为3的等比数列，所以，.（2），作差，得：，所以.【点睛】本题主要考查了与的关系，等比数列的定义，通项公式，求和公式，错位相减法，属于中档题.21.已知分别为三个内角的对边，.（1）求；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先利用正弦定理把都统一成角，然后消去角，再利用辅助角公式化为，从而可求出角的值；（2）利用正弦定理把分别用表示出来，得，而，代入化简得，其中，再利用三角函数的有界性可求出其取值范围.【详解】解：（1）因为，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，得（2）由正弦定理得，因为，所以，所以，所以，其中，因为，所以，
15、所以，所以，所以的取值范围为【点睛】此题考查了正、余弦定理，三角函数恒等变形公式，综合性较强，考查了运算能力，属于中档题.22.设正项等差数列的前n项和为，已知且成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列前n项和；（3）设数列满足求证：【答案】(1) (2) 数列的前n项和为 (3)证明见解析.【解析】【分析】(1)等差数列的首项为，公差为，由条件可得，即，两式联立可得：，或，经检验满足条件.(2)设,可得当时，当时，则当时，当时，分情况求和即可.(3) 由（1）有，由有，则则或,若则不等式显然成立. 若,则，由裂项相消法求和可证明.【详解】【详解】(1)等差数列的首项为，公差为，由有，即 由成等比数列，有，即将代入得：即解得：，或.当时，与题目矛盾，舍去.当时，满足条件，此时 (2)设，当时，即当时，即设数列的前n项和为所以当时， 当时， 所以数列的前n项和为(3)由（1）有由有，所以则或若则不等式显然成立.若，则即所以则综上所以成立.【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，数列加绝对值的求和问题要分正负打开绝对值，考查分组求和和裂项相消法求和，属于中档题.