1、、世 纪 的 数 学 家 提 出 了 一 系 列 著 名 的 组 合 数 学（包 括 图 论）的 问 题，如 哥 尼 斯 堡 七 桥 问 题、军 官 问 题、柯 克 曼女 生 问 题、哈 密 顿 环 球 旅 行 问 题 早 期 组 合 数 学 是 带 有 趣 味 性 和 益 智 性 的 问 题，后 来 逐 渐 与 数 论、概 率 统 计、拓 扑 学 及 线性 规 划 等 领 域 的 问 题 交 织 在 一 起，而 显 示 出 理 论 和 应 用 上 的 重 要 价 值 特 别 是 在 世 纪 下 半 叶，与 电 子 计 算 机 发 展 相结 合 使 古 老 的 组 合 数 学 获 得 了 新
2、的 生 机 全 等 三 角 形内 容 清 单能 力 要 求三 角 形 全 等 的 概 念弄 清 全 等 形、全 等 三 角 形 概 念，并 能进 行 判 断 三 角 形 全 等 的 性 质 和 判 定会 利 用 、证明 三 角 形 全 等，能 进 行 二 次 全 等 的 证明，能 利 用 全 等 思 想 来 说 明 线 段（或角）相 等 年 山 东 省 中 考 真 题 演 练一、选 择 题 （淄 博）已 知 一 等 腰 三 角 形 腰 长 为 ，底 边 长 为 ，底 角为 满 足 下 列 条 件 的 三 角 形 不 一 定 与 已 知 三 角 形 全 等 的 是（）两 条 边 长 分 别 为
3、，它 们 的 夹 角 为 两 个 角 是 ，它 们 的 夹 边 为 三 条 边 长 分 别 是 ，两 条 边 长 是 ，一 个 角 是 （济 宁）用 直 尺 和 圆 规 作 一 个 角 的 平 分 线 的 示 意 图 如 图所 示，则 能 说 明 犃 犗 犆 犅 犗 犆 的 依 据 是（）角 平 分 线 上 的 点 到 角 两 边 距 离 相 等（第 题）（第 题）（聊 城）如 图，四 边 形 犃 犅 犆 犇 是 平 行 四 边 形，点 犈 在 边犅 犆 上 如 果 点 犉 是 边 犃 犇上 的 点，那 么 犆 犇 犉 与 犃 犅 犈 不一 定 全 等 的 条 件 是（）犇 犉 犅 犈 犃 犉
4、 犆 犈 犆 犉 犃 犈 犆 犉 犃 犈 （威 海）如 图，在 犃 犅 犆 中，犃 犅 犃 犆，犇、犈 分 别 是 边犃 犅、犃 犆 的 中 点，点 犉 在 边 犅 犆 上，连 结 犇 犈、犇 犉、犈 犉，则 添 加下 列 哪 一 个 条 件 后，仍 无 法 判 定 犅 犉 犇 与 犈 犇 犉全 等 的 是 现 代 组 合 数 学 研 究 任 意 一 组 离 散 性 事 物 如 何 按 一 定 规 则 安 排 成 各 种 集 合，包 括 这 种 安 排 的 存 在 性、计 数、构 造 与优 化 等 由 于 对 象 的 离 散 特 性，各 种 组 合 问 题 的 计 算 量 往 往 都 十 分
5、巨 大，高 速 计 算 机 自 然 为 这 些 问 题 的 求 解 提 供 了 有力 的 帮 助，在 计 算 机 上 计 算 各 种 组 合 问 题 的 实 践，对 理 论 计 算 机 科 学 研 究 产 生 深 远 的 影 响（）（第 题）犈 犉 犃 犅 犅 犉 犆 犉 犃 犇 犉 犈 犅 犇 犈 犉二、填 空 题（第 题）（潍 坊）如 图 所 示，犃 犅 犇 犅，犃 犅 犇 犆 犅 犈，请 你 添 加 一 个 适 当 的条 件 ，使 犃 犅 犆 犇 犅 犈（只需 添 加 一 个 即 可）三、解 答 题 （菏 泽）如 图，已 知 犃 犅 犆 犇 犆 犅，犅 犇、犆 犃 分 别 是 犃 犅 犆
6、、犇 犆 犅的 平 分 线 求 证：犃 犅 犇 犆（第 题）（德 州）如 图，犃 犅 犃 犆，犆 犇 犃 犅 于 点 犇，犅 犈 犃 犆 于点 犈，犅 犈 与 犆 犇 相 交 于 点 犗（）求 证：犃 犇 犃 犈；（）连 结 犗 犃、犅 犆，试 判 断 直 线 犗 犃、犅 犆 的 关 系，并 说 明 理 由（第 题）（聊 城）将 两 块 大 小 相 同 的 含 角 的 直 角 三 角 板（犅 犃 犆 犅 犃 犆 ）按 图（）方 式 放 置，固 定 三 角 板犃犅犆，然 后 将 三 角 板 犃 犅 犆 绕 直 角 顶 点 犆顺 时 针 方 向 旋 转（旋 转 角 小 于 ）至 图（）所 示 的
7、位 置，犃 犅 与 犃犆 交 于 点 犈，犃 犆 与 犃犅 交 于 点 犉，犃 犅 与 犃犅 相 交 于 点 犗（）求 证：犅 犆 犈 犅犆 犉；（）当 旋 转 角 等 于 时，犃 犅 与 犃犅 垂 直 吗？请 说 明 理 由（第 题）（日 照）如 图，已 知 犇为 等 腰 直 角 犃 犅 犆内 一 点，犆 犃 犇 犆 犅 犇 ，犈 为 犃 犇延 长 线 上 的 一 点，且 犆 犈 犆 犃（）求 证：犇 犈 平 分 犅 犇 犆；（）若 点 犕 在 犇 犈 上，且 犇 犆 犇 犕，求 证：犕 犈 犅 犇（第 题）（泰 安）已 知：在 犃 犅 犆 中，犃 犆 犅 犆，犃 犆 犅 ，点犇 是 犃 犅
8、 的 中 点，点 犈 是 犃 犅 边 上 一 点（）直 线 犅 犉 垂 直 于 直 线 犆 犈于 点 犉，交 犆 犇于 点 犌（如 图（），求 证：犃 犈 犆 犌；（）直 线 犃 犎 垂 直 于 直 线 犆 犈，垂 足 为 点 犎，交 犆 犇 的 延 长 线于 点 犕（如 图（），找 出 图 中 与 犅 犈 相 等 的 线 段，并 证 明（）（）（第 题）（济 南）如 图，已 知 犃 犅 犃 犆，犃 犇 犃 犈，求 证：犅 犇 犆 犈（第 题）（德 州）如 图，点 犈、犉 在 犅 犆 上，犅 犈 犆 犉，犃 犇，犅 犆，犃 犉 与 犇 犈 交 于 点 犗（）求 证：犃 犅 犇 犆；（）试 判
9、断 犗 犈 犉 的 形 状，并 说 明 理 由（第 题）有 限 与 无 限 相 比，有 限 显 得 具 体，无 限 显 得 抽 象，对 有 限 的 研 究 往 往 先 于 对 无 限 的 研 究 人 们 对 有 限 个 对 象 的 研 究 往往 有 章 法 可 循，并 积 累 了 一 定 的 经 验 而 对 无 限 个 对 象 的 研 究，却 往 往 不 知 如 何 下 手，显 得 经 验 不 足 于 是 将 对 无 限 的 研究 转 化 成 对 有 限 的 研 究，就 成 了 解 决 无 限 问 题 的 必 经 之 路 反 之，当 积 累 了 解 决 无 限 问 题 的 经 验 之 后，可
10、以 将 有 限 问 题 转化 成 无 限 问 题 来 解 决 这 种 无 限 化 有 限，有 限 化 无 限 的 解 决 数 学 问 题 的 方 法 就 是 有 限 与 无 限 的 思 想 年 全 国 中 考 真 题 演 练一、选 择 题 （江 西 南 昌）如 图，正 方 形 犃 犅 犆 犇 与 正 三 角 形 犃 犈 犉的顶 点 犃 重 合，将 犃 犈 犉 绕 顶 点 犃 旋 转，在 旋 转 过 程 中，当 犅 犈 犇 犉 时，犅 犃 犈 的 大 小 可 以 是（）或 （第 题）（第 题）（四 川 攀 枝 花）如 图，犃 犅 犆 犃 犇 犈且 犃 犅 犆 犃 犇 犈，犃 犆 犅 犃 犈 犇，
11、犅 犆、犇 犈 交 于 点 犗 则 下 列 四 个 结论 中，；犅 犆 犇 犈；犃 犅 犇 犃 犆 犈；犃、犗、犆、犈 四 点 在 同 一 个 圆 上，一 定 成 立 的 有（）个 个 个 个 （广 西 玉 林 防 城 港 市）如 图，在 菱 形 犃 犅 犆 犇 中，对 角 线犃 犆、犅 犇相 交 于 点 犗，且 犃 犆 犅 犇，则 图 中 全 等 三 角 形 有（）对 对 对 对（第 题）（第 题）（广 西 柳 州）如 图 小 强 利 用 全 等 三 角 形 的 知 识 测 量 池 塘两 端 犕、犖的 距 离，如 果 犘 犙 犗 犖 犕 犗，则 只 需 测 出 其 长度 的 线 段 是（）犘
12、 犗 犘 犙 犕 犗 犕 犙 （黑 龙 江 鸡 西）如 图，犃 犅 犃 犇，犅 犆 犇 犆，根 据 什 么 条 件可 以 说 明 犃 犅 犆 与 犃 犇 犆 全 等？（）（第 题）（第 题）（内 蒙 古 赤 峰）如 图，在 犃 犅 犆 中，犘、犙 分 别 是 犅 犆、犃 犆上 的 点，作 犘 犚 犃 犅，犘 犛 犃 犆，垂 足 分 别 是 犚、犛，若 犃 犙 犘 犙，犘 犚 犘 犛，下 面 三 个 结 论：犃 犛 犃 犚；犙 犘 犃 犚；犅 犚 犘 犆 犛 犘，正 确 的 是（）和 和 和 、和 （江 苏 宿 迁）如 图，已 知 ，则 不 一 定獉 獉 獉能 使 犃 犅 犇 犃 犆 犇 的 条
13、 件 是（）犃 犅 犃 犆 犅 犇 犆 犇 犅 犆 犅 犇 犃 犆 犇 犃（第 题）（第 题）（山 西 运 城）如 图，犃 犆 犅 犃犆 犅，犅 犆 犅 ，则 犃 犆 犃 的 度 数 为（）（黑 龙 江 牡 丹 江）如 图，给 出 下 列 四 组 条 件：犃 犅 犇 犈，犅 犆 犈 犉，犃 犆 犇 犉；犃 犅 犇 犈，犅 犈，犅 犆 犈 犉；犅 犈，犅 犆 犈 犉，犆 犉；犃 犅 犇 犈，犃 犆 犇 犉，犅 犈 其 中 能 使 犃 犅 犆 犇 犈 犉 的 条 件 共 有（）（第 题）组 组 组 组（四 川 凉 山 州）如 图 所 示，犈 犉 ，犅 犆，犃 犈 犃 犉，结 论：犈 犕 犉 犖；犆
14、 犇 犇 犖；犉 犃 犖 犈 犃 犕；犃 犆 犖 犃 犅 犕 其 中 正 确 的 有（）个 个 个 个（第 题）（第 题）（江 苏 扬 州）电 子 跳 蚤 游 戏 盘 是 如 图 所 示 的 犃 犅 犆，犃 犅 ，犃 犆 ，犅 犆 如 果 跳 蚤 开 始 时 在 犅 犆 边 的 犘 处，犅 犘 跳 蚤 第 一 步 从 犘 跳 到 犃 犆 边 的 犘 （第 次 落 点）高 考 中 对 有 限 与 无 限 思 想 的 考 查 才 刚 刚 起 步，并 且 往 往 是 在 考 查 其 他 数 学 思 想 和 方 法 的 过 程 中 同 时 考 查 有 限 与 无限 的 思 想 例 如，在 使 用 由
15、特 殊 到 一 般 的 归 纳 思 想 时，含 有 有 限 与 无 限 的 思 想；在 使 用 数 学 归 纳 法 证 明 时，解 决 的 是 无 限的 问 题，体 现 的 是 有 限 与 无 限 的 思 想，等 等 随 着 高 中 课 程 的 改 革，对 新 增 内 容 的 考 查 在 逐 步 深 入，必 将 加 强 对 有 限 与 无限 思 想 的 考 查，设 计 出 重 点 体 现 有 限 与 无 限 思 想 的 新 颖 试 题 处，且 犆 犘 犆 犘 ；第 二 步 从 犘 跳 到 犃 犅 边 的 犘 （第 次 落点）处，且 犃 犘 犃 犘 ；第 三 步 从 犘 跳 到 犅 犆 边 的
16、犘 （第 次落 点）处，且 犅 犘 犅 犘 ；跳 蚤 按 上 述 规 则 一 直 跳 下 去，第 狀 次 落 点 为 犘 狀（狀 为 正 整 数），则 点 犘 与 犘 之 间 的 距离 为（）二、填 空 题 （黑 龙 江 齐 齐 哈 尔）如 图，已 知 犃 犆 犅 犇，要 使 犃 犅 犆 犇 犆 犅，则 只 需 添 加 一 个 适 当 的 条 件 是 （填 一个 即 可）（第 题）（第 题）（四 川 宜 宾）如 图，在 犃 犅 犆 中，犃 犅 犅 犆，将 犃 犅 犆绕 点 犅 顺 时 针 旋 转 度，得 到 犃 犅 犆 ，犃 犅 交 犃 犆 于 点 犈，犃 犆 分 别 交 犃 犆、犅 犆 于
17、点 犇、犉，下 列 结 论：犆 犇 犉 ，犃 犈 犆 犉，犇 犉 犉 犆，犃 犇 犆 犈，犃 犉 犆 犈 其 中 正 确 的 是 （写 出 正 确 结 论 的 序 号）三、解 答 题 （四 川 宜 宾）如 图，点 犃、犅、犇、犈 在 同 一 直 线 上，犃 犇 犈 犅，犅 犆 犇 犉，犆 犉 求 证：犃 犆 犈 犉（第 题）（重 庆）已 知：如 图，犃 犅 犃 犈，犅 犈 求 证：犅 犆 犈 犇（第 题）（北 京）如 图，点 犃、犅、犆、犇 在 同 一 条 直 线 上，犅 犈 犇 犉，犃 犉，犃 犅 犉 犇，求 证：犃 犈 犉 犆（第 题）（广 东 江 门）已 知：如 图，犈、犉 在 犃 犆上
18、，犃 犇 犆 犅 且犃 犇 犆 犅，犇 犅 求 证：犃 犈 犆 犉（第 题）（江 苏 苏 州）如 图，犆 是 线 段 犃 犅的 中 点，犆 犇平 分 犃 犆 犈，犆 犈 平 分 犅 犆 犇，犆 犇 犆 犈（）求 证：犃 犆 犇 犅 犆 犈；（）若 犇 ，求 犅 的 度 数（第 题）趋 势 总 揽 年 命 题 趋 势 将 三 角 形 的 全 等 融 入 到 平 行 四 边 形 的 证明，而 三 角 形 的 运 动、折 叠、旋 转、拼 接 形 成 新 的 数 学 问 题，从 而考 查 考 生 探 究 问 题 的 能 力 高 分 锦 囊例 如 求 一 条 线 段 等 于 另 两 条 线 段 之 和
19、时，通 常 都 采 用 截 长补 短 法与 将 光 聚 在 焦 点 不 同，在 抛 物 镜 焦 点 放 置 光 源，则 射 到 镜 面 的 光 线 经 反 射 后 会 平 行 射 向 前 方，这 种 性 质 被 用 于 手电 筒 或 探 照 灯 汽 车 的 远 光 灯 和 近 光 灯 与 电 灯 泡 的 亮 度 无 关，而 是 利 用 抛 物 线 原 理 制 作 而 成 电 灯 泡 后 面 的 反 射 镜 子呈 抛 物 线 形 状，打 开 位 于 焦 点 的 远 光 灯 泡，则 反 射 的 光 直 射 向 远 方，照 射 距 离 远 与 此 相 反，近 光 灯 泡 稍 微 偏 离 焦 点，所以
20、 反 射 后 光 线 向 四 方 散 开，只 能 照 射 近 距 离 常 考 点 清 单 一、全 等 三 角 形 的 性 质 全 等 三 角 形 对 应 边 ，对 应 角 全 等 三 角 形 对 应 边 的 中 线 ，对 应 角 的 平 分 线 ，对 应 边 上 的 高 ，全 等 三 角 形 的 周 长 ，面 积 二、三 角 形 全 等 的 条 件 三 边 对 应 的 两 个 三 角 形 全 等（可 以 简 写 成“”或“”）两 边 和 它 们 的 对 应 相 等 的 两 个 三 角 形 全 等（可以 简 写 成“”或“”）两 角 和 它 们 的 对 应 相 等 的 两 个 三 角 形 全 等
21、（可以 简 写 成“”或“”）两 个 角 和 其 中 一 个 角 的 对 应 相 等 的 两 个 三 角 形全 等（可 以 简 写 成“角 角 边”或“”）斜 边 和 一 条 对 应 相 等 的 两 个 直 角 三 角 形 全 等（可 以 简 写 成“”或“”）易 混 点 剖 析两 边 和 一 角 对 应 相 等 的 两 个 三 角 形 全 等 是 错 误 的 如 图 在 犃 犅 犆 和 犃 犅 犇 中，犃 犅 犃 犅，犃 犆 犃 犇，犅 犅，但 犃 犅 犆与 犃 犅 犇 并 不 全 等 所 以“”不 能 判 定 两 个 三 角 形 全 等，必 须是“两 边 及 其 夹 角 对 应 相 等”的
22、 两 个 三 角 形 全 等 易 错 题 警 示【例 】（贵 州 铜 仁）如 图，犈、犉 是 四 边 形 犃 犅 犆 犇的对 角 线 犅 犇上 的 两 点，犃 犈 犆 犉，犃 犈 犆 犉，犅 犈 犇 犉 求 证：犃 犇 犈 犆 犅 犉【解 析】本 题 是 全 等 的 判 定 以 及 全 等 的 运 用（判 断 直 线 位置 关 系），灵 活 运 用 全 等 的 判 定 定 理，善 于 使 用 已 知 条 件，从 已 知条 件 得 出 有 用 的 结 论【答 案】犃 犈 犆 犉，犃 犈 犇 犆 犉 犅 犇 犉 犅 犈，犇 犉 犈 犉 犅 犈 犈 犉，即 犇 犈 犅 犉 在 犃 犇 犈 和 犆 犅
23、 犉 中，犃 犈 犆 犉，犃 犈 犇 犆 犉 犅，犇 犈 犅 犉烅烄烆，犃 犇 犈 犆 犅 犉（）【例 】（浙 江 衢 州）如 图，在 平 行 四 边 形 犃 犅 犆 犇中，犈、犉 是 对 角 线 犅 犇 上 的 两 点，且 犅 犈 犇 犉，连 结 犃 犈、犆 犉 请 你猜 想：犃 犈 与 犆 犉 有 怎 样 的 数 量 关 系？并 对 你 的 猜 想 加 以 证 明【解 析】此 题 考 查 了 平 行 四 边 形 的 性 质 与 全 等 三 角 形 的 判定 与 性 质，注 意 掌 握 平 行 四 边 形 的 对 边 平 行 且 相 等，注 意 数 形 结合 思 想 的 应 用 由 四 边
24、形 犃 犅 犆 犇 是 平 行 四 边 形，即 可 得 犃 犅 犆 犇，犃 犅 犆 犇，然 后 利 用 平 行 线 的 性 质，求 得 犃 犅 犈 犆 犇 犉，又由 犅 犈 犇 犉，即 可 证 得 犃 犅 犈 犆 犇 犉，继 而 可 得 犃 犈 犆 犉【答 案】猜 想：犃 犈 犆 犉 证 明：四 边 形 犃 犅 犆 犇 是 平 行 四 边 形，犃 犅 犆 犇，犃 犅 犆 犇 犃 犅 犈 犆 犇 犉 在 犃 犅 犈 和 犆 犇 犉 中，犃 犅 犆 犇，犃 犅 犈 犆 犇 犉，犅 犈 犇 犉烅烄烆，犃 犅 犈 犆 犇 犉（）犃 犈 犆 犉 年 山 东 省 中 考 仿 真 演 练一、选 择 题 （宁
25、 津 县 二 模）如 图 所 示，在 折 纸 活 动 中，小 明 制 作 了 一张 犃 犅 犆 纸 片，点 犇、犈 分 别 在 边 犃 犅、犃 犆 上，将 犃 犅 犆 沿 着犇 犈折 叠 压 平，犃与 犃 重 合，若 犃 ，则 （）（第 题）近 代 统 计 学 指 的 是 世 纪 末 到 世 纪 末 的 描 述 统 计 学，其 发 展 过 程 与 概 率 论 的 广 泛 研 究 和 应 用 密 切 相关 目 前 在 统 计 分 析 中 经 常 使 用 的 一 些 基 本 方 法 和 术 语 都 始 于 这 一 时 期，比 如 最 小 平 方 法、正 态 分 布 曲 线、误 差计 算 等 在 近
26、 代 统 计 发 展 的 一 百 年 中，也 形 成 了 许 多 学 派，其 中 以 数 理 统 计 学 派 和 社 会 统 计 学 派 最 为 著 名 （青 岛 二 模）如 图，已 知 犕 犅 犖 犇，犕 犅 犃 犖 犇 犆，下 列 条 件 中 不 能 判 定 犃 犅 犕 犆 犇 犖 的 是（）（第 题）犕 犖 犃 犅 犆 犇 犃 犕 犆 犖 犃 犕 犆 犖二、填 空 题（第 题）（德 州 一 模）如 图，在 等 边 犃 犅 犆中，犃 犆 ，点 犗 在 犃 犆 上，且 犃 犗 ，点犘 是 犃 犅上 一 动 点，连 结 犗 犘，以 犗 为 圆心，犗 犘 长 为 半 径 画 弧 交 犅 犆 于
27、点 犇，连 结犘 犇，如 果 犘 犗 犘 犇，那 么犃 犘的 长 是 三、解 答 题 （东 营 二 模）已 知：如 图，犅、犆、犈 三 点 在 同 一 条 直 线 上，犃 犆 犇 犈，犃 犆 犆 犈，犃 犆 犇 犅 求 证：犅 犆 犇 犈（第 题）年 全 国 中 考 仿 真 演 练一、选 择 题 （宁 夏 模 拟）如 图，犃 犅 犆，犆 ，犃 犇 平 分 犅 犃 犆，犃 犈 犃 犆，连 结 犇 犈，则 下 列 结 论 中 错 误 的 是（）犃 犆 犇 犈 犇 犈 犇 犆 犃 犇 犈 犃 犇 犆 犃 犇 犈 犃 犇 犆（第 题）（第 题）（广 东 深 圳 市 全 真 模 拟）如 图，将 两 根
28、钢 条 犃 犃、犅 犅 的中 点 犗 连 在 一 起，使 犃 犃、犅 犅 可 以 绕 着 点 犗 自 由 转 动，就 做成 一 个 测 量 工 件，则 犃犅 长 等 于 内 槽 宽 犃 犅，那 么 判 断 犃 犗 犅 犃犗 犅 的 理 由 是（）边 角 边 角 边 角 边 边 边 角 角 边二、填 空 题 （辽 宁 阜 新 模 拟）如 图，在 犃 犅犆 和 犃 犅 犇 中，犆 犇，要 使 犃 犅犆 犃 犅 犇，还 需 增 加 一 个 条 件 是 （第 题）（第 题）（甘 肃 庆 阳 模 拟）如 图，犃 犆 犅 犃 犇 犅，要 使 犃 犆 犅 犅 犇 犃，请 写 出 一 个 符 合 要 求 的
29、条 件 三、解 答 题 （浙 江 温 州 市 泰 顺 九 校 模 拟）如 图，已 知 犃 犇 是 犃 犅 犆的 角 平 分 线，在 不 添 加 任 何 辅 助 线 的 前 提 下，要 使 犃 犈 犇 犃 犉 犇，需 添 加 一 个 条 件 是：，并 给 予 证 明（第 题）（贵 州 兴 仁 中 学 一 模）如 图，在 犃 犅犆 犇 中，犈 为 犅犆 的 中点，连 结 犇 犈 延 长 犇 犈 交 犃 犅 的 延 长 线 于 点 犉 求 证：犃 犅 犅 犉（第 题）（福 建 莆 田 模 拟）如 图，在 正 方 形 犃 犅 犆 犇 中，犈、犉 分 别为 犅 犆、犆 犇 边 上 的 点，犆 犈 犇 犉
30、，犃 犈 与 犅 犉 交 于 点 犕 求 证：犃 犈 犅 犉（第 题）（第 题）如 图，在 锐 角 犃 犅 犆 中，犅 犃 犆 ，犅 犇、犆 犈为 高，犉是 犅 犆的 中 点，连 结犇 犈、犈 犉、犉 犇，则 以 下 结 论 中 一 定 正 确 的个 数 有（）犈 犉 犉 犇；犃 犇 犃 犅 犃 犈 犃 犆；犇 犈 犉 是 等 边 三 角 形；犅 犈 犆 犇 犅 犆；当 犃 犅 犆 时，犅 犈 槡 犇 犈 个 个 个 个 如 图，在 犃 犅 犆 中，犃 犆 犅 ，犆 犇 犃 犅 于 点 犇，点 犈 在犃 犆 上，犆 犈 犅 犆，过 点 犈 作 犃 犆 的 垂 线，交 犆 犇 的 延 长 线 于
31、 点犉 求 证：犃 犅 犉 犆（第 题）如 图，犆 犇 犃 犅，犅 犈 犃 犆，垂 足 分 别 为 犇、犈，犅 犈、犆 犇 相 交 于 点犗，试 说 明：（）当 时，求 证 犗 犅 犗 犆；（）当 犗 犅 犗 犆 时，求 证 （第 题）我 们 知 道 三 角 形 三 条 中 线 的 交 点 叫 做 三 角 形 的 重 心 经 过 证明 我 们 可 得 三 角 形 重 心 具 备 下 面 的 性 质：重 心 到 顶 点 的 距 离与 重 心 到 该 顶 点 对 边 中 点 的 距 离 之 比 为 请 你 用 此 性 质解 决 下 面 的 问 题 已 知：如 图，点 犗 为 等 腰 直 角 三 角
32、 形 犃 犅 犆 的 重 心，犆 犃 犅 ，直 线 犿 过 点 犗，过 犃、犅、犆 三 点 分 别 作 直 线 犿的 垂 线，垂足 分 别 为 点 犇、犈、犉（）当 直 线 犿 与 犅 犆 平 行 时（如 图（），请 你 猜 想 线 段 犅 犈、犆 犉和 犃 犇 三 者 之 间 的 数 量 关 系 并 证 明；（）当 直 线 犿 绕 点 犗旋 转 到 与 犅 犆 不 平 行 时，分 别 探 究 在 图（）、图（）这 两 种 情 况 下，上 述 结 论 是 否 还 成 立？若 成 立，请 给 予 证 明；若 不 成 立，线 段 犃 犇、犅 犈、犆 犉 三 者 之 间 又 有 怎样 的 数 量 关
33、 系？请 写 出 你 的 结 论，不 需 证 明（）（）（）（第 题）全 等 三 角 形 年 考 题 探 究 年 山 东 省 中 考 真 题 演 练 解 析 两 条 边 长 是 ，一 个 角 是 ，这 个 角 有 可 能 是 顶角，而 已 知 一 等 腰 三 角 形 腰 长 为 ，底 边 长 为 ，底 角 为 此 时 二 个 等 腰 三 角 形 不 一 定 全 等 解 析 如 图，连 结 犖 犆、犕 犆（第 题）在 犗 犖 犆 和 犗 犕 犆 中，犗 犖 犗 犕，犖 犆 犕 犆，犗 犆 犗 犆烅烄烆，犗 犖 犆 犗 犕 犆（）犃 犗 犆 犅 犗 犆 解 析 由 平 行 四 边 形 的 性 质
34、可得 犃 犅 犆 犇，犃 犇 犅 犆，犅 犇等 选 项 中，犇 犉 犅 犈，犅 犇，犃 犅 犆 犇，符 合“边 角 边”定 理，犆 犇 犉 犃 犅 犈，选 项 成 立；选 项 中，犃 犉 犆 犈，可 得 犇 犉 犅 犈，证 明 同 选 项 ，选 项 成 立；选 项 中，犆 犉 犃 犈，犅 犇，犃 犅 犆 犇，条 件 为 两 边 及 一 边 的 对 角，不 成 立；选项 中，犆 犉 犃 犈，可 得 四 边 形 犃 犈 犆 犉 是 平 行 四 边 形，得 犅 犈 犇 犉，证 明 同 选 项 ，该 选 项 成 立 解 析 选 项 中，添 加 犈 犉 犃 犅 后，由 平 行 的 性 质 和犈 是 边
35、犃 犆 的 中 点 知 犉 也 是 边 犅 犆 的 中 点，由 三 角 形 中 位线 等 于 第 三 边 一 半 的 性 质，可 由 证 出 犅 犉 犇 犈 犇 犉；选 项 中，添 加 犅 犉 犆 犉 后，直 接 由 三 角 形 中 位线 等 于 第 三 边 一 半 的 性 质，可 由 证 出 犅 犉 犇 犈 犇 犉；选 项 中，添 加 犅 犇 犈 犉 后，可 由 证 出 犅 犉 犇 犈 犇 犉 所 以 只 有 添 加 犃 犇 犉 犈 仍 无 法 判定 犅 犉 犇 与 犈 犇 犉 全 等 答 案 不 唯 一，如 犅 犇 犈 犅 犃 犆 或 犅 犈 犅 犆 或 犃 犆 犅 犇 犈 犅 等 解 析
36、 犃 犅 犇 犆 犅 犈，犃 犅 犇 犃 犅 犈 犆 犅 犈 犃 犅 犈，即 犃 犅 犆 犇 犅 犈 犃 犅 犇 犅，用“”，需 添 加 犅 犇 犈 犅 犃 犆，用“”，需添 加 犅 犈 犅 犆，用“”，需 添 加 犃 犆 犅 犇 犈 犅 在 犃 犅 犆 与 犇 犆 犅 中，犃 犅 犆 犇 犆 犅，犃 犆 犅 犇 犅 犆，犅 犆 犅 犆烅烄烆，犃 犅 犆 犇 犆 犅 犃 犅 犇 犆 （）在 犃 犆 犇 与 犃 犅 犈 中，犃 犃，犃 犇 犆 犃 犈 犅 ，犃 犅 犃 犆，犃 犆 犇 犃 犅 犈 犃 犇 犃 犈（）互 相 垂 直 理 由 如 下：在 犃 犇 犗 与 犃 犈 犗 中，犗 犃 犗 犃
37、，犃 犇 犃 犈，犃 犇 犗 犃 犈 犗 犇 犃 犗 犈 犃 犗 即 犗 犃 是 犅 犃 犆 的 平 分 线 又 犃 犅 犃 犆，犗 犃 犅 犆 （）犅 犆 犃 犃犆 犅，犅 犆 犃 犃犆 犃 犃犆 犅 犃犆 犃，即 犅 犆 犈 犅犆 犉 又 犅 犅，犅 犆 犅犆，犅 犆 犈 犅犆 犉（）犃 犅 与 犃犅 垂 直 理 由 如 下：旋 转 角 等 于 ，即 犈 犆 犉 ，犉 犆 犅 犅 犆 犅 又 犅 犅 ，根 据 四 边 形 的 内 角 和 可 知 犅 犗 犅 的 度 数 为 ，犃 犅 与 犃犅 垂 直 （）在 等 腰 直 角 犃 犅 犆 中，犆 犃 犇 犆 犅 犇 ，犅 犃 犇 犃 犅 犇
38、犅 犇 犃 犇 犅 犇 犆 犃 犇 犆 犇 犆 犃 犇 犆 犅 由 犅 犇 犈 犃 犅 犇 犅 犃 犇 ，犈 犇 犆 犇 犃 犆 犇 犆 犃 ，犅 犇 犈 犈 犇 犆 犇 犈 平 分 犅 犇 犆（）连 结 犕 犆 犇 犆 犇 犕，且 犕 犇 犆 ，犕 犇 犆 是 等 边 三 角 形，即 犆 犕 犆 犇 又 犈 犕 犆 犇 犕 犆 ，犃 犇 犆 犕 犇 犆 ，犈 犕 犆 犃 犇 犆 又 犆 犈 犆 犃，犇 犃 犆 犆 犈 犕 犃 犇 犆 犈 犕 犆 犕 犈 犃 犇 犇 犅 （）点 犇 是 犃 犅 中 点，犃 犆 犅 犆，犃 犆 犅 ，犆 犇 犃 犅，犃 犆 犇 犅 犆 犇 ，犆 犃 犇 犆 犅
39、犇 犆 犃 犈 犅 犆 犌 又 犅 犉 犆 犈，犆 犅 犌 犅 犆 犉 又 犃 犆 犈 犅 犆 犉 ，犃 犆 犈 犆 犅 犌 犃 犈 犆 犆 犌 犅 犃 犈 犆 犌（）犅 犈 犆 犕 犆 犎 犎 犕，犆 犇 犈 犇，犆 犕 犃 犕 犆 犎 ，犅 犈 犆 犕 犆 犎 犆 犕 犃 犅 犈 犆 又 犃 犆 犅 犆，犃 犆 犕 犆 犅 犈 ，犅 犆 犈 犆 犃 犕 犅 犈 犆 犕 犃 犅 犃 犆，犅 犆 犃 犇 犃 犈，犃 犇 犈 犃 犈 犆 犃 犇 犈 犃 犈 犆，即 犃 犇 犅 犃 犈 犆 在 犃 犅 犇 和 犃 犆 犈 中，犃 犅 犃 犆，犅 犆，犃 犇 犅 犃 犈 犆，犃 犅 犇 犃 犆 犈
40、犅 犇 犆 犈 （）犅 犈 犆 犉，犅 犈 犈 犉 犆 犉 犈 犉，即 犅 犉 犆 犈 又 犃 犇，犅 犆，犃 犅 犉 犇 犆 犈（）犃 犅 犇 犆（）犗 犈 犉 为 等 腰 三 角 形 理 由 如 下：犃 犅 犉 犇 犆 犈，犃 犉 犅 犇 犈 犆 犗 犈 犗 犉 犗 犈 犉 为 等 腰 三 角 形 年 全 国 中 考 真 题 演 练 解 析 利 用 正 方 形 的 性 质 和 等 边 三 角 形 的 性 质 证 明 犃 犅 犈 犃 犇 犉（），由 相 似 三 角 形 的 性 质 和 已 知 条 件即 可 求 出 当 犅 犈 犇 犉 时，犅 犃 犈 的 大 小，应 该 注 意 的 是，正 三
41、 角 形 犃 犈 犉 可 以 在 正 方 形 的 内 部 也 可 以 在 正 方 形 的 外部，所 以 要 分 两 种 情 况 分 别 求 解 解 析 由 犃 犅 犆 犃 犇 犈且 犃 犅 犆 犃 犇 犈，犃 犆 犅 犃 犈 犇，根 据 全 等 三 角 形 的 性 质，即 可 求 得 犅 犆 犇 犈，犅 犃 犆 犇 犃 犈，继 而 可 得 ，则 可 判 定 正 确；由 犃 犅 犆 犃 犇 犈，可 得 犃 犅 犃 犇，犃 犆 犃 犈，则可 得 犃 犅 犃 犆 犃 犇 犃 犈，根 据 有 两 边 对 应 成 比 例 且 夹 角相 等 三 角 形 相 似，即 可 判 定 正 确；已 知 犃 犈 犗
42、犃 犆 犗，可 判 定 犃、犗、犆、犈 四 点 在 同 一 个 圆 上 解 析 犃 犅 犗 犃 犇 犗，犃 犅 犗 犆 犇 犗，犃 犅 犗 犆 犅 犗，犃 犇 犗 犆 犇 犗，犃 犇 犗 犆 犅 犗，犇 犆 犗 犅 犆 犗，犃 犅 犇 犆 犅 犇，犃 犅 犆 犃 犇 犆 解 析 已 知 犘 犙 犗 犖 犕 犗，所 以 犕 犖 犘 犙 解 析 犃 犆 是 公 共 边 解 析 由 犘 犚 犘 犛 得 出 犃 犘平 分 犅 犃 犆，从 而 得 出 正 确 解 析 无“边 边 角”相 等 证 两 三 角 形 全 等 解 析 犃 犆犅 犃犆犅，得 犃 犆犃 犅犆犅 解 析 均 可 判 定 解 析 由 题
43、 意 易 证 犃 犅 犈 犃 犆 犉，则 犈 犃 犅 犆 犃 犉，所 以 正 确；进 一 步 可 证 明 犃 犕 犈 犃 犖 犉，则 正 确；由 可 证 犃 犆 犖 犃 犅 犕，则 正 确；由 可 证 犆 犇 犕 犅 犇 犖，则 犆 犇 犅 犇 犇 犖，错 误 解 析 分 析 可 知，第 次 落 点 回 到 了 起 点 犘 处，如 此循 环 下 去，则 点 犘 落 点 在 现 在 的 犘 （第 次 落 点）处，犘 在 犃 犆 上 且 到 点 犆的 距 离 是 的 点 的 位 置，则 点犘 与 犘 之 间 的 距 离 为 犃 犅 犆 犇 或 犃 犆 犅 犇 犅 犆 解 析 犆 犇 犉 犆 犅 犆
44、 犃 犅 犃 ，故 正确；由 犃 犅 犉 犆 犅 犈，得 犅 犈 犅 犉，所 以 犃 犈 犆 犉，故 正 确 也 同 时 得 犃 犉 犆 犈，故 正 确 犃 犇 犈 犅，犃 犇 犅 犇 犈 犅 犅 犇，即 犃 犅 犈 犇 又 犅 犆 犇 犉，犆 犅 犇 犉 犇 犅 犃 犅 犆 犈 犇 犉 又 犆 犉，犃 犅 犆 犈 犇 犉 犃 犆 犈 犉 ，犅 犃 犇 犅 犃 犇 即 犅 犃 犆 犈 犃 犇 在 犅 犃 犆 和 犈 犃 犇 中，犅 犈，犃 犅 犃 犈，犅 犃 犆 犈 犃 犇烅烄烆，犃 犅 犆 犃 犈 犇（）犅 犆 犈 犇 犅 犈 犇 犉，犃 犅 犈 犇 又 犃 犅 犉 犇，犃 犉，犈 犃 犅
45、犆 犉 犇 犃 犈 犆 犉 犃 犇 犆 犅，犃 犆 又 犃 犇 犆 犅，犇 犅 犃 犇 犉 犆 犅 犈 犃 犉 犆 犈 犃 犉 犉 犈 犆 犈 犉 犈 即 犃 犈 犆 犉 （）点 犆 是 线 段 犃 犅 的 中 点，犃 犆 犅 犆 又 犆 犇 平 分 犃 犆 犈，犆 犈 平 分 犅 犆 犇，在 犃 犆 犇 和 犅 犆 犈 中，犆 犇 犆 犈，犃 犆 犅 犆烅烄烆，犃 犆 犇 犅 犆 犈（），犃 犆 犇 犅 犆 犈，犈 犇 犅 犈 年 模 拟 提 优 年 山 东 省 中 考 仿 真 演 练 解 析 先 根 据 图 形 翻 折 变 化 的 性 质 得 出 犃 犇 犈 犃犇 犈，犃 犈 犇 犃犈 犇
46、，犃 犇 犈 犃犇 犈，再 根 据 三角 形 内 角 和 定 理 求 出 犃 犈 犇 犃 犇 犈 及 犃犈 犇 犃犇 犈 的 度 数，然 后 根 据 平 角 的 性 质 即 可 求 出 答 案 解 析 在 现 有 条 件 下，、都 满 足 三 角 形 全 等 的 判定 定 理，与 条 件 构 成“边 边 角”不 能 判 定 这 两 个 三 角 形 是否 全 等 解 析 连 结 犗 犇 由 题 意 可 知 犗 犘 犇 犘 犗 犇，即 犘 犇 犗为 等 边 三 角 形，所 以 犗 犘 犃 犘 犇 犅 犇 犘 犃 ，推出 犗 犘 犃 犘 犇 犅，根 据 全 等 三 角 形 的 对 应 边 相 等 知
47、 犗 犃 犅 犘 ，则 犃 犘 犃 犅 犅 犘 犃 犆 犇 犈，犃 犆 犇 犇，犅 犆 犃 犈 又 犃 犆 犇 犅，犅 犇 在 犃 犅 犆 和 犆 犇 犈 中，犅 犇，犅 犆 犃 犈，犃 犆 犆 犈烅烄烆，犃 犅 犆 犆 犇 犈（）犅 犆 犇 犈 年 全 国 中 考 仿 真 演 练 解 析 犃 犆 犃 犈 解 析 由 中 点 定 义 及 对 顶 角 相 等 知 边 角 边 证 两 三 角形 全 等 犃 犆 犃 犇或 犅 犆 犅 犇，或 犆 犃 犅 犇 犃 犅，或 犆 犅 犃 犇 犅 犃（注：答 案 不 唯 一，可 任 选 一 个）犆 犃 犅 犇 犅 犃 或 犆 犅 犃 犇 犃 犅 解 析 由“
48、”说明 两 三 角 形 全 等 解 法 一：添 加 条 件：犃 犈 犃 犉 证 明：在 犃 犈 犇 与 犃 犉 犇 中，犃 犈 犃 犉，犈 犃 犇 犉 犃 犇，犃 犇 犃 犇，犃 犈 犇 犃 犉 犇（）解 法 二：添 加 条 件：犈 犇 犃 犉 犇 犃 证 明：在 犃 犈 犇 与 犃 犉 犇 中，犈 犃 犇 犉 犃 犇，犃 犇 犃 犇，犈 犇 犃 犉 犇 犃，犃 犈 犇 犃 犉 犇（）解 法 三：添 加 条 件：犇 犈 犃 犇 犉 犃 证 明：在 犃 犈 犇 与 犃 犉 犇 中，犇 犈 犃 犇 犉 犃，犈 犃 犇 犉 犃 犇，犃 犇 犃 犇，犃 犈 犇 犃 犉 犇（）由 犃 犅 犆 犇，得 犃
49、 犅 犆 犇，犆 犇 犉 犉，犆 犅 犉 犆 又 犈 为 犅 犆 的 中 点，犈 犆 犈 犅 犇 犈 犆 犉 犈 犅 犇 犆 犉 犅 由 犃 犅 犆 犇，得 犃 犅 犆 犇 犇 犆 犉 犅，犃 犅 犆 犇，犃 犅 犅 犉 四 边 形 犃 犅 犆 犇 为 正 方 形，犃 犅 犈 犅 犆 犉 犃 犅 犅 犆 犆 犇 犆 犈 犇 犉，犅 犈 犅 犆 犆 犈 犆 犇 犇 犉 犆 犉 犃 犅 犈 犅 犆 犉 犅 犃 犈 犆 犅 犉 犅 犃 犈 犅 犈 犃 ，犆 犅 犉 犅 犈 犃 犅 犕 犈 （犆 犅 犉 犅 犈 犃）犃 犈 犅 犉 考 情 预 测 解 析 由 题 意，得 犅 犈 犆 与 犅 犇 犆 都
50、 是 直 角 三 角 形，且 犅 犆 是 斜 边，犉 是 犅 犆 的 中 点，则 由 直 角 三 角 形 斜 边 上 的中 线 等 于 斜 边 的 一 半 可 知 正 确；又 由 犃 犅 犇 犃 犆 犈可 得 正 确；又 犈 犉 犇 犈 犉 犅 犇 犉 犆 （犃 犅 犆）（犃 犆 犅）犃 犅 犆 犃 犆 犅 （犃）犃 ，所 以 犇 犈 犉 是 等 边 三 角 形，正 确；只 有 犃 犅 犆 是 等边 三 角 形 的 情 况 下 才 有 犅 犈 犆 犇 犅 犆，所 以 错 误；当 犃 犅 犆 时，犈 犉 是 等 腰 直 角 三 角 形 犈 犅 犆 斜 边 上 的高，所 以 犅 犈槡 犈 犉槡 犇
51、 犈，正 确 犉 犈 犃 犆 于 点 犈，犃 犆 犅 ，犉 犈 犆 犃 犆 犅 犉 犈 犆 犉 又 犆 犇 犃 犅 于 点 犇，犃 犈 犆 犉 犃 犉 犃 犉，犃 犆 犅 犉 犈 犆，犅 犆 犆 犈烅烄烆，犃 犅 犆 犉 犆 犈 犃 犅 犉 犆 （）犃 犇 犗 犃 犈 犗 ，犃 犗 犃 犗，犃 犇 犗 犃 犈 犗 犗 犇 犗 犈 犅 犗 犇 犆 犗 犈，犗 犇 犗 犈，犗 犇 犅 犗 犈 犆 烅烄烆，犅 犗 犇 犆 犗 犈 犗 犅 犗 犆（）犗 犅 犗 犆，犅 犗 犇 犆 犗 犈，犗 犇 犅 犗 犈 犆烅烄烆，犅 犗 犇 犆 犗 犈 犗 犇 犗 犈 又 犃 犗 是 公 共 边，犃 犇 犗 犃
52、犈 犗 （）猜 想：犅 犈 犆 犉 犃 犇 证 明：如 图（），延 长 犃 犗 交 犅 犆 于 点 犕（第 题（）点 犗 为 等 腰 直 角 三 角 形 犃 犅 犆 的 重 心，犃 犗 犗 犕 且 犃 犕 犅 犆 又 犈 犉 犅 犆，犃 犕 犈 犉 犅 犈 犈 犉，犆 犉 犈 犉，犈 犅 犗 犕 犆 犉 犈 犅 犗 犕 犆 犉 犈 犅 犆 犉 犗 犕 犃 犇（）图（）结 论：犅 犈 犆 犉 犃 犇（第 题（）证 明：连 结 犃 犗 并 延 长 交 犅 犆 于 点 犌，过 犌 作 犌 犎 犈 犉 于点 犎 由 重 心 性 质 可 得 犃 犗 犗 犌 犃 犇 犗 犗 犎 犌 ，犃 犗 犇 犎 犗 犌，犃 犗 犇 犌 犗 犎 犃 犇 犎 犌 犗 为 重 心，犌 为 犅 犆 中 点 犌 犎 犈 犉，犅 犈 犈 犉，犆 犉 犈 犉，犈 犅 犎 犌 犆 犉 犎 为 犈 犉 中 点 犎 犌 （犈 犅 犆 犉）犈 犅 犆 犉 犃 犇 图（）结 论：犆 犉 犅 犈 犃 犇
