1、杭州建人高复2020届第二学期模拟测试数学试卷本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.参考公式：如果事件互斥，那么 柱体的体积公式； 如果事件相互独立，那么 椎体的体积公式； 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 球的表面积公式次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率 (k = 0,1,n). 球的体积公式台体的体积公式 选择题部分（共40分）一、 选择题 : 本大题共10小题, 每小题4分, 共40分 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1、已知全集，集合，则（）A、B、C、D、2、已知是虚数单位，则“”是“”的（）A充分但不必要条件 B必要但不充
2、分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）AB C D 4、如果正数满足，那么（）A. ，且等号成立时的取值唯一B. ，且等号成立时的取值唯一C. ，且等号成立时的取值不唯一D. ，且等号成立时的取值不唯一5、设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（ ）来源:学科网A B C D来源:6、已知实数,满足则的最小值是 A.5 B.4 C.1 D.57、定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，令 下面说法错误的是A. 若与共线，则 B. C. 对任意的 D. 8、对于给定正数，定义，设，对任意和任意恒有，则( )A的最大值为2B的最小值为
3、2 C的最大值为1D的最小值为19、如图，点在正方体的表面上运动，且到直线与直线 的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点的轨迹在展开图中的形状是（ ）A. B. C. D. 10、设函数的最大值为，最小值为，则（）A、B、C、D、非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11、已知，若，则_；12、已知方程，若该方程表示椭圆方程，则的取值范围是_;13、已知展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，则展开式中最大的二项式系数为_；展开式中系数最大的项为_14、将字母放入的方表格，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同
4、，每一列的字母也互不相同的概率为_； 若共有行字母相同，则得k分，则所得分数的数学期望为_；（注：横的为行，竖的为列；比如以下填法第二行的两个字母相同，第1,3行字母不同，该情况下）abc cab15 、已知正四面体和平面，正四面体绕边旋转，当与平面所成角最大时，与平面所成角的正弦值为_16、双曲线的左焦点为，过的直线交双曲线左支于两点， 且，延长交双曲线右支于点，若，则该双曲线的离心率为_17、已知都是单位向量，且，则的最小值为_;最大值为_三、简答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.18.（本小题14分）在 中，角 ， 所对的边分别为 ，已知 求角 的大小
5、； 求 的取值范围19. （本小题15分）如图，和所在平面互相垂直，且，E、F分别为AC、DC的中点.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.20. （本小题15分）已知各项均为正数的数列的前n项和满足，且（1）求的通项公式；（2）设数列满足，并记为的前n项和，求证：21. （本小题15分）已知是抛物线上位于轴两侧的不同两点（1）若在直线上，且使得以为顶点的四边形恰为正方形，求该正方形的面积。（2）求过、的切线与直线围成的三角形面积的最小值；22. （本小题15分）已知函数其函数图像与轴交于，且（1）求的取值范围；（2）求证：；（3）若也在图像上，且为正三角形，记，求的值数学答案选择题 AACA
6、C ABBBD11、，12、13、10，14、，（填0.6也对）15、16、17、，18、在 中，角 ， 所对的边分别为 ，已知 求角 的大小； 求 的取值范围（1）由题意（2）19、如图，和所在平面互相垂直，且，E、F分别为AC、DC的中点.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.易得,所以，因此,从而得（方法二）由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B左垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.易得B（0,0,0），A(0，-1，),D(,-1,0)，C(0,2,0),因而,所以，因此,从而，所以.20、已知各项均为正
7、数的数列的前n项和满足，且（1）求的通项公式；（2）设数列满足，并记为的前n项和，求证：解析：（1）由，因此由得，又，得从而是首项为2公差为3的等差数列，故的通项公式为（2）由可得，从而=于是21、已知是抛物线上位于轴两侧的不同两点（1）若在直线上，且使得以为顶点的四边形恰为正方形，求该正方形的面积。（2）求过、的切线与直线围成的三角形面积的最小值；【解析】（1）设直线联立直线与抛物线方程得：易得：直线与之间的距离为令，可得所以该正方形的边长为或面积为或；（2）设，（由对称性不妨设）则处的切线方程为：，与直线交点记为M，则则处的切线方程为：，与直线交点记为N，则两条切线交点P 于是当时取到等号所以该三角形面积的最小值为22、已知函数其函数图像与轴交于，且（1）求的取值范围；（2）求证：；（3）若也在图像上，且为正三角形，记，求的值【解析】（1）若，则，函数在上单调递增，这与题设矛盾；易知在上单调递减，在上单调递增且（2）先证：由于，又在上单调递增所以欲证：只需证：只需证：由于只需证：只需证：构造：，在上单调递增，又所以当， 于是综上可得：所以，所以（3）由由为正三角形且也在图像上可知：即即两边同除以有： 即由于，所以于是：整理可得：所以