1、高考资源网（） 您身边的高考专家2015-2016学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合M=0，1，2，3，4，N=x|1log2（x+2）2，则MN=（）A1B2，3C0，1D2，3，42已知aR，则“|a1|+|a|1”是“函数y=ax在R上为减函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知向量=（2，3），=（1，2），若2与非零向量m+n共线，则等于（）A2B2CD4如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A84BCD5已知
2、平面与平面交于直线l，且直线a，直线b，则下列命题错误的是（）A若，ab，且b与l不垂直，则alB若，bl，则abC若ab，bl，且a与l不平行，则D若al，bl，则6已知函数f（x）=sin（2x+），其中为实数，若f（x）|f（）|对xR恒成立，且f（）f（），则f（x）的单调递增区间是（）Ak，k+（kZ）Bk，k+（kZ）Ck+，k+（kZ）Dk，k（kZ）7已知实数列an是等比数列，若a2a5a8=8，则+（）A有最大值B有最小值C有最大值D有最小值8已知F1，F2分别是双曲线C：=1（a0，b0）的左、右焦点，其离心率为e，点B的坐标为（0，b），直线F1B与双曲线C的两条渐近线分
3、别交于P、Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴，直线F1B的交点分别为M，R，若RMF1与PQF2的面积之比为e，则双曲线C的离心率为（）ABC2D二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分9已知loga2=m，loga3=n，则a2m+n=，用m，n表示log46为10已知抛物线x2=4y的焦点F的坐标为，若M是抛物线上一点，|MF|=4，O为坐标原点，则MFO=11若函数f（x）=为奇函数，则a=，f（g（2）=12对于定义在R上的函数f（x），如果存在实数a，使得f（a+x）f（ax）=1对任意实数xR恒成立，则称f（x）为关于a的“倒函数”已知定义在R上的函数f
4、（x）是关于0和1的“倒函数”，且当x0，1时，f（x）的取值范围为1，2，则当x1，2时，f（x）的取值范围为，当x2016，2016时，f（x）的取值范围为13已知关于x的方程x2+ax+2b2=0（a，bR）有两个相异实根，若其中一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内，则的取值范围是14若正数x，y满足x2+4y2+x+2y=1，则xy的最大值为15在ABC中，BAC=10，ACB=30，将直线BC绕AC旋转得到B1C，直线AC绕AB旋转得到AC1，则在所有旋转过程中，直线B1C与直线AC1所成角的取值范围为三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算
5、步骤16在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a=2，2cos2+sinA=（）若满足条件的ABC有且只有一个，求b的取值范围；（）当ABC的周长取最大值时，求b的值17如图，在多面体EFABCD中，ABCD，ABEF均为直角梯形，DCEF为平行四边形，平面DCEF平面ABCD（）求证：DF平面ABCD；（）若ABD是等边三角形，且BF与平面DCEF所成角的正切值为，求二面角ABFC的平面角的余弦值18已知函数f（x）=x21（1）对于任意的1x2，不等式4m2|f（x）|+4f（m）|f（x1）|恒成立，求实数m的取值范围；（2）若对任意实数x11，2存在实数x21，2，使得f
6、（x1）=|2f（x2）ax2|成立，求实数a的取值范围19已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，F2在以为圆心，1为半径的圆C2上，且|QF1|+|QF2|=2a（）求椭圆C1的方程；（）过点P（0，1）的直线l1交椭圆C1于A，B两点，过P与l1垂直的直线l2交圆C2于C，D两点，M为线段CD中点，求MAB面积的取值范围20对任意正整数n，设an是方程x2+=1的正根求证：（1）an+1an；（2）+1+2015-2016学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合M
7、=0，1，2，3，4，N=x|1log2（x+2）2，则MN=（）A1B2，3C0，1D2，3，4【考点】交集及其运算【分析】求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可【解答】解：由N中不等式变形得：log22=1log2（x+2）2=log24，即2x+24，解得：0x2，即N=（0，2），M=0，1，2，3，4，MN=1，故选：A2已知aR，则“|a1|+|a|1”是“函数y=ax在R上为减函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】先求出不等式|a1|+|a|1的解集，结合指数函数的性质判断充分必要
8、性即可【解答】解：a0时：|a1|+|a|=1aa1，解得：a0，无解，0a1时：|a1|+|a|=1a+1=1，成立，a1时：|a1|+|a|=2a11，解得：a1，无解，故不等式的解集是a0，1，若函数y=ax在R上为减函数，则a（0，1），故“|a1|+|a|1”是“函数y=ax在R上为减函数”的必要不充分条件3已知向量=（2，3），=（1，2），若2与非零向量m+n共线，则等于（）A2B2CD【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】先求出2和m+n，再由向量共线的性质求解【解答】解：向量=（2，3），=（1，2），2=（2，3）（2，4）=（4，1），m+n=（2mn，3m+2n
9、），2与非零向量m+n共线，解得14m=7n， =故选：C4如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A84BCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体为侧放的五棱柱，底面为正视图中的五边形，棱柱的高为4【解答】由三视图可知几何体为五棱柱，底面为正视图中的五边形，高为4所以五棱柱的表面积为（44）2+（4+4+2+2+2）4=76+48故选B5已知平面与平面交于直线l，且直线a，直线b，则下列命题错误的是（）A若，ab，且b与l不垂直，则alB若，bl，则abC若ab，bl，且a与l不平行，则D若al，bl，则【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据空间直线和平面平行或
10、垂直以及平面和平面平行或者垂直的性质和判定定理进行判断即可【解答】解：A若，ab，且b与l不垂直，则al，正确B若，bl，则b，a，ab，正确Ca与l不平行，a与l相交，ab，bl，b，则正确D若al，bl，不能得出，因为不满足面面垂直的条件，故D错误，故选：D6已知函数f（x）=sin（2x+），其中为实数，若f（x）|f（）|对xR恒成立，且f（）f（），则f（x）的单调递增区间是（）Ak，k+（kZ）Bk，k+（kZ）Ck+，k+（kZ）Dk，k（kZ）【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】由若对xR恒成立，结合函数最值的定义，我们易得f（）等于函数的最大值或最小值，由此可以
11、确定满足条件的初相角的值，结合，易求出满足条件的具体的值，然后根据正弦型函数单调区间的求法，即可得到答案【解答】解：若对xR恒成立，则f（）等于函数的最大值或最小值即2+=k+，kZ则=k+，kZ又即sin0令k=1，此时=，满足条件令2x2k，2k+，kZ解得x故选C7已知实数列an是等比数列，若a2a5a8=8，则+（）A有最大值B有最小值C有最大值D有最小值【考点】等比数列的通项公式【分析】先求出a5=2，再由+=1+，利用均值定理能求出+有最小值【解答】解：数列an是等比数列，a2a5a8=8，解得a5=2，+=+=1+1+2=1+2=1+2=，+有最小值故选：D8已知F1，F2分别是
12、双曲线C：=1（a0，b0）的左、右焦点，其离心率为e，点B的坐标为（0，b），直线F1B与双曲线C的两条渐近线分别交于P、Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴，直线F1B的交点分别为M，R，若RMF1与PQF2的面积之比为e，则双曲线C的离心率为（）ABC2D【考点】双曲线的简单性质【分析】分别求出P，Q，M的坐标，利用RMF1与PQF2的面积之比为e，|MF2|=|F1F2|=2c，可得3c=xM=，即可得出结论【解答】解：由题意，|OB|=b，|O F1|=ckPQ=，kMR=直线PQ为：y=（x+c），与y=x联立得：Q（，）；与y=x联立得：P（，）PQ的中点为（，），直线MR为：y=
13、（x），令y=0得：xM=，又RMF1与PQF2的面积之比为e，|MF2|=|F1F2|=2c，3c=xM=，解之得：e2=，e=故选：A二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分9已知loga2=m，loga3=n，则a2m+n=12，用m，n表示log46为【考点】对数的运算性质【分析】利用指数、对数的性质、运算法则和换底公式求解【解答】解：loga2=m，loga3=n，am=2，an=3，a2m+n=（am）2an=223=12，log46=故答案为：12，10已知抛物线x2=4y的焦点F的坐标为（0，1），若M是抛物线上一点，|MF|=4，O为坐标原点，则M
14、FO=或【考点】抛物线的简单性质【分析】利用抛物线的方程与定义，即可得出结论【解答】解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，且p=1，焦点坐标为（0，1）；M是抛物线上一点，|MF|=4，M（2，3），M（2，3），kMF=，MFO=M（2，3），kMF=，MFO=故答案为：（0，1），或11若函数f（x）=为奇函数，则a=0，f（g（2）=25【考点】函数奇偶性的性质；函数的值【分析】利用分段函数，结合函数的奇偶性，即可得出结论【解答】解：由题意，a=f（0）=0设x0，则x0，f（x）=x22x+1=f（x），g（2x）=x2+2x1，g（2）=4，f（g（2）=f（4）=1681=25故答案
15、为：0，2512对于定义在R上的函数f（x），如果存在实数a，使得f（a+x）f（ax）=1对任意实数xR恒成立，则称f（x）为关于a的“倒函数”已知定义在R上的函数f（x）是关于0和1的“倒函数”，且当x0，1时，f（x）的取值范围为1，2，则当x1，2时，f（x）的取值范围为，1，当x2016，2016时，f（x）的取值范围为，2【考点】抽象函数及其应用【分析】根据“倒函数”的定义，建立两个方程关系，根据方程关系判断函数的周期性，利用函数的周期性和函数的关系进行求解即可得到结论【解答】解：若函数f（x）是关于0和1的“倒函数”，则f（x）f（x）=1，则f（x）0，且f（1+x）f（1x）
16、=1，即f（2+x）f（x）=1，即f（2+x）f（x）=1=f（x）f（x），则f（2+x）=f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数，若x0，1，则x1，0，2x1，2，此时1f（x）2f（x）f（x）=1，f（x）=，1，f（x）=f（2x），1，当x1，2时，f（x），1即一个周期内当x0，2时，f（x），2当x2016，2016时，f（x），2故答案为：，1，213已知关于x的方程x2+ax+2b2=0（a，bR）有两个相异实根，若其中一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内，则的取值范围是【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系【分析】由题意知，从而转化为线性规划问题
17、求解即可【解答】解：令f（x）=x2+ax+2b2，由题意知，作其表示的平面区域如下，的几何意义是点A（1，4）与阴影内的点的连线的斜率，直线m过点B（3，2），故km=；直线l过点C（1，1），故kl=；结合图象可知，的取值范围是；故答案为：14若正数x，y满足x2+4y2+x+2y=1，则xy的最大值为【考点】基本不等式【分析】由题意和基本不等式可得1=x2+（2y）2+x+2y2x2y+2，解关于的一元二次不等式可得【解答】解：正数x，y满足x2+4y2+x+2y=1，1=x2+4y2+x+2y=x2+（2y）2+x+2y2x2y+2，当且仅当x=2y时取等号变形可得2（）2+210，解
18、得，结合0可得0，平方可得2xy（）2=，xy，即xy的最大值为，故答案为：15在ABC中，BAC=10，ACB=30，将直线BC绕AC旋转得到B1C，直线AC绕AB旋转得到AC1，则在所有旋转过程中，直线B1C与直线AC1所成角的取值范围为10，50【考点】异面直线及其所成的角【分析】平移CB1到A处，由已知得B1CA=30，B1AC=150，0C1AC20，由此能求出直线B1C与直线AC1所成角的取值范围【解答】解：在ABC中，BAC=10，ACB=30，将直线BC绕AC旋转得到B1C，直线AC绕AB旋转得到AC1，如图，平移CB1到A处，B1C绕AC旋转，B1CA=30，B1AC=150
19、，AC1绕AB旋转，0C1AC2CAB，0C1AC20，设直线B1C与直线AC1所成角为，则B1ACC1ACB1AC+C1AC，130B1ACC1AC150，150B1AC+C1AC170，1050或130170（舍）故答案为：10，50三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a=2，2cos2+sinA=（）若满足条件的ABC有且只有一个，求b的取值范围；（）当ABC的周长取最大值时，求b的值【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（）由条件利用三角恒等变换求得cosA 和sinA 的值，结合满足条件的ABC
20、有且只有一个可得a=bsinA 或 ab，由此求得b的范围（）ABC的周长为a+b+c，利用余弦定理、基本不等式求得周长2+b+c最大值为2+2，此时，b=c【解答】解：（）ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a=2，2cos2+sinA=，2+sinA=，即 2+sinA=，cosAsinA=，平方可得sin2A=，cosA+sinA=，求得cosA=，sinA=（，），结合满足条件的ABC有且只有一个，A（，）且a=bsinA，即2=b，即 b=；或 ab，即0b2，综上可得，b（0，2）（）由于ABC的周长为a+b+c，由余弦定理可得22=b2+c22bc=（b+c）2bc
21、（b+c）2=（b+c）2，b+c=2，当且仅当b=c时，取等号，此时，三角形的周长为 2+b+c最大为2+2，故此时b=17如图，在多面体EFABCD中，ABCD，ABEF均为直角梯形，DCEF为平行四边形，平面DCEF平面ABCD（）求证：DF平面ABCD；（）若ABD是等边三角形，且BF与平面DCEF所成角的正切值为，求二面角ABFC的平面角的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（）推导出AB平面BCE，ABCDEF，从而CD平面BCE，进而CDCE，由CEDF，得CDDF，由此能证明DF平面ABCD（）法1：过C作CHBE交BE于H，HKBF交BF于K，推导
22、出HKC为CBFE的平面角，由此能求出二面角ABFC的平面角的余弦值（）法2：以C为原点，CD，CB，CE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系不妨设CD=1，利用向量法能求出二面角ABFC的平面角的余弦值【解答】证明：（）因为，所以AB平面BCE，又EFCD，所以EF平面ABCD，从而有ABCDEF，所以CD平面BCE，从而CDCE，又CEDF，所以CDDF，又平面DCEF平面ABCD，所以DF平面ABCD解：（）解法1：过C作CHBE交BE于H，HKBF交BF于K，因为AB平面BCE，所以CHAB，从而CH平面ABEF，所以CHBF，从而BF平面CHK，所以BFKH即HKC为CBFE的
23、平面角，与 ABFC的平面角互补因为BCDCEF，所以BF与平面DCEF所成角为BFC由，所以2CB2=CD2+CE2，由ABD是等边三角形，知CBD=30，所以令CD=a，所以，所以，所以二面角ABFC的平面角的余弦值为（）解法2：因为CB，CD，CE两两垂直，以C为原点，CD，CB，CE所在直线为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系不妨设CD=1因为BCDCEF，所以BF与平面DCEF所成角为BFC由，所以2CB2=CD2+CE2，由ABD是等边三角形，知CBD=30，所以，平面ABF的一个法向量，平面CBF的一个法向量则，且取则二面角ABFC的平面角与的夹角互补所以二面角ABFC的平面角
24、的余弦值为18已知函数f（x）=x21（1）对于任意的1x2，不等式4m2|f（x）|+4f（m）|f（x1）|恒成立，求实数m的取值范围；（2）若对任意实数x11，2存在实数x21，2，使得f（x1）=|2f（x2）ax2|成立，求实数a的取值范围【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质【分析】（1）由题意可得4m2（|x21|+1|4+|x22x|，由1x2，可得4m2，运用二次函数的最值的求法，可得右边函数的最小值，解不等式可得m的范围；（2）f（x）在1，2的值域为A，h（x）=|2f（x）ax|的值域为B，由题意可得AB分别求得函数f（x）和h（x）的值域，注意讨论对称轴和零点，与区间
25、的关系，结合单调性即可得到值域B，解不等式可得a的范围【解答】解：（1）对于任意的1x2，不等式4m2|f（x）|+4f（m）|f（x1）|恒成立，即为4m2（|x21|+1|4+|x22x|，由1x2，可得4m2，由g（x）=4（+）2，当x=2，即=时，g（x）取得最小值，且为1，即有4m21，解得m；（2）对任意实数x11，2存在实数x21，2，使得f（x1）=|2f（x2）ax2|成立，可设f（x）在1，2的值域为A，h（x）=|2f（x）ax|的值域为B，可得AB由f（x）在1，2递增，可得A=0，3；当a0时，h（x）=|2x2ax2|=2x2ax2，（1x2），在1，2递增，可得
26、B=a，62a，可得a0362a，不成立；当a=0时，h（x）=2x22，（1x2），在1，2递增，可得B=0，6，可得0036，成立；当0a2时，由h（x）=0，解得x=1（负的舍去），h（x）在1，递减，2递增，即有h（x）的值域为0，h（2），即为0，62a，由00362a，解得0a；当2a3时，h（x）在1，递减，2递增，即有h（x）的值域为0，h（2），即为0，a，由003a，解得a=3；当3a4时，h（x）在1，2递减，可得B=2a6，a，由2a603a，无解，不成立；当4a6时，h（x）在1，递增，在，2递减，可得B=2a6，2+，由2a6032a，不成立；当6a8时，h（x）在
27、1，递增，在，2递减，可得B=a，2+，由a032a，不成立；当a8时，h（x）在1，2递增，可得B=a，2a6，AB不成立综上可得，a的范围是0a或a=319已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，F2在以为圆心，1为半径的圆C2上，且|QF1|+|QF2|=2a（）求椭圆C1的方程；（）过点P（0，1）的直线l1交椭圆C1于A，B两点，过P与l1垂直的直线l2交圆C2于C，D两点，M为线段CD中点，求MAB面积的取值范围【考点】椭圆的简单性质【分析】（）圆C2的方程为，由此圆与x轴相切，求出a，b的值，由此能求出椭圆C1的方程（）设l1：x=t（y1），则l2：tx+y1=0，与椭圆联立，得（t
28、2+2）y22t2y+t24=0，由此利用弦长公式、点到直线距离公式，结合已知条件能求出MAB面积的取值范围【解答】（本题满分15分）解：（）圆C2的方程为，此圆与x轴相切，切点为，即a2b2=2，且，又|QF1|+|QF2|=3+1=2aa=2，b2=a2c2=2椭圆C1的方程为（）当l1平行x轴的时候，l2与圆C2无公共点，从而MAB不存在；设l1：x=t（y1），则l2：tx+y1=0由，消去x得（t2+2）y22t2y+t24=0，则又圆心到l2的距离，得t21又MPAB，QMCDM到AB的距离即Q到AB的距离，设为d2，即MAB面积令则MAB面积的取值范围为20对任意正整数n，设an是方程x2+=1的正根求证：（1）an+1an；（2）+1+【考点】数列的应用【分析】（1）解方程可得an=，再由分子有理化，结合，在nN*上递减，即可得证；（2）求出=，分析法可得，累加并运用不等式的性质即可得证【解答】解：（1）an是方程x2+=1的正根，解得an=，由分子有理化，可得an=，由，在nN*上递减，可得an为递增数列，即为an+1an；（2）证明：由an=，可得=，由2n11+4n24n1+4n24n0，显然成立，即有+1+1+2016年7月30日高考资源网版权所有，侵权必究！
