1、一、 选择题1将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有（）A34种 B43种 C18种 D36种【解析】4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空，则必有一个盒子放入2个球设4个球的编号分别为1,2,3,4，则其中2个球放在一个盒子里的情况有：12,13,14,23,24,34，共C24=6(种)情况把2个球放在一 个盒子里的情况当作1个球和另外2个球分别放入3个盒子里，共有A33=321=6(种)放法于是所求放法为C24A3336(种)【答案】D2.三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ ）A.25 B.26 C.36 D.37【解析】设另两边长
2、分别为x、y，且不妨设1xy11，要构成三角形，必须xy12.当y取11时，x1,2,3，11，可有11个三角形；当y取10时，x2,3，10，可有9个三角形；当y取6时，x只能取6，只有1个三角形.所求三角形的个数为119753136.【答案】C3(2014黄冈质检)设集合I1,2,3,4,5选择集合I的两个非空子集A和B，若集合B中最小的元素大于集合A中最大的元素，则不同的选择方法共有（）A50种 B49种 C48种 D47种【解析】易知A，B中不会有相同元素.从5个元素中选出2个元素，小的给集合A，大的给集合B，有C2510(种)选择方法；从5个元素中选出3个元素，有C3510(种)选择
3、方法，再把这3个元素从小到大排列，中间有2个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A，一边给集合B，方法种数是C12=2(种)，故此时有10220（种）选择方法；从5个元素中选出4个元素，有C455(种)选择方法，从小到大排列，中间有3个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A，一边给集合B，方法种数是C13=3(种)，故此时有5315（种）选择方法；从5个元素中选出5个元素，有C551(种)选择方法，同理隔开方法有4种，故此时有144(种)选择方法根据分类加法计数原理，总计为102015449(种)选择方法故选B.【答案】B4.设直线方程为Ax+By=0，从1、2、3、4、5中每次取两个不同的数作为
4、A、B的值，则所得不同直线的条数为（ ）A.20 B.19 C.18 D.16【解析】确定直线只需依次确定A、B的值即可，先确定A有5种取法，再确定B有4种取法，由分步乘法计数原理得54=20，但x+2y=0与2x+4y=0,2x+y=0与4x+2y=0表示相同的直线，应减去2，所以不同直线的条数为20-2=18.【答案】C5.(2013江西六校联考)若自然数n使得作竖式加法n(n1)(n2)均不产生进位现象，则称n为“良数”.例如：32是“良数”，因为323334不产生进位现象；23不是“良数”，因为232425产生进位现象.那么小于1 000的“良数”的个数为( )A.27 B.36 C.
5、39 D.48【解析】一位良数有0,1,2，共3个；两位数的良数十位数可以是1,2,3，两位数的良数有10,11,12,20,21,22,30,31,32，共9个；三位数的良数有百位数为1,2,3，十位数为0时，个位数可以是0,1,2，共339个；百位为1,2,3，十位不是0时，十位个位可以是两位良数，共有3927个.根据分类加法计数原理，共有3+9+9+27=48个小于1 000的良数.【答案】D6.（2012安徽师大附中模拟）用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2，9的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜
6、色，则符合条件的所有涂法共有（ ）A.108种 B.60种 C.48种 D.36种【解析】分步处理，先选一种颜色涂在“1、5、9”的位置，有3种选法；再涂“2、6”的颜色，若涂同色，则有2种颜色可选，此时“3”有2种颜色可选，若“2、6”涂异色，则有A22种涂法，此时“3”只有一种颜色可选，故这种情况下的答案为：22+21=6种；再来涂“4、7、8”的颜色，也有6种方法.故最后可得符合条件的涂色方案为366=108种.【答案】A二、填空题7.某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为 (用数字作答).【解析】其中最先
7、选出的一个人有30种方法，此时不能再从这个人所在的行和列共9个位置上选人，还剩一个5行4列的队形，故选第二个人有20种方法，此时不能再从该人所在的行和列上选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是3020127 200.【答案】7 2008. 如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色.则不同的涂色方法数共有种.【解析】先涂A、D、E三个点，共有43224(种)涂法，然后再按B、C、F的顺序涂色，分为两类：一类是B与E或D同色，共有2(2112)8(种)涂法；另一类是
8、B与E或D不同色，共有1(1112)3(种)涂法.所以涂色方法共有24(83)264(种).【答案】2649.现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，则此值班表共有种不同的排法.【解析】可将星期一、二、三、四、五分给5个人，相邻的数字不分给同一个人.星期一：可分给5人中的任何一人有5种分法；星期二：可分给剩余4人中的任何一人有4种分法；星期三：可分给除去分到星期二的剩余4人中的任何一人有4种分法；同理星期四和星期五都有4种不同的分法，由分步计数原理共有544441 280(种)不同的排法.【答案】128010如果一个
9、三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为_【解析】若a22，则“凸数”为120与121，共1C122(个)若a23，则“凸数”有C12C136(个)若a24，满足条件的“凸数”有C13C1412(个)，若a29，满足条件的“凸数”有C18C1972(个)所有凸数有26122030425672240(个)【答案】240三、 解答题11. 编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种？ 【解析】根据A球所
10、在位置分三类：(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步乘法计数原理得，有A33=3216(种)不同的放法；(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步乘法计数原理得，有A33=3216(种)不同的放法；(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C、D、E，有A336(种)不同的放法，根据分步乘法计数原理得，C13A33=332118(种)不同方法综上所述，由分类加法计数原理得不同的放法共有661830（种）12.(2013镇江调研)已知集合
11、Aa1，a2，a3，a4，B0,1,2,3，f是从A到B的映射.(1)若B中每一元素都有原象，这样不同的f有多少个？(2)若B中的元素0无原象，这样的f有多少个？(3)若f满足f(a1)f(a2)f(a3)f(a4)4，这样的f又有多少个？【解析】(1)显然对应是一一对应的，即a1找象有4种方法，a2找象有3种方法，a3找象有2种方法，a4找象有1种方法，所以不同的f共有432124(个).(2)0无原象，1,2,3有无原象不限，所以为A中每一元素找象时都有3种方法.所以不同的f共有3481(个).(3)分为如下四类：第一类，A中每一元素都与1对应，有1种方法；第二类，A中有两个元素对应1，一
12、个元素对应2，另一个元素与0对应，有12(种)方法；第三类，A中有两个元素对应2，另两个元素对应0，有6(种)方法；第四类，A中有一个元素对应1，一个元素对应3，另两个元素与0对应，有12(种)方法.所以不同的f共有11261231(个).13.用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色（如图甲、乙），要求在四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一颜色.（1）若n6，则为甲图着色的不同方法共有多少种；（2）若为乙图着色时共有120种不同的方法，求n的值.【解析】（1）由分步乘法计数原理，对区域按顺序着色，共有6544480种方法.（2）与第（1）问的区别在于与相邻的区域由2块变成了3块.同样利用分
13、步乘法计数原理，得n(n1)(n2)(n3)120.所以(n23n)(n23n2)120，即(n23n)22(n23n)12100，所以n23n100或n23n120（舍去），解得n5或n2（舍去）. 参考答案：1.【解析】当且仅当偶数加上奇数后和为奇数，从而不同情形有5525（种）.【答案】D2.【解析】设另两边长分别为x、y，且不妨设1xy11，要构成三角形，必须xy12.当y取11时，x1,2,3，11，可有11个三角形；当y取10时，x2,3，10，可有9个三角形；当y取6时，x只能取6，只有1个三角形.所求三角形的个数为119753136.【答案】C3.【解析】6个面中的每个面都有4
14、个直角三角形，6个对角面中的每个面都有4个直角三角形，共有直角三角形64+64=48（个）.【答案】C4.【解析】确定直线只需依次确定A、B的值即可，先确定A有5种取法，再确定B有4种取法，由分步乘法计数原理得54=20，但x+2y=0与2x+4y=0,2x+y=0与4x+2y=0表示相同的直线，应减去2，所以不同直线的条数为20-2=18.【答案】C5.【解析】一位良数有0,1,2，共3个；两位数的良数十位数可以是1,2,3，两位数的良数有10,11,12,20,21,22,30,31,32，共9个；三位数的良数有百位数为1,2,3，十位数为0时，个位数可以是0,1,2，共339个；百位为1
15、,2,3，十位不是0时，十位个位可以是两位良数，共有3927个.根据分类加法计数原理，共有3+9+9+27=48个小于1 000的良数.【答案】D6.【解析】分步处理，先选一种颜色涂在“1、5、9”的位置，有3种选法；再涂“2、6”的颜色，若涂同色，则有2种颜色可选，此时“3”有2种颜色可选，若“2、6”涂异色，则有A22种涂法，此时“3”只有一种颜色可选，故这种情况下的答案为：22+21=6种；再来涂“4、7、8”的颜色，也有6种方法.故最后可得符合条件的涂色方案为366=108种.【答案】A7.【解析】其中最先选出的一个人有30种方法，此时不能再从这个人所在的行和列共9个位置上选人，还剩一
16、个5行4列的队形，故选第二个人有20种方法，此时不能再从该人所在的行和列上选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是3020127 200.【答案】7 2008.【解析】先涂A、D、E三个点，共有43224(种)涂法，然后再按B、C、F的顺序涂色，分为两类：一类是B与E或D同色，共有2(2112)8(种)涂法；另一类是B与E或D不同色，共有1(1112)3(种)涂法.所以涂色方法共有24(83)264(种).【答案】2649.【解析】可将星期一、二、三、四、五分给5个人，相邻的数字不分给同一个人.星期一：可分给5人中的任何一人有5种分法；星期
17、二：可分给剩余4人中的任何一人有4种分法；星期三：可分给除去分到星期二的剩余4人中的任何一人有4种分法；同理星期四和星期五都有4种不同的分法，由分步计数原理共有544441 280(种)不同的排法.【答案】128010.【解析】由题意知，1,2,3中必有某一个数字重复使用2次，第一步：确定谁被使用2次，有3种方法；第二步：把这2个相同的数字放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步：将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法.故共可组成33218个不同的四位数.【答案】1811.【解析】如图，在四棱锥P-ABCD中，四条侧棱，底面内六条直线都分别是共面的，只有侧棱和底面直线之
18、间可能有异面关系.底面内四条边中，以AB为例，可与PC，PD构成异面直线，共有428对，对角线AC可与PD，PB构成异面直线，DB可与PA，PC构成异面直线，共有4对，所以，异面直线共有8+4=12对.12【解析】(1)显然对应是一一对应的，即a1找象有4种方法，a2找象有3种方法，a3找象有2种方法，a4找象有1种方法，所以不同的f共有432124(个).(2)0无原象，1,2,3有无原象不限，所以为A中每一元素找象时都有3种方法.所以不同的f共有3481(个).(3)分为如下四类：第一类，A中每一元素都与1对应，有1种方法；第二类，A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，有 (种)方法；第三类，A中有两个元素对应2，另两个元素对应0，有 (种)方法；第四类，A中有一个元素对应1，一个元素对应3，另两个元素与0对应，有 (种)方法.所以不同的f共有11261231(个).13.【解析】（1）由分步乘法计数原理，对区域按顺序着色，共有6544480种方法.（2）与第（1）问的区别在于与相邻的区域由2块变成了3块.同样利用分步乘法计数原理，得n（n1）（n2）（n3）120.所以（n23n）（n23n2）120，即（n23n）22（n23n）12100，所以n23n100或n23n120（舍去），解得n5或n2（舍去）.
