1、2019北京交大附中高一(上)期中数学一选择题1.已知全集，集合则下图中阴影部分所表示的集合为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据韦恩图知阴影部分表示的是A中的元素除去A与B的公共元素所剩下的元素，由此可得选项.【详解】由韦恩图可知：阴影部分表示的是A中的元素除去A与B的交集的元素所剩下的元素因为，所以阴影部分所表示的集合是故选B【点睛】本题主要考查韦恩图和集合的交集基本运算,属于基础题2.已知全集，则（ ）A. B. C. 或D. 【答案】D【解析】【分析】求出，利用补集的定义可求出集合.【详解】由题意可得或，因此，.故选：D.【点睛】本题考查并集和补集的混合运算，考查
2、计算能力，属于基础题.3.不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】1|x+1|31|x+1|29即即，解得x(4,2)(0,2)本题选择D选项.4.若，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用作差法、不等式的基本性质可判断出各选项中不等式的正误，由此可得出结论.【详解】，则，A选项中的不等式错误；，即，B选项中的不等式错误；，可得，C选项中的不等式错误，D选项中的不等式正确.故选：D.【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的基本性质、作差法以及函数的单调性来判断，考查推理能力，属于基础题.5.命题，则是（ ）A. ，B.
3、，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】将全称命题的量词改变，否定结论，可得出命题.【详解】命题，由全称命题的否定可知，命题，.故选：C.【点睛】本题考查全称命题否定，要注意全称命题的否定与特称命题的之间的关系，属于基础题.6.若偶函数在区间上是增函数，则()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】函数为偶函数，则则，再结合在上是增函数，即可进行判断.【详解】函数为偶函数,则.又函数在区间上是增函数.则，即故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题.7.已知f（x）是定义在R上的奇函数，若x1，x2R，则“x1+x20”是“f（x1）+f
4、（x2）0”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】函数是奇函数,若，则，则，即成立,即充分性成立，若，满足是奇函数，当时满足，此时满足，但，即必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件，所以A选项正确.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键.8.对于集合，给出如下三个结论：如果，那么；如果，那么；如果，那么.其中正确结论的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】根据，得出，即；根据，
5、证明，即；根据，证明【详解】解：集合，对于，则恒有，即，则，正确；对于，若，则存在，使得，又和同奇或同偶，若和都是奇数，则为奇数，而是偶数；若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除，即，正确；对于，可设，、；则那么，正确综上，正确的命题是故选【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题二填空题9.我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，则当时，_，_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】将代入解方程组可得、值.【详解】【点睛】实
6、际问题数学化，利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的突破口10.一元二次方程的两个实数根分别是、，则的值是_【答案】【解析】【分析】利用韦达定理求出和，由此可得出的值.【详解】由韦达定理得，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用韦达定理求代数式的值，考查计算能力，属于基础题.11.已知正实数x，y满足xy=3，则2x+y的最小值是 【答案】【解析】试题分析：由题当且仅当时，等号成立；考点：均值不等式12.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则经过_后池水中药品的浓度达到最大.【答案】2【解析】C5
7、当且仅当且t0，即t2时取等号考点：基本不等式，实际应用13.已知函数是定义在R上的偶函数，且当时， 若关于 的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】若方程有四个不同的实数解，则函数与直线有4个交点，作出函数的图象，由数形结合法分析即可得答案【详解】因为函数是定义在R上的偶函数且当时，所以函数图象关于轴对称，作出函数的图象：若方程有四个不同的实数解，则函数与直线有4个交点，由图象可知：时，即有4个交点.故m的取值范围是，故答案为：【点睛】本题主要考查了偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，数形结合，属于中档题.14.已知函数是定义在上的奇函数，
8、当时，其中_；若的值域是，则的取值范围是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】运用奇函数的定义，计算即可得到所求值；由的图象关于原点对称，可知二次函数的图象与轴有交点，得到，解不等式即可得到所求范围【详解】由题意得：为上的奇函数 若的值域为且图象关于原点对称当时，与轴有交点 解得：或 的取值范围为故答案为；【点睛】本题考查函数的奇偶性的运用，根据函数的值域求解参数范围，涉及到函数函数对称性和二次函数的性质的应用，属于中档题三解答题15.已知二次函数，有两个零点为和（1）求、的值；（2）证明：；（3）用单调性定义证明函数在区间上是增函数；（4）求在区间上的最小值【答案】（1），；（2）
9、证明见解析；（3）证明见解析；（4）.【解析】【分析】（1）利用韦达定理可得出关于实数、的方程组，即可求出这两个未知数的值；（2）直接计算和f1x，可证明出；（3）任取，作差，因式分解后判断差值的符号，即可证明出函数在区间上是增函数；（4）分和两种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，即可得出函数在区间上的最小值的表达式.【详解】（1）由韦达定理得，解得；（2）由（1）知，因此，；（3）任取，则，即，因此，函数在区间上是增函数；（4）当时，函数在区间上为减函数，此时；当时，函数在区间上减函数，在区间上为增函数，此时.综上所述，.【点睛】本题考查二次函数相关的问题，涉及利用韦达定理求参数、二次函数
10、对称性、单调性的证明、以及二次函数在区间上最值的求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16.已知函数.（1）直接写出的零点；（2）在坐标系中，画出示意图（注意要画在答题纸上）（3）根据图象讨论关于的方程的解的个数:（4）若方程，有四个不同的根、直接写出这四个根的和；（5）若函数在区间上既有最大值又有最小值，直接写出a的取值范围【答案】（1）和；（2）图象见解析；（3）见解析；（4）；（5）.【解析】【分析】（1）解方程即可得出函数的零点；（2）根据绝对值翻折变换可作出函数的图象；（3）将方程的解的个数转化为函数和图象的交点个数，利用数形结合思想可得出结论；（4）根据函数可得出的值；（
11、5）求方程在时的解，利用图象可得出实数的取值范围.【详解】（1）解方程，即，解得或，所以，函数的零点为和；（2）函数的图象是将函数的图象位于轴下方的图象关于轴对称，位于轴上方的图象保持不变而得到，则函数的图象如下图所示：（3）方程的解的个数等于函数和图象的交点个数，如下图所示：当时，方程无实根；当或时，方程有个实根；当时，方程有个实根；当时，方程有个实根.综上所述，当时，方程无实根；当或时，方程有个实根；当时，方程有个实根；当时，方程有个实根；（4）由图象可知，函数的图象关于直线对称，因此，；（5）当时，解方程，解得，由图象可知，当时，函数在区间上既有最大值，又有最小值，故实数的取范围是.【点
12、睛】本题考查函数图象的应用，考查函数的零点以及最值问题，同时也涉及了函数图象对称性的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.17.已知函数.（1）求证：是上的奇函数；（2）求的值；（3）求证：在上单调递增，在上单调递减；（4）求在上的最大值和最小值；（5）直接写出一个正整数，满足【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析；（4）最大值，最小值；（5）答案不唯一，具体见解析.【解析】【分析】（1）利用奇偶性的定义证明即可；（2）代值计算即可得出的值；（3）任取，作差，通分、因式分解后分和两种情况讨论符号，即可证明出结论；（4）利用（3）中的结论可求出函数在区间上的最大值和最小值；（5）
13、可取满足的任何一个整数，利用函数的单调性和不等式的性质可推导出成立.【详解】（1）函数的定义域为，定义域关于原点对称，且，因此，函数是上的奇函数；（2）；（3）任取，.当时，则；当时，则.因此，函数在上单调递增，在上单调递减；（4）由于函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数取最大值，即；当时，所以，当时，函数取最小值，即.综上所述，函数在上的最大值为，最小值为；（5）由于函数在上单调递减，当时，所以，满足任何一个整数均满足不等式.可取，满足条件.【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的证明、利用单调性求最值，同时也考查了函数值的计算以及函数不等式问题，考查分析问题和解决问题能力，属于中等题.1
14、8.设函数，且对所有实数，等式都成立，其、，、（1）如果函数，求实数的值；（2）设函数，直接写出满足的两个函数；（3）如果方程无实数解，求证：方程无实解【答案】（1）；（2），答案不唯一；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据已知条件直接代入计算即可；（2）验证满足条件，再者若，则等式也满足，由此可得出符合条件的函数的两个不同的解析式；（3）假设方程有实数解，利用反证法推出与已知条件矛盾，进而证明结论成立.【详解】（1），则，解得；（2）若，则，此时；若，则，此时.所以，当时，满足的函数的两个解析式可以是，（答案不唯一）；（3）假设方程有实数解，设，则，两式相减得，所以，由零点存在定理可知，存在，使得，无实根，则永远不成立，推出假设不成立.所以，方程无实数解，方程也无实解【点睛】本题考查函数解析式的求解，同时也考查了方程根的存在性的证明，涉及反证法与零点存在定理的应用，考查推理论证能力，属于难题.