1、数学（文科）试卷 第页（共 5 页）1数学（文科）试卷（时间：120 分钟 分值：150 分）第 I 卷 选择题（共 60 分）一选择题（共 12 题，每题 5 分，共 60 分）1已知集合101,lg|,4241|xxyyBxAx，则BA（）A2,2B),1(C2,1(D),2(1,(2已知复数 z 在复平面内对应的点的坐标为)2,1(，则 i1z（）Ai2323 Bi2123 Ci2321 Di2321 3“a2”是“2a”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4.已知，5131331log,)32(,4logcba则cba,的大小关系为（）Abac
2、BcabCabcDcba5右侧茎叶图记录的是甲、乙两个班级各 5 名同学在一次数学测试中的成绩（单位：分，每题 5 分，共 16 题）已知两组数据的平均数相等，则 x、y 的值分别为（）A0，0B0，5C5，0D5，56 函数xeexfxxcos11)(的部分图象大致为（）7九章算术中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为 5 步和 12 步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是()A 215B 320C2115D3120数学（文科）试卷 第页（共 5 页）28将函数xxf2cos
3、)(图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数)(xg的图象，如果)(xg在区间,0a 上单调递减，那么实数 a 的最大值为（）ABCD9.设 O 是坐标原点，F 是椭圆 C：1（ab0）的一个焦点，点 M 在 C 外，且3，P 是过点 M 的直线 l 与 C 的一个交点，PMF 是有一个内角为 120的等腰三角形，则 C 的离心率等于（）ABCD10已知三棱锥中，ABCP，平面ABCPB，BCAC，且，PBPABCAC212则其外接球的体积为（）AB4CD 11蒙娜丽莎是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆该油画规格为：纵cm77，横cm53油画挂在墙壁上的
4、最低点处 B 离地面cm237（如图所示）有一身高为cm175的游客从正面观赏它（该游客头顶T 到眼睛C 的距离为cm15），设该游客离墙距离为 xcm，视角为 为使观赏视角 最大，x 应为（）.cmA77B80C100D12设函数xxfxgxxxf)()(,ln)(，给出下列四个命题：不等式0)(xg的解集为),1(e；函数)(xg在),0(e 上单调递增，在),(e上单调递减；若021 xx时，总有)()()(2212221xfxfxxm恒成立，则1m；若函数2)()(axxfxF有两个极值点，则实数)1,0(a则所有正确的命题的序号为（）ABCD数学（文科）试卷 第页（共 5 页）3第
5、II 卷 非选择题（共 90 分）二填空题（共 4 题，每题 4 分，共 20 分）13已知向量 ，若 ，则 14.在平面直角坐标系中，已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点(3,0)F到它的一条渐近线的距离为 2，则双曲线的实轴长为15.已知递增数列na的前n 项和为nS，11a ，若141nnna aS ，则na.16.已知ABC 的三个内角为 A，B，C，且 sinA，sinB，sinC 成等差数列，则 sin2B+2cosB 的最大值为，最小值为三解答题（共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23
6、 题为选考题，考生根据要求作答。）（一）必考题（共 60 分）17.（12 分）如图，在四棱锥 SABCD中，底面 ABCD 是菱形，SBSD（1）证明：BDSA；（2）若面 SBD 面 ABCD，SBSD，60BAD，1AB ，求 B 到平面 SAD 的距离18.（12 分）甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列 na的前 n 项和为nS，已知，（1）判断321,SSS的关系并给出证明；（2）若331 aa，设|log2nnab，记数列 nb的前 n 项和为nT，求nT 的最大值.甲同学记得缺少的条件是首项1a 的值，乙同学
7、记得缺少的条件是公比 q 的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是231,SSS成等差数列如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你把条件补充完整并解答此题数学（文科）试卷 第页（共 5 页）419.（12 分）如图，已知点 F 为抛物线 C：y22px（p0）的焦点，过点 F 的动直线 l 与抛物线 C 交于 M，N 两点，且当直线 l 的倾斜角为 45时，|MN|16（1）求抛物线 C 的方程（2）试确定在 x 轴上是否存在点 P，使得直线 PM，PN 关于 x 轴对称？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由20.（12 分）随着人民生活水平的日益提高，某小区居民拥有私家车的数量与日
8、俱增由于该小区建成时间较早，没有配套建造地下停车场，小区内无序停放的车辆造成了交通的拥堵该小区的物业公司统计了近五年小区登记在册的私家车数量（累计值，如 7 表示 06 年小区登记在册的所有车辆数，其余意义相同），得到如下数据：编号 x5年份005060708数量 y（单位：辆）707966（）若私家车数量 y 与年份编号 x 满足线性相关关系，求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测 00 年该小区的私家车数量；（）小区于 08 年底完成了基础设施改造，划设了 0 个停车位为解决小区车辆乱停乱放的问题，加强小区管理，物业公司决定禁止无车位的车辆进入小区由于车位有限，物业公司决定在 09 年度
9、采用网络竞拍的方式将车位对业主出租，租期一年，竞拍方案如下：截至 08 年已登记在册的私家车业主拥有竞拍资格；每车至多申请一个车位，由车主在竞拍网站上提出申请并给出自己的报价；根据物价部门的规定，竞价不得超过 00 元；申请阶段截止后，将所有申请的业主报价自高到低排列，排在前 0 位的业主以其报价成交；若最后出现并列的报价，则以提出申请的时间在前的业主成交，为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的 0 位业主，进行了竞拍意向的调查，并对他们的拟报竞价进行了统计，得到如图频率分布直方图：数学（文科）试卷 第页（共 5 页）5（i）求所抽取的业主中有意向竞拍报价不低于 000 元
10、的人数；（ii）如果所有符合条件的车主均参与竞拍，利用样本估计总体的思想，请你据此预测至少需要报价多少元才能竞拍车位成功？（精确到整数）参考公式及数据：对于一组数据 1122,.,nnx yxyxy，其回归方程ybxa的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()niiiniixxyybayb xxx，；51()450iiixxyy21.（12 分）已知函数 f（x）ex（x2+ax+1）（aR）（1）求函数 f（x）的极值；（2）当 3a4 时，若函数 f（x）有两个极值点 x1，x2，且 x1x2，求证：5 （二）选考题（共 10 分）请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，
11、则按所做的第一题计分。22.（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin2cos22yx（为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为cossin3，曲线3C 的极坐标方程为6（1）把曲线1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）若曲线3C 与1C 交于两点,AO3C 与2C 交于两点,BO求|AB 23.（10 分）已知绝对值不等式：45|1|1|2aaxx.（1）当0a时，求 x 的取值范围；（2）若对任意的实数 x 上述绝对值不等式恒成立，求 a 的取值范围数学（文科）答案 第页（共 4 页）12020届高三 适应性训练6
12、 数学（文科）答案一选择题1-6 CDB ABA7-12 CBB ADA二填空题13.514.2 515.21n 16.123233，（第一空 2 分，第二问 3 分）16.解：sinA，sinB，sinC 成等差数列，2sinBsinA+sinC，由正弦定理可得，2ba+c，由余弦定理有，抐衠 2222 2222 322 32 2（当且仅当 abc 时取等号），又 B 为三角形 ABC 内角，故 衠 ，3，设 衠 2衠 2抐衠，衠 ，3，则 f（B）2cos2B2sinB4sin2B2sinB+2，令 f（B）0，解得 衠，令 f（B）0，解得 衠3，故函数 f（B）在，单调递增，在 ，3
13、单调递减，衠 3 2抐 3 32，衠 3 23 2抐 3 32 .三解答题17.解：（1）连接 AC 交 BD 于O，连接 SO，在菱形 ABCD 中，BDAC，O 是 BD 的中点，又因为 SBSD，所以 BDSO，又 ACSOO，所以 BD 面 SAC，又 SA 面 SAC，所以 BDSA.4 分（2）因为面 SBD 面 ABCD，面面 SBD 面 ABCDBD，BDSO，SO 面 SBD，所以 SO 面 ABCD，即 SO 是三棱锥 SABD的高.6 分依题意可得，ABD是等边三角形，所以1BDAD，32AO，数学（文科）答案 第页（共 4 页）2在等腰 Rt SBD，1122SOBD，
14、113131322224SABDV .8 分经计算得22SD，1SA，等腰三角形 ASD 的面积为212271()2248ASDS，.10 分设点 B 到平面 SAD 的距离为 h，则由B SADSABDVV，得 13324ASDSh，解得217h，所以 B 到平面 SAD 的距离为217.12 分18解：补充的条件为：21q.2 分（1）S1，S3，S2 成等差数列证明：由题意可得 S1a1，S2a1+a2a1a1a1，S3a1+a2+a3a1a1+a1a1，可得 S1+S22S3，因此 S1，S3，S2 成等差数列；.5 分（2）证明：由 a1a33，可得 a1a13，解得 a14，.6
15、分nbannnnn32)21()21(4331，则所以.8 分2522)32(221nnnnTbn，所以又.10 分.332,25取得最大值为时，或所以当且因为对称轴为nTnNn.12 分19解：（1）当 l 的斜率为 1 时，2，l 的方程为 2设 M（x1，y1），N（x2，y2），由 2，2 2，得2 3 2 ，则 x1+x23p，.3 分|MN|x1+x2+p4p16，p4，抛物线 C 的方程为 y28x.5 分（2）法一：假设满足条件的点 P 存在，设 P（a，0），由（1）知 F（2，0），当直线 l 与 x 轴垂直时，由抛物线的对称性易知 PM，PN 关于 x 轴对称，此时只需
16、P 与焦点 F 不重合即可.6 分当直线 l 不与 x 轴垂直时，设 l 的方程为 yk（x2）（k0），由 2，2 ，得 k2x2（4k2+8）x+4k20，数学（文科）答案 第页（共 4 页）3（4k2+8）24k24k264k2+640，2 22，x1x24.7 分直线 PM，PN 关于 x 轴对称，kPM+kPN0，.8 分 2，222.10 分a2，此时 P（2，0）.11 分综上，存在唯一的点 P（2，0），使直线 PM，PN 关于 x 轴对称.12 分法二：假设满足条件的点 P 存在，设 P（a，0），由（1）知 F（2，0），显然，直线 l 的斜率不为 0，设 l：xmy+2，
17、代入抛物线方程得：y28my160，则 y1+y28m，y1y216.6 分，22，kPM+kPN0.7 分（x2a）y1+（x1a）y2（my2+2a）y1+（my1+2a）y22my1y2+（2a）（y1+y2）0.9 分2m（16）+（2a）8m0，a2.11 分存在唯一的点 P（2，0），使直线 PM，PN 关于 x 轴对称.12 分20.解：（）由表中数据，计算得1 1234535x ，1 37104 1471962161405y，515222221()45045045(2)(1)0 1210()iiiiixxyybxx，.2 分14045 35aybx 故所求线性回归方程为 455
18、yx，.4 分令 x7，得 45 75320y ；.5 分（2）（i）由频率直方图可知，有意竞拍报价不低于 元的频率为：（.25.5）1=0.3，共抽取 位业主，则 400.3=12，有意竞拍不低于 元的人数为 2 人.8 分（ii）由题意，12052169.9 分由频率直方图估算知，报价应该在 9-之间，设报价为 x 百元，则5100.40.39x.11 分解得 x9.361至少需要报价 937 元才能竞拍成功.12 分21解：（1）由题意可得 f（x）ex（x2+ax+1）+ex（2x+a）ex（x+1）（x+a+1），.1 分当 a0 时，a11，f（x）0，函数 f（x）在 R 上单调
19、递增，无极值；.2 分当 a0 时，a11，令 f（x）0，解得 x（，1）（a1，+），令 f（x）0，解得数学（文科）答案 第页（共 4 页）41xa1，函数 f（x）在（，1）单调递增，在（1，a1）单调递减，在（a1，+）单调递增，极大值 2，极小值 2；.4 分当 a0 时，a11，令 f（x）0，解得 x（，a1）（1，+），令 f（x）0，解得a1x1，函数 f（x）在（，a1）单调递增，在（a1，1）单调递减，在（1，+）单调递增，极大值 2，极小值 2；.6 分（2）证明：由题意得 3a4，即 a0，由（）可知，x1a1，x21，故 2 2，2 222 2 2，2 22 22
20、，.9 分令 22，则 222，g（a）在（3，4）上单调递减，g（4）g（a）g（3），即3 53，又 2，故 53 2 3.12 分22解：（1）曲线 C1 的参数方程为（为参数），消去参数得曲线 C1 的普通方程为（x2）2+y24，即 x2+y24x0，由 xcos，ysin，得曲线 C1 的极坐标方程为4cos.5 分（2）设点 A 的极坐标为（），点 B 的极坐标为（），则，|AB|12|.10 分23解：（1）当 a0 时，原不等式变为：|x+1|+|x1|4，故或或，解此不等式可得：x2 或 x2，.5 分（2）由|x+1|+|x1|2，则 2a25a+4 恒成立，所以.10 分