1、1连城一中 2021 届高三下期第 8 次周考（数学）答案 202104291.【详解】依题得，210Ay yxy y，4341013RBxxxxx，则R40,3AB 故选：A.2.【详解】设复数 z 的共轭复数为,zabi a bR，则 zabi，所以由2 35zi 可得222325ab当5,2ab时，显然不满足上式，其它选项检验可知都符合故选：C3.【详解】依题意，33log 151 log 5a ，1666log 30log 301 log 5b 1777log 35log 351 log 5c ；因为5550loglogl367og所以367log 5log 5log 5，故 abc，
2、故选：A4.【详解】若从 6 个顶点中任取 2 个，则可以构造出26C=15 条线段，其中长度超过2的线段有 4 条（AD,BC,AC,BD），故所求概率为4111 1515.故选：B5.【详 解】依 题 意，圆1C 的 圆 心1 2,4C，半 径 R1=3,圆2C的 圆 心2 5,0C，半 径R2=4,221225451,7C C，故圆1C 与2C 相交，有 2 条公切线.故选:B.6.【详解】依题意，sin103sin10cos103，3 sin10 cos103 sin10cos10 ，则 3 sin10 cos10cos103sin10 ，即3sin 202 cos10 sin 30s
3、in10 cos302sin 202，故322，则4 33 故选：D.7.【详解】设,M m n，则22221mnab，即222222b ma na b，故2222bm anbmanabMA MaBb22222222224b ma na bcabc，故4224ca b，则42224caca，则4224440ca ca，即42440ee，故22e，则2e，故选:B8.【详解】易知要满足 CN 平面 ABM 有两个极限状态，第一是 BM 为ABC的角平分线时，此时2NB，第二是点 M 与点 A 重合时，此时1NB；故1,2NB，则实数 的最大值为 1，故选：A.9.【详解】对选项 A，从 2010
4、-2019 年，我国研究生在校女生人数逐渐增加，故 A 正确；对选项 B，由于 2010-2019 年，我国研究生在校女生人数逐年增加，且 2019 年人数为 144.8 万，故 B 正确；对选项 C，2017 年我国研究生在校女生人数所占比重为 48.4%，不足一半，故 C 正确；对选项 D，144.8286.1660.506，故 2019 年我国研究生在校总人数超过 285 万，故 D 项错误.故选：ABC10.【详解】作出图形如图所示，以O为坐标原点，线段 BC，AB 的垂直平分线分别为 x、y 轴建立平面直角坐标系 xOy；观察可知，2,2A ，2,2B，2,2C，2,2D，设,E x
5、 y，则2236xy，故2,2EAxy ，2,2EBxy，2,2ECxy，故 ED 2,2xy，2故 EA EBEB ECEC EDED EA 24144EAECEBEDEO，56EA ECEB ED .故选：BC11.【详 解】令 0f x，即3xk，故3kx（kZ），所 以 第 1 个 零 点 为1233x，而第 6 个零点为661733x，第 7 个零点为772033x，故1720233，解得171063.故选：BC.12.【详解】解：依题意，lnf xxxx，ln2fxx，故 3fe，故曲线 yf x在,e f e处的切线与30 xy相互平行，故 A 正确；令 ln2xxxh xx，利
6、用导数判断 D；1 lnfxax，令 0fx，则1ln0ax，则1 lnax，因为1,4x，故1a ，故函数 f x 在1,4 上单调递增的必要不充分条件1ln 4a，故 B 正确；令 1 ln0fxax 得1axe，显然，10,axe时，0fx，函数 f x 单调递减；1,axe 时，0fx，函数 f x 单调递增，所以 min1aeff x1ae，令 t aaa，则 110atae ，得1a ，,1a 时，0t a，函数 t a 单调递增；1,a 时，0t a，函数 t a 单调递减；所以 max0t a，故 C 正确；ln2xxxkx，令 ln2xxxh xx，则 242ln2xxh x
7、x.令 4 2lng xxx，21gxx，2x 时，0g x，即 g x 单调递增，424 2ln8ln8nl 80ge，952ln9g 52lnln90e，设42ln0 xx并记其零点为0 x，故089x，且004ln2xx，所以当02xx时，0g x，即 0h x，h x 单调递减；当0 xx时，0g x 即 0h x，h x 单调递增，所以 min0hxh x0000000004ln2222xxxxxxxxx，因此02xk，由于kZ且089x，即09422x，所以max4k，故 D 错误.故选：ABC13.【详解】解：因为-81255xxfxee，所以 04f；而 81255xxxfee
8、，故 405f ，故所求切线方程为445yx，即4yx45.故答案为：4yx45 14.【详解】正方体1111ABCDA B C D的体积为 27，3AB，故正方体的外接球表面积为223 344272SR；分别取线段11BC，1B B 的中点 P，Q，连接1A P，1AQ，PQ，连结1,EF BC,由三角形中位线定理得：11,PQBC EFBCPQEF3又 PQ 面 A1PQ,EF 面 A1PQ，EF 面 A1PQ.同理可证：AE 面 A1PQ.又 AEEFE,面 AEF面 A1PQ.故点G 在线段 PQ 上运动（含端点位置），当 G 与 P（或 Q）重合时，2222max1133 5322C
9、GCPCCC P；当 G 在 PQ 中点 R 时，2222min3 53 29 2244CGCRCPRP.故9 2 3 5,42CG.故答案为：9 2 3 527,42；【点睛】（1）多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：15.【详解】依题意，53555Sa，解得311a，10131932211aadaad，解得153ad，故32nan，253237222nnnSnn.故答案为：23722nn16.【详解】设圆 C 的方程为220 xyDxEyF，将 5,0，2,3，3,2分别代入，可得2550723013320DFDEFDEF，解得605DEF，即圆C：2234xy；如图
10、，连接 MC，C P，C Q，PQ，易得C PMP，C QMQ，MCPQ，所以四边形 MPC Q的面积为 12 MCPQ；另外四边形 MPC Q的面积为 MPC面积的两倍，所以12 MCPQMPC P，故2 MP C PQCPM224444 1C MC MC M，故当 C M最小时，PQ 最小，设,M x y，则223MCxy 229xx，所以当1x 时，min2 2MC，当 x正无穷大时，PQ 趋近圆的直径 4，故 PQ 的取值范围为2 2,4.故答案为：2 2,417.4 分47 分10 分7 分10 分7 分10 分18.【详解】(1)在ABC 中，由余弦定理知，b2c2a22bccos
11、 A，所以 2b22bccos A(1tan A)，1 分所以 bc(cos Asin A)，又由正弦定理知，bcsin Bsin C，得 sin Bsin C(cos Asin A)，3 分所以 sin(AC)sin C(cos Asin A)，即 sin Acos Ccos Asin Csin Ccos Asin Csin A，所以 sin Acos Csin Csin A，因为 sin A0，所以 cos Csin C，所以 tan C1，5 分又因为 0C，所以 C34.6 分(2)因为 cos B2 55，且 0B，所以 sin B 55，7 分因为 sin Asin(BC)sin
12、Bcos Csin Ccos B 55 22 22 2 55 1010，8 分由正弦定理知csin C asin A，所以 acsin Asin C 2 10 1010222 2，10 分在ABD 中，由余弦定理知 AD2AB2BD22ABBDcos B(2 10)2(2)222 10 22 55 26，所以 AD 26.12 分519.【详解】（1）因为/BC平面 SAD，BC 平面 ABCD，平面 ABCD 平面 SADAD，所以/BCAD；3 分因为 SBC为等边三角形，且 BMCM，故 SMBC，则SMAD；5 分（2）取 SB 的中点O，连接 AO，CO，因为 SAB，SBC均为等边
13、三角形，故 AOSB，COSB，因为二面角 ABSC为直二面角，故平面 ABS 平面CBS，因为 AO 平面 A B S，平面 ABS 平面CBSBS，故 AO 平面 SBC；8 分故以O为坐标原点，OB，OC，OA所在直线分别为 x，y，z 轴建立如图所示空间直角坐标系；不妨设2AB，则 1,0,0S，1,0,0B，0,3,0C，0 03A,，所以1,3,0BC ，113,0222ADBC，所以13,322D，13,322SD，所以213 2 3,3333SNSD，所以23 2 3,333N，9 分所以1,3,0BC ，22 3 2 3,333CN，233,333AN，设平面 BNC 的法向
14、量,nx y z，则00n BCn CN ，故3022 32 30333xyxyz，则32xyzy ，令1y ，则3,1,2n 为平面 BNC 的一个法向量；11 分则直线 AN 与平面 BNC 所成角正弦值3 15sin20ANANnn.12 分20.【详解】（1）依题意，整理表格数据如下：5 年花费（万元）3,55,77,99,1111,1313,15人数60100120406020频率0.150.250 30.10.150.05依题意，40.1560.2580.3100.1120.15140.058x，2222220.1540.2520.1 20.1540.0568s ；4 分（2）由（
15、1）可知，8，28，222.8；0.95440.68265.213.620.81852PP，故所求人数为1000000.818581850；7 分（3）依题意，34,10XB，647240101010000P X，3143741161101010000P XC，22243726462101010000P XC ，334377563101010000P XC ，438141010000P X，X01234P240110000411610000264610000756100008110000则364105E X.12 分21.【详解】（1）依题意，1,0F，直线l：1yx；联立22897201xy
16、yx，故22891720 xx，整理得21718630 xx，0；设 11,A x y，22,B x y，故121817xx，126317x x ，故2221212129611417ABkxxkxxx x；5 分（2）当直线l 的斜率不存在时，其方程1x，81,3A，81,3B，3,0D，根据ADDMkk，得83=26My，得到9,8M，同理9,8N.故 FM，FN 的斜率之积为80 8019191FMFNkk ，故 FMFN；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1yk x，11,A x y，22,B x y，联立221198yk xxy，消去 y 整理得222289189720kxk
17、xk，故21221889kxxk，212297289kx xk，212121212111y yk xk xkx xxx，由 D，A，M 共线得，1100393Myyx，解得1163Myyx，由 D，B，N 共线得，2200393Nyyx，解得2263Nyyx，故 FM，FN 的斜率之积为12120099 19 1641633MNMNFMFNyyy yy ykkxx72222221212221212229721891918989116399723 181698989kkkkx xxxkkx xxxkkkk，故 FMFN；综上所述，FMFN.12 分22.【详解】（1）依题意，221xxmefex
18、，令xte，则由 0fx可得2210mtt 则18m ；当18m 时，0，此时 0fx，故函数 f x 在,上单调递增，无极值点，不合题意；当108m时，0，0fx，得1184xmem，则令1118ln4mxm，2118ln4mxm，则当1,xx 时，0fx，当12,xx x，0fx，当2,xx 时，0fx，此时函数 f x 有 2 个极值点，符合题意；综上所述，实数m的取值范围为10,8；5 分（2）依题意，1xxemexa，记 1xxg xemexa，g xfx；（i）由（1）可知当18m 时，0g x，则函数 g x 在,上单调递增；可知当 x 时，g x，当 x 时，g x，故当18m
19、 时，函数 g x 恰有 1 个零点，此时 a R；（ii）当108m时，g x 在1,x上单调递增，在12,x x上单调递减，在2,x 上单调递增，1122122221210 xxxxg xg xmeemee ，则1212112222xxxxeemee，所以 1112111122xxxeg xg xmeexaxa 极大值，222222122xxxeg xg xmeexaxa 极小值，因为当 x 时，g x，当 x 时，g x，故只需 10g x 或 20g x；令 122xeh xx，则 12xehx ，故当,ln2x 时，0h x，当ln2,x，0h x，又111 82lnln411 8mxmm，22ln118xm，又108m，故1 80,1m，故10,ln 2x，2ln 2,x ，所以 131,ln 22h x，23,ln 22h x ，故3ln 22a；综上所述，实数a的取值范围为3ln 2,2 12 分