1、4.2随机变量4.2.1随机变量及其与事件的联系4.2.2离散型随机变量的分布列课后篇巩固提升基础达标练1.(多选)某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X;某人射击2次,击中目标的环数之和记为X;测量一批电阻,阻值在950 1 200 之间;一个在数轴上随机运动的质点,它在数轴上的位置记为X.其中是离散型随机变量的是()A.B.C.D.解析中变量X所有可能取值是可以一一列举出来的,是离散型随机变量,而中的结果不能一一列出,故不是离散型随机变量.故选AB.答案AB2.(2019天津高二期中)同时抛掷3个硬币,正面向上的个数是随机变量,这个随机变量的所有可能取值为()A.3B.4C.1,2,
2、3D.0,1,2,3解析同时抛掷3个硬币,正面向上的个数可能取值为0,1,2,3.故选D.答案D3.设随机变量等可能取值1,2,3,n,如果P(4)=0.3,那么()A.n=3B.n=4C.n=10D.n=9解析由4知=1,2,3,所以P(=1)+P(=2)+P(=3)=0.3=3n,解得n=10.故选C.答案C4.(2020山东潍坊检测)随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),其中a为常数,则P12X52的值为()A.23B.34C.45D.56解析根据题意,由于P(X=n)=an(n+1),那么可知,n=1,2,3,4时,则可得概率和为1,即a2+a6
3、+a12+a20=1,解得a=54.P12X1)=.解析依题意,P(=1)=2P(=2),P(=3)=12P(=2),P(=3)=P(=4),由分布列性质得P(=1)+P(=2)+P(=3)+P(=4)=1,则4P(=2)=1,即P(=2)=14,P(=3)=P(=4)=18.所以P(1)=P(=2)+P(=3)+P(=4)=12.答案12能力提升练1.(2020天津月考)袋中有3个白球、5个黑球,从中任取2个,可以作为离散型随机变量的是()A.至少取到1个白球B.至多取到1个白球C.取到白球的个数D.取到的球的个数解析根据离散型随机变量的定义可得选项C是离散型随机变量,其可以一一列出,其中随
4、机变量X的取值为0,1,2,故选C.答案C2.(多选)下列问题中的随机变量服从两点分布的是()A.抛掷一枚骰子,所得点数为随机变量XB.某射手射击一次,击中目标的次数为随机变量XC.从装有5个红球,3个白球的袋中取1个球,令随机变量X=1,取出白球,0,取出红球D.某医生做一次手术,手术成功的次数为随机变量X解析A中随机变量X的取值有6个,不服从两点分布,故选BCD.答案BCD3.设随机变量X的概率分布如下表所示,则P(|X-3|=1)=()X1234P13m1416A.712B.16C.14D.512解析m=1-13-14-16=14,P(|X-3|=1)=P(2)+P(4)=14+16=5
5、12.故选D.答案D4.(2019青海高二月考)离散型随机变量X的分布列中的部分数据丢失,丢失数据以x,y(x,yN)代替,分布列如下:X=i123456P(X=i)0.200.100.x50.100.1y0.20则P32X113等于()A.0.25B.0.35C.0.45D.0.55解析根据分布列的性质知,随机变量的所有取值的概率和为1,因此0.1x+0.05+0.1+0.01y=0.4,即10x+y=25,由x,y是09间的自然数可解得x=2,y=5,故P32X113=P(X=2)+P(X=3)=0.35.故选B.答案B5.若P(n)=1-a,P(m)=1-b,其中mn)-P(m)=1-1
6、-(1-a)-1-(1-b)=1-(a+b).答案1-(a+b)6.(2020浙江高三专题练习)设随机变量X的分布列为P(X=i)=k2i(i=1,2,3),则P(X2)=.解析因为随机变量X的分布列P(X=i)=k2i(i=1,2,3),所以P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=k2+k22+k23=78k=1,解得k=87,因此P(X2)=P(X=2)+P(X=3)=38k=37.答案377.袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为17,现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取取后不放回,直到两人中有一人取到白球时终止,每个球在每一次被取出的机会是等
7、可能的,用表示取球终止所需要的取球次数.(1)求袋中所有的白球的个数;(2)求随机变量的分布列;(3)求甲取到白球的概率.解(1)设袋中原有n个白球,由题意知17=Cn2C72=n(n-1)2762=n(n-1)76,即n2-n-6=0.解得n=3或n=-2(舍去),即袋中原有3个白球.(2)由题意,的可能取值为1,2,3,4,5.P(=1)=37,P(=2)=4376=27,P(=3)=433765=635,P(=4)=43237654=335,P(=5)=4321376543=135.所以的分布列为12345P3727635335135(3)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次、第三次和第五
8、次取到白球,记“甲取到白球”为事件A,则P(A)=P(=1)+P(=3)+P(=5)=2235.素养培优练1.(2020北京月考)抛掷两枚骰子一次,为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差,则的所有可能的取值为()A.05,NB.-50,ZC.16,ND.-55,Z解析第一枚的最小值为1,第二枚的最大值为6,差为-5.第一枚的最大值为6,第二枚的最小值为1,差为5.故的取值范围是-55,故选D.答案D2.已知随机变量的分布列为-2-10123P112141311216112分别求出随机变量1=12,2=2的分布列.解由1=12知,对于取不同的值-2,-1,0,1,2,3时,1的值分别为-1,-12,0,12,1,32.所以1的分布列为1-1-12012132P112141311216112由2=2知,对于的不同取值-2,2与-1,1,2分别取相同的值4与1,则P(2=4)=P(=-2)+P(=2)=14,P(2=1)=P(=-1)+P(=1)=13.所以2的分布列为20149P131314112