1、2.4等比数列第一课时等比数列的概念与通项公式 选题明细表知识点、方法题号等比数列的定义与判定1,3,4,7,12等比数列的通项公式8,11等比中项的应用2,6,9综合问题5,10,13基础巩固1.在首项a1=1,公比q=2的等比数列an中,当an=64时,项数n等于(D)(A)4(B)5(C)6(D)7解析:因为an=a1qn-1,所以12n-1=64,即2n-1=26,得n-1=6,解得n=7.故选D.2.(2019文登高二月考)设等差数列an的公差d不为0,a1=9d,若ak是a1与a2k的等比中项,则k等于(B)(A)2(B)4(C)6(D)8解析:因为an=(n+8)d,又因为=a1
2、a2k,所以(k+8)d2=9d(2k+8)d,解得k=-2(舍去)或k=4.故选B.3.(2019温州高二检测)设a1=2,数列1+2an是公比为3的等比数列,则a6等于(C)(A)607.5(B)608(C)607(D)159解析:因为1+2an=(1+2a1)3n-1,所以1+2a6=535,所以a6=607.故选C.4.公比为q的等比数列an,若bn=an+2an+2(nN*),则数列bn是(A)(A)公比为q的等比数列(B)公比为q2的等比数列(C)公差为q的等差数列(D)公差为q2的等差数列解析:bn=an+2an+2=an(1+2q2)0,=q.故选A.5.(2019河南郑州检测
3、)已知各项不为0的等差数列an满足a4-2+3a8=0,数列bn是等比数列,且b7=a7,则b2b8b11等于(D)(A)1(B)2(C)4(D)8解析:因为a4-2+3a8=0,所以2=a4+3a8,即2=a7-3d+3(a7+d)=4a7,所以a7=2,所以b7=2,所以b2b8b11=b1qb1q7b1q10=q18=8.故选D.6.已知等差数列an的公差d0,且a1,a3,a9成等比数列,则=.解析:因为a1,a3,a9成等比数列,所以=a1a9,所以(a1+2d)2=a1(a1+8d),所以a1=d,所以=.答案:7.(2019北大附中期中)若正项数列an满足a1=2,-3an+1a
4、n-4=0,则an的通项公式an=.解析:由-3an+1an-4=0,得(an+1-4an)(an+1+an)=0.因为an是正项数列,所以an+1-4an=0,=4,由等比数列定义,数列an是以2为首项,以4为公比的等比数列.由等比数列通项公式得an=24n-1=22n-1.答案:22n-18.各项均为正数的等比数列an中,a4=1,a2+a6=,求数列an的通项公式.解:由a2+a6=,得+a4q2=,又a4=1,所以9q4-82q2+9=0,得q2=9或,所以q=3或,所以an=a4qn-4=3n-4或an=()n-4.能力提升9.(2019珠海高二检测)若互不相等的实数a,b,c成等差
5、数列,c,a,b成等比数列,且a+3b+c=10,则a等于(C)(A)2(B)8(C)-4(D)-8解析:依题意,得解得故选C.10.(2019佛山高二检测)已知正项等比数列an满足:a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得=4a1,则m+n的值为(B)(A)10(B)6(C)4(D)不存在解析:因为a7=a6+2a5,所以a5q2=a5q+2a5,又a50,所以q2=q+2,所以q=2或q=-1,又an0,所以q=2,又=4a1,所以aman=16,所以qm-1qn-1=16,所以qm+n-2=16,即2m+n-2=24,所以m+n-2=4,所以m+n=6.故选B.11.若数列an的前
6、n项和Sn=an+,则an的通项公式是an=.解析:当n=1时,S1=a1+,所以a1=1.当n2时,an=Sn -Sn-1=an+-(an-1+)=(an-an-1),所以an=-2an-1,即=-2,所以an是以1为首项的等比数列,其公比为-2,所以an=1(-2)n-1,即an=(-2)n-1.答案:(-2)n-112.设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2,设bn=an+1-2an,证明:数列bn是等比数列.证明:由a1=1及Sn+1=4an+2,有a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2=5,所以b1=a2-2a1=3.由Sn+1=4an+2, 则当n2时,有
7、Sn=4an-1+2, -得an+1=4an-4an-1,所以an+1-2an=2(an-2an-1),又bn=an+1-2an,所以bn=2bn-1,所以bn是首项b1=3,公比为2的等比数列.探究创新13.(2019郑州高二期末)设an是公比不为1的等比数列,其前n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列.(1)求数列an的公比;(2)证明:对任意kN*,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.(1)解:设数列an的公比为q(q0,q1),由a5,a3,a4成等差数列,得2a3=a5+a4.即2a1q2=a1q4+a1q3,由a10,q0得q2+q-2=0,解得q1=-2,q2=1(舍去),所以q=-2.(2)证明:对任意kN*,Sk+2+Sk+1-2Sk=(Sk+2-Sk)+(Sk+1-Sk)=ak+1+ak+2+ak+1=2ak+1+ak+1(-2)=0,即2Sk=Sk+2+Sk+1,所以对任意kN*,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.