1、湖北省襄阳市等九地市2019-2020学年高一数学上学期元月期末联考试题（A）（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合则AB=（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据集合的交集运算即可求解.【详解】由，所以， 故选：B【点睛】本题考查了集合的基本运算，需熟记表示为自然数集，属于基础题.2.下列函数与是同一个函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的三要素：定义域、值域、对应关系相同即可判断为同一函数.【详解】定义域为，值域为对于A，定义域为，故A不选；对于B，定义域为，值域为，故B不选；对于C，定
2、义域为，故C不选；对于D，定义域为，对应关系相同，故D选；故选：D【点睛】本题考查了函数的三要素，考查了函数的概念，属于基础题.3.( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量加减的运算性质直接计算即可【详解】解：故选：【点睛】本题考查了向量的加减运算，属于基础题4.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）已知大正方形边长为10，小正方形边长为2.设较小直角边a所对的角为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可知，利用勾股定理可
3、求出，从而可求出的值.【详解】由题意可得，所以，解得或（舍去），故，所以，故选：B【点睛】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题.5.在平面直角坐标系xOy中，若角的顶点在坐标原点，始边与x非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(m,n),且，则m=（ ）A. -B. C. -D. 【答案】A【解析】【分析】首先利用诱导公式求出，然后利用三角函数的定义以及终边与单位圆交于点P(m,n),建立方程组，解方程即可求解.【详解】由，则，即，又终边与单位圆交于点P(m,n),则，解得或，因为，故角的终边在第三象限，故.故选：A【点睛】本题考查了诱导公式以及三角函数的定义，需熟记诱导公式以及三角函数的定义，属
4、于基础题.6.已知，则（ ）A. -99B. -98C. 99D. -100【答案】B【解析】【分析】首先利用求出，再利用函数的奇偶性即可求解.【详解】，所以，即，可得，设，由，即函数为奇函数，故，故，由，所以，故选：B【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，需熟记奇偶性的性质，属于基础题.7.估计的大小属于区间（ ）A. （-1，-）B. （-，0）C. （0，）D. （，1）【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式化简要求的式子为，结合，即可求出的取值范围.【详解】，而，所以 故选：A【点睛】本题主要考查了诱导公式以及特殊角的三角函数值，需熟记公式和特殊角的三角函数值，属于基础题.8.函数的函数
5、图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先去绝对值化得函数为，结合对数型复合函数的单调性即可得出选项.【详解】去绝对值可得，当时，单调递增，当时，单调递减，且，当时，单点递增，且，综上只有A符合，故选：A【点睛】本题主要考查函数的性质与图像，需熟记对数型函数的性质，属于中档题.9.已知函数，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先判断出函数的单调性与的大小，根据函数的单调性即可比较出大小.【详解】由，且，故；，故，又因为函数在上单调递减，所以，故选：C【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的单调性，比较指数与对数的大小，利用函数的单调性比较函数值
6、的大小，10.对于下列命题：若，则；在，若，则为锐角三角形；零向量与任何向量都共线若和都是单位向量，则或其中正确命题有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】C【解析】【分析】根据向量共线的定义及向量的数量积的定义一一判断可得；【详解】解：，又，所以，所以，故正确；，即，故为钝角三角形，故错误；零向量与任何向量都共线（平行），故正确；单位向量指模为的向量，再具体的情境中，单位向量的方向是确定的，故错误.故选C.【点睛】本题考查共线向量、单位向量、零向量、向量的模、数量积等概念，属基本概念的考查11.已知函数，若方程的解为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】
7、由且方程的解为，可知关于直线对称，从而可得，进而可得出答案.【详解】由得，所以是函数一条对称轴，因为方程的解为，即，所以.故选：A.【点睛】本题考查了三角函数的对称性，需掌握住正弦函数的对称轴，属于基础题.12.若定义在R上函数的图象关于其图象上一点对称，对任意的实数x都有，且，则函数在区间上的零点个数最少有( )A. 1010个B. 1514个C. 1515个D. 2020个【答案】C【解析】【分析】根据题意可得函数关于对称，且函数的周期为8，然后再求出函数在一个周期内的零点个数为6，结合，进而可得出答案【详解】解：因为函数的图象关于图象上点对称，所以的图象关于对称，故为奇函数，又，所以，即
8、时周期为8的奇函数，因为，所以，即，则，则，则，故在中0，1，3，4，5，7为函数零点，所以中共有253个周期余3，故函数在区间上零点个数最少有，故选：【点睛】本题考查了利用函数的对称性和周期性求函数的零点个数，属于中档题二、填空题13.已知集合，若,则实数m的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】根据对数的性质求出集合，再由可得从而可得即可求解.【详解】由在定义域内为增函数， ，解得 故，又因为，所以，由所以，解得，故实数m的取值范围为 故答案为：【点睛】本题主要考查由集合的运算以及包含关系求参数的取值范围、解对数函数的不等式，属于基础题.14.若向量，满足，则与的夹角为_.【答案】【解析】
9、【分析】首先根据向量的运算律求出，再根据夹角公式求出夹角即可；【详解】解：，即，所以故答案为：【点睛】本题考查向量的数量积的运算律，向量夹角公式的应用，属于基础题.15.对下列命题：直线与函数的图象相交，则相邻两交点的距离为；点 是函数的图象的一个对称中心；函数在上单调递减，则的取值范围为； 函数若对R恒成立，则.其中所有正确命题的序号为_【答案】【解析】【分析】根据三角函数的图像与性质分别进行判断即可：根据正切函数的周期为即可判断；根据正切的中心对称点即可判断；根据余弦函数的单点递减区间即可判断；由正弦函数的最值以及的取值范围即可判断；【详解】对于，函数的周期为，故正确；对于，函数，令，解得
10、，所以函数的中心对称点为，当时，故点是函数的一个对称中心，故正确；对于，周期，即，当时，即，解得，故正确；对于，由题意可得，即，解得，又因为，所以或，故错误；故答案为：【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质的应用，需熟记性质，属于中档题.16.已知函数，则f(6)=_；若方程在区间有三个不等实根，实数a的取值范围为_.【答案】 (1). 8 (2). 【解析】【分析】（1）利用函数的递推关系式，代入即可求解（2）画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出的取值范围【详解】解：因为作出函数在区间上的图象如图：设直线，要使在区间上有3个不等实根，即函数与在区间上有3个交点，由图象可知或所以实数的取值
11、范围是故答案为：8；【点睛】本题考查了分段函数求值、根据零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（1）求值+；（2）设求的值.【答案】（1）123（2）1【解析】【分析】（1）利用指数式与对数式的运算性质即可求解.（2）首先利用指数式与对数式的互化求出，再由对数的运算性质即可求解.【详解】解：（1）+=2233+34+=108+12+3=123 （2）依题意有 【点睛】本题考查了指数与对数的运算性质、指数式与对数式的互化，属于基础题.18.在直角坐标系中，已知四边形ABCD的四个顶点坐标为，过原点O的直线EF交AB，C
12、D于E，F点，且.（1）求证：F是线段CD中点；（2）求向量与向量所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）设，则，由，即，得到；又、共线，得到，计算可得的坐标，从而得证；（2）由向量与共线，向量与向量所成角即向量与向量所成角，利用向量的夹角公式计算可得.【详解】解：（1）证明：设，则，即， 又、共线， 由得：，即，线段中点（2）解：向量与共线向量与向量所成角即向量与向量所成角，向量与向量所成角的余弦值为【点睛】本题考查向量的数量积及夹角公式的应用，平面向量共线定理的应用，属于基础题.19.已知（1）化简；（2）若=2，求的值.【答案】（1）=（2）2【解析】【分
13、析】（1）利用诱导公式即可化简.（2）利用同角三角函数的基本关系化简并将（1）中的数据代入即可.【详解】解：（1）.（2）由（1）知，【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式以及同角三角函数的基本关系“齐次式”的运算，需熟记公式，属于基础题.20.已知函数的部分图象如图所示. .（1）求f(x)的解析式；（2）将y=f(x)的图象先向右平移个单位，再将图象上的所有点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数为y=g(x),求y=g(x)在上的最大值与最小值.【答案】（1）（2）最小值与最大值分别为【解析】【分析】（1）根据图象求出函数的周期，由，可求出，再由特殊点以及求出，然后由求出
14、，从而得出答案.（2）利用图象的平移伸缩变换求出，再根据三角函数的性质即可求解.【详解】解：（1）观察图象，. （2）将图象右平移个单位，得到的图象，再将图象上的所有点横坐标变为原来的倍得到， 当，y=g(x)在上的最小值与最大值分别为【点睛】本题考查了由三角函数的图像求解析式以及三角函数的平移伸缩变换、三角函数的性质，属于基础题.21.2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥港珠澳大桥正式通车。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数当桥上的车流密度达到220辆/千米，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米，车流速度为10
15、0千米/时研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数.（1）当时，求函数表达式；（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）可以达到最大？并求出最大值.【答案】（1）；（2）当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时.【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出当时的函数解析式得出结论；（2）分段求出函数的最大值即可得出的最大值【详解】（1）由题意，当时，v(x)=100，当时，设，则解得：，（2）由题意，当时，的最大值为当时，的最大值为当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时.【点睛】本题考查了函数解析
16、式的求解，函数最值的计算与应用，属于中档题22.已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足.(1)求函数f(x)和g(x)的表达式；(2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；(3)若方程在上恰有一个实根，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性列出，解方程组即可求解.（2）由（1）令利用换元法将不等式转化为，再采用分离参数法转化为，求出的最小值即可求解.（3）根据题意令，将方程转化为在(1,2)上恰有一个实根，根据一元二次方程根的分布即可求解.【详解】解：（1），.即，联立解得. （2）对恒成立，即对恒成立，令为减函数，即恒成立.而在上单调递减，a的取值范围为 （3）在恰有一个实根，即在上恰有一个实根，令，在(1,2)上恰有一个实根，当时，得，由可知无解；当时，又则有或解得，综上m的取值范围为【点睛】本题考查了函数的奇偶性求解析式、不等式恒成立求参数的取值范围以及根据方程根的个数求参数的取值范围，考查了一元二次方程根的分布，考查了分类讨论的思想，综合性比较强，属于难题.
