1、浙江省衢州市2021届高三数学上学期12月教学质量检测试题选择题部分 (共54分)一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则（ ）ABCD2等于ABCD3直线的倾斜角为（ ）ABCD 4. 已知，则函数的值域是（ ）ABCD5圆心为且过原点的圆的一般方程是ABCD6设，且，则ABCD第9题7已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则A6BC4D28已知实数满足约束条件，则的最小值是ABC1D29已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A8B12C16D2410设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则A若，则B若，则
2、C若，则D若，则11在中，内角，所对的边分别是，已知，则ABCD12若实数，满足，则（ ）ABCD13设等差数列的前项和为，公差为，已知，则ABCD14.过双曲线的右焦点，作渐近线的垂线与双曲线左右两支都相交，则双曲线离心率的取值范围为（ ）ABCD15.设、三点不共线，则“与的夹角是钝角”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件16对于无穷数列，给出下列命题：若数列既是等差数列，又是等比数列，则数列是常数列若等差数列满足，则数列是常数列若等比数列满足，则数列是常数列若各项为正数的等比数列满足，则数列是常数列其中正确的命题个数是A1B2C3D41
3、7已知是上的奇函数，当时，则函数的所有零点之和是ABCD18如图，在三棱锥中，是上两个三等分点，记二面角的平面角为，则（ ）A有最大值B有最大值 C有最小值 D有最小值非选择题部分（共46分）二、填空题：本大题共4小题，每空3分，共15分19设为等比数列的前项和，若，则，20若向量, , ,满足条件,则 .21如图，在中，是斜边的中点，将沿直线翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得，则的取值范围是 .22若函数有四个不同的零点，则的取值范围是 三、解答题：本大题共3小题，共31分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤23. （本题满分10分）已知函数.（I）求的值； （II）若，.求的值.24
4、（本题满分10分）已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，为线段中点（）若的纵坐标为，求直线的斜率；（）若，求证：不论取何值，当点横坐标最小时，直线过定点 第24题图25. （本题满分11分）已知二次函数，且时，（I）若，求实数的取值范围；（II）的最大值；（III）求证：当时，.（解析版）选择题部分 (共54分)一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合，则（ ）ABCD答案：C解析：由集合的定义，选C2等于ABCD答案：D解析：，故选3直线的倾斜角为ABCD 答案：D解析：直线斜率为，倾斜角的取值范围为，直线的倾斜角为故选
5、D4. 已知，则函数的值域是（ ）ABCD答案：5圆心为且过原点的圆的一般方程是ABCD答案： D.解析：根据题意，要求圆的圆心为，且过原点，且其半径，则其标准方程为，变形可得其一般方程是6设，且，则ABCD答案：解析：不妨令，显然符合，均不符合，故选：解2：由于函数在上为增函数，由得，故选.7已知焦点在 轴上的椭圆的离心率为，则A6BC4D2答案：C解析：法1：焦点在 轴上的椭圆，可得，椭圆的离心率为，可得：，解得法2：，所以故选：8已知实数，满足约束条件，则的最小值是ABC1D2答案：A解析：作出实数，满足约束条件表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部，由得，设，将直线进行平移，可得当经
6、过点时，目标函数达到最小值故选：A9已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A8B12C16D24答案：A解析：由题意可知几何体的直观图如图：底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面三角形的直角顶点，几何体的体积为：.故选：10设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则A若，则B若，则C若，则D若，则答案：C解析：对于，若，则，或，相交、异面，故不正确；对于，若，则或，相交，故不正确；对于，因为如果两条平行线中有一条和一个平面垂直，则另一条一定和这个平面垂直，故正确；对于，若，则、相交或平行，或，故不正确故选11在中，内角，所对的边分别是，已知，则ABCD答案： B.解析：在中，由余
7、弦定理可得：，故为锐角，可得，12若实数，满足，则（ ）ABCD答案：D解析：，故选：D答案：13设等差数列的前项和为，公差为，已知，则ABCD解析：，化为：故选：14.过双曲线的右焦点，作渐近线的垂线与双曲线左右两支都相交，则双曲线离心率的取值范围为（ ）ABCD答案：C解析：过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，设垂足为，因为直线与双曲线左右两支都相交，所以与渐近线必定有交点B，因此，直线的斜率要小于直线的斜率，即，故选C15.设、三点不共线，则“与的夹角是钝角”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：因为，则，则，即，解得，则为钝角，故选C
8、16对于无穷数列，给出下列命题：若数列既是等差数列，又是等比数列，则数列是常数列若等差数列满足，则数列是常数列若等比数列满足，则数列是常数列若各项为正数的等比数列满足，则数列是常数列其中正确的命题个数是A1B2C3D4答案：解析：对于，若数列既是等差数列又是等比数列，则数列为常数列，且，故正确；若等差数列满足，由于数列为无穷数列，又数列为等差数列，若公差不为0，则无上界，则数列是常数列，故正确；若等比数列满足，考虑，则数列不一定是常数列，故错误；若各项为正数的等比数列满足，即，可得，若，则无上界，故，进而数列是常数列，故正确故选：17已知是上的奇函数，当时，则函数的所有零点之和是ABCD答案：
9、A解析：法1：根据题意，函数的所有零点即方程的根，当时，若，则有或，解得或或，当时，若，有，即或，此时无解；则函数的所有零点之和是法2：根据题意，函数的所有零点即方程的根，当时，若，则有或，解得或或，且，则当时，由是上的奇函数可知，故无解，则函数的所有零点之和是18如图，在三棱锥中，E、F是SC上两个三等分点，记二面角的平面角为，则（ ）A有最大值B有最大值C有最小值D有最小值答案：B.解析：法1：以为原点，为x轴，BC为y轴，过B作平面ABC的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，设，则,，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则. ，取，得，二面角的平面角为，. ， 有最大值故选：B法2
10、：分别作二面角和的平面角（如图所示），设它们的大小分别为，则所求二面角的大小为.设,则有，所以，于是当且仅当，即时取等号. 此时.故选B.非选择题部分（共46分）二、填空题：本大题共4小题，每空3分，共15分。19设为等比数列的前项和若，则，答案：，解析：设等比数列的公比为，解得则，故答案为：，【另解】数感猜该等比数列为，符合题意，则，20若向量, , ,满足条件,则 2 .21如图，在中，是斜边的中点，将沿直线翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得，则的取值范围是 解析：法1：由题意得，取中点，翻折前，在图1中，连接，则，翻折后，在图2中，此时，平面，又，为中点，在中：，；由可得如图3，翻折
11、后，当与在一个平面上，与交于，且，又，此时。综上，的取值范围为，故选A法2：作 ，如图，所以，则，若，则平面，所以存在某个位置，在底面的射影在直线上，所以要求，即，所以，所以22函数有四个不同的零点，则的取值范围 解析：（1）若，则，显然直线与不可能有4个交点，不符合题意；若，作出的函数图象，则直线与的图象不可能有4个交点，不符合题意；若，作出的函数图象如图所示：当时，设直线与在上的函数图象相切，切点为，则，解得，解得三、解答题：本大题共3小题，共31分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23. （本题满分10分）已知函数.（I）求的值；（II）若，.求的值.解：.（I）所以.（II）因为，所以.因为，所以，又因为，所以，所以.所以 .24（本题满分10分）已知抛物线，焦点，直线与抛物线交于，两点，线段中点（）若的纵坐标为，求直线的斜率；（）若，求证：不论取何值，当点横坐标最小时，直线过定点。 第24题解：（I）设，作差可得，所以（）设直线的方程为，联立，可得，可得，则，可得，则，当且仅当，即，代入可得，故直线过定点 25. （本题满分11分）已知二次函数，且时，（I）若，求实数的取值范围（II）的最大值（III）求证：当时，解：（I）因为时，故，解得，故：时，等价于可解得：（II），故解得：故（III）当时，故