1、第19章 矩形、菱形与正方形19.1 矩 形1.矩形的性质学习目标：1.理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系；2.探索并证明矩形的特殊性质，会用矩形的性质解决简单的问题.自主学习一、知识链接1.平行四边形的定义是什么？它有哪些性质？2用四根木条做的平行四边形有稳定性吗？二、新知预习1.如图，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在桌面上轻轻地拉动点D，你会发现什么? 问题1：无论D如何变化，四边形ABCD还是平行四边形吗？ 问题2：当D为直角时，四边形ABCD变成了一个怎样的四边形？ 于是有矩形定义：有一个角是 的平行四边形是矩形，矩形是特殊的 .问题3.矩形除了具有平行四
2、边形的所有性质外，还有什么特殊的性质？【对称性】：矩形既中心对称图形，又是 图形；【 边 】：矩形的对边平行且相等；【 角 】：矩形的对角相等，且四个角都是 ；【对角线】：矩形的对角线 且相互平分.合作探究一、探究过程探究点1：矩形的性质定理1,2问题1：如图,四边形ABCD是矩形,B=90.求证： B=C=D=A=90.证明：四边形ABCD是矩形, B_D,C_A, AB_DC. B+C=_. 又B = 90,C =_. B=C=D=A =_.问题2：如图,四边形ABCD是矩形,ABC=90,对角线AC与DB相交于点O.求证：AC=DB.证明：四边形ABCD是矩形,AB_DC,ABC=DCB
3、=_,在ABC和DCB中,AB=DC,ABC=DCB,BC= CB,ABC_DCB.AC_DB.【要点归纳】矩形的性质定理：1.矩形的四个角都是_.2.矩形的对角线_. 几何语言描述：在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O，则ABC=BCD=CDA=DAB =90，AC=DB（延伸：OA=OB =OC=OD=AC=BD）.例1 如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形周长的和是86 cm，矩形的对角线长是13 cm，那么该矩形的周长是多少？【针对训练】1.已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AOB60，AB4 cm，求矩形对角线的长分析：因为矩形是特殊
4、的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求探究点2：矩形的性质与其他知识的综合运用例2如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4，BEAC，垂足为点E.试求BE的长例3如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分线段BO，垂足为点E，BD15 cm.求AC、AB的长 二、课堂小结矩行的性质定理1.矩形的四个角都是_.2.矩形的对角线_.解题策略结合等腰（边）三角形、勾股定理等知识解题当堂检测1.矩形具有，而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A.对角线相等 B.对边相等 C.对角相等 D.对角线互
5、相平分2.如图，在矩形ABCD中，对角线交于点O，若AB=6，AD=8，则AC_ ，OB=_.3.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40，则两对角线所夹锐角度数为 .4.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_.5已知：如图，E为矩形ABCD内一点，且EB=EC.求证：EA=ED.6. 已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分BAD，AOD=120，求AEO的度数参考答案自主学习一、知识链接1.解：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.性质：(1)平行四边形的对边相等；(2) 平行四边形的对角相等；(3)平行四边
6、形的对角线互相平分.2. 没有稳定性.二、新知预习1.解：问题1：四边形ABCD还是平行四边形.问题2：四边形ABCD变成了一个长方形，即矩形.直角 平行四边形问题3：轴对称 90 相等合作探究一、探究过程探究点1：问题1：= = 180 90 90问题2：= 90 =【要点归纳】直角 相等【典例精析】例1 解：AOB、BOC、COD和AOD四个小三角形周长的和为86 cm，ABBCCDDA2(OAOBOCOD)ABBCCDDA2(ACBD)86，又ACBD13，ABBCCDDA862(ACBD)8641334(cm)，即矩形ABCD的周长等于34 cm.【针对训练】1.解：四边形ABCD是矩
7、形，AC与BD相等且互相平分，OAOB，又AOB60，OAB是等边三角形.矩形的对角线长ACBD2OA2AB=248(cm)例2 解：在矩形ABCD中，ABC90，AC5.又SABCABBCACBE，BE2.4.例3解：四边形ABCD是矩形，ACBD15.AOAC7.5.AE垂直平分BO，ABAO7.5.即AC的长为15 cm，AB的长为7.5 cm.二、课堂小结1.直角 2.相等当堂检测1. A 2. 10 5 3. 80 4. 5. 证明：在矩形ABCD中，AB=DC,ABC=DCB=90.EB=EC，EBC=ECB.ABE=DCE.ABEDCE(SAS). EA=ED.6. 解：四边形ABCD是矩形，BAD=ABC=90，AC=BD,AO=BO.AOD=120，AOB=60.AOB为等边三角形，BAO=ABO=60，AB=AO=BO.AE平分BAD，BAE=45，即ABE为等腰直角三角形，BEA=45，AB=BE.BO=BE.BOE=BEO.在BOE中，OBE=90-60=30，BEO=BOE=75.AEO=BEO-BEA=75-45=30.