1、第二章检测试题(时间:120分钟满分:150分)选题明细表知识点、方法题号点线面位置关系1,2,4,9,13,17线面垂直、平行的判定与性质3,5,6,10,18,19空间角7,8,14,20,21综合问题11,12,15,16,22一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.直线l与平面不平行,则(C)(A)l与相交(B)l(C)l与相交或l(D)以上结论都不对解析:直线与平面的位置关系有:直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交.因为直线l与平面不平行,所以l与相交或l.2.下列推理不正确的是(C)(A)Ab,A,Bb,Bb(B)M,M,N,N=直线MN(C)直线m不在内,
2、AmA(D)A,B,C,A,B,C,且A,B,C不共线与重合解析:由空间中点线面的位置关系知选C.3.已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,则下列命题正确的是(D)(A)若,垂直于同一平面,则与平行(B)若m,n平行于同一平面,则m与n平行(C)若,不平行,则在内不存在与平行的直线(D)若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面解析:A项,可能相交,故错误;B项,直线m,n的位置关系不确定,可能相交,平行或异面,故错误;C项,若m,=n,mn,则m,故错误;D项,假设m,n垂直于同一平面,则必有mn,所以原命题正确,故D项正确.4.,是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定的是(D)(A
3、),都与平面垂直(B)内不共线的三点到的距离相等(C)l,m是内的两条直线,且l,m(D)l,m是两条异面直线,且l,m,l,m解析:对于D,设过l和内的一点的平面与平面的交线为l,因为l,所以ll.又因为l,l,所以l.设过m和内的一点的平面与的交线为m,同理可证m.因为m与l是异面直线,所以m与l相交,所以.5.如图,四棱锥PABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN平面PAD,则(B)(A)MNPD(B)MNPA(C)MNAD(D)以上均有可能解析:四棱锥PABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN平面PAD,MN平面PAC,平面PAC平面PAD=PA,由直线与平面平行的性质
4、定理可得:MNPA.故选B.6.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则(B)(A)AECC1(B)AEB1D1(C)AEBC(D)AECD解析:如图所示:连接AC,BD,因为ABCDA1B1C1D1是正方体,所以四边形ABCD是正方形,ACBD,CE平面ABCD,所以BDAC,BDCE,而ACCE=C,故BD平面ACE,因为BDB1D1,且B1D1平面ACE,故B1D1平面ACE,故B1D1AE,故选B.7.在正方体ABCDA1B1C1D1中,异面直线A1C1与B1C所成角的余弦值为(B)(A)0(B)(C)(D)解析:连接A1D,C1D,如图所示,A1DB1C,所以DA1
5、C1是异面直线A1C1与B1C所成角(或所成角的补角),因为A1D=A1C1=DC1,所以C1A1D=60,所以异面直线A1C1与B1C所成角的余弦值为cos 60=.故选B.8.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D为A1B1的中点,AB=BC=BB1=2,AC=2,则异面直线BD与AC所成的角为(C)(A)30(B)45(C)60(D)90解析:如图,取B1C1的中点E,连接BE,DE,则ACA1C1DE,则BDE即为异面直线BD与AC所成的角.由条件可知BD=DE=EB=,所以BDE=60,故选C.9.如图所示,ABCDA1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB
6、1D1于点M,则下列结论正确的是(A)(A)A,M,O三点共线(B)A,M,O,A1不共面(C)A,M,C,O不共面(D)B,B1,O,M共面解析:连接A1C1,AC,则A1C1AC,所以A,C,C1,A1四点共面,所以A1C平面ACC1A1.因为MA1C,所以M平面ACC1A1,又M平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线,故选A.10.如图,在下列四个正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G均为所在棱的中点,过E,F,G作正方体的截面,则在各个正方体中,直线BD1与平面EFG不垂直的是(D
7、)解析:如图在正方体中,E,F,G,M,N,Q均为所在棱的中点,是一个平面图形,直线BD1与平面EFMNQG垂直,并且选项A,B,C中的平面与这个平面重合,满足题意,只有选项D直线BD1与平面EFG不垂直.故选D.11.如图所示,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,且底面ABCD为菱形,M是PC上的一个动点,若要使得平面MBD平面PCD,则应补充的一个条件可以是(B)(A)MDMB(B)MDPC(C)ABAD(D)M是棱PC的中点解析:因为在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,所以BDPA,BDAC,因为PAAC=A,所以BD平面PAC,所以BDPC
8、.所以当DMPC(或BMPC)时,即有PC平面MBD.而PC平面PCD,所以平面MBD平面PCD.故选B.12.如图,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,MD平面ABCD,NB平面ABCD,且MD=NB=1,E为MC的中点,则下列结论不正确的是(C)(A)平面BCE平面ABN(B)MCAN(C)平面CMN平面AMN(D)平面BDE平面AMN解析:分别过A,C作平面ABCD的垂线AP,CQ,使得AP=CQ=1,连接PM,PN,QM,QN,将几何体补成棱长为1的正方体.因为BC平面ABN,BC平面BCE,所以平面BCE平面ABN,故A正确;连接PB,则PBMC,显然PBAN,所以MCAN,故B正
9、确;取MN的中点F,连接AF,CF,AC.因为AMN和CMN都是边长为的等边三角形,所以AFMN,CFMN,所以AFC为二面角AMNC的平面角,因为AF=CF=,AC=,所以AF2+CF2AC2,即AFC,所以平面CMN与平面AMN不垂直,故C错误;因为DEAN,MNBD,所以平面BDE平面AMN,故D正确.故选C.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设,为两个不重合的平面,l,m,n为两两不重合的直线,给出下列四个命题:若m,n,m,n,则;若,l,则l;若lm,ln,则mn;若l,l,则.其中真命题的序号是.解析:由,为两个不重合的平面,l,m,n为两两不重合的直线,知
10、:在中,若m,n,m,n,则与相交或平行,故错误;在中,若,l,则由面面平行的性质定理得l,故正确;在中,若lm,ln,则m与n相交、平行或异面,故错误;在中,若l,l,则由面面垂直的判定定理得,故正确.答案:14.如图,圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,ABCD=O,且ABCD,SO=OB=2,P为SB的中点.则异面直线SA与PD所成角的正切值为.解析:连接PO,则POSA,PO=,所以OPD即为异面直线SA与PD所成的角,且OPD为直角三角形,POD为直角,所以tan OPD=.答案:15.在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,对角线AC=BD
11、=2,且ACBD,则四边形EFGH的面积为.解析:因为点E,H分别为四边形ABCD的边AB,AD的中点,所以EHBD,且EH=BD=1.同理求得FGBD,且FG=1,所以EHFG,EH=FG,又因为ACBD,AC=BD=2,所以EFEH,EF=EH.所以四边形EFGH是正方形.所以四边形EFGH的面积为EFEH=1.答案:116.在正方体ABCDA1B1C1D1中,下列结论中正确的序号有.AC平面A1BC1;ACBD1;AC1平面CB1D1;异面直线A1D与B1C1所成的角为45.解析:ACA1C1,AC平面A1BC1,A1C1平面A1BC1;所以AC平面A1BC1.正确;因为ACBD,ACD
12、D1,所以AC平面BDD1B1,所以ACBD1,正确;在正方体ABCDA1B1C1D1中,A1C1B1D1,B1D1AA1,又A1C1AA1=A1,则B1D1平面A1AC1,又AC1平面A1AC1,所以B1D1AC1,同理得B1CAC1,又B1DB1C=B,所以AC1平面CB1D1,所以正确.如图,CB1C1等于异面直线A1D与B1C1所成的角,由正方形中BB1C1C中可得CB1C1为45,因此正确.答案:三、解答题(共70分)17.(本小题满分10分)如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是AD,AB的中点,G,H分别在BC,CD上,且BGGC=DHHC=12.(1)求证:E,F,G,H四点
13、共面;(2)设FG与HE交于点P,求证:P,A,C三点共线.证明:(1)ABD中,因为E,F分别为AD,AB中点,所以EFBD.CBD中,BGGC=DHHC=12,所以GHBD,所以EFGH(平行线公理),所以E,F,G,H四点共面.(2)因为FGHE=P,PFG,PHE,所以P平面ABC,P平面ADC,又平面ABC平面ADC=AC,所以P直线AC.所以P,A,C三点共线.18.(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧面AA1C1C底面ABC,AA1=A1C=AC,AB=BC,O为AC中点.(1)证明:A1OBC;(2)若E为BC1的中点,求证:OE平面A1ABB1.证明:(
14、1)因为在三棱柱ABCA1B1C1中,侧面AA1C1C底面ABC,AA1=A1C=AC,O为AC中点.所以A1OAC,又平面AA1C1C底面ABC=AC,所以A1O底面ABC,因为BC底面ABC,所以A1OBC.(2)连接AB1,连接CB1交BC1于点E,连接OE,则E为CB1的中点,所以OEAB1,因为AB1平面A1ABB1,OE平面A1ABB1,所以OE平面A1ABB1.19.(本小题满分12分)如图所示的多面体中,底面ABCD为正方形,GAD为等边三角形,BF平面ABCD,GDC=90,点E是线段GC上除两端点外的一点,若点P为线段GD的中点.(1)求证:AP平面GCD;(2)求证:平面
15、ADG平面FBC.证明:(1)因为GAD是等边三角形,点P为线段GD的中点,故APGD.因为ADCD,GDCD,且ADGD=D,AD,GD平面GAD,故CD平面GAD,又AP平面GAD,故CDAP,又CDGD=D,CD,GD平面GCD,故AP平面GCD.(2)因为BF平面ABCD,所以BFCD,因为BCCD,BFBC=B,BF,BC平面FBC,所以CD平面FBC,由(1)知CD平面GAD,所以平面ADG平面FBC.20.(本小题满分12分)如图,在四棱锥ABCDE中,平面ADC平面BCDE,CDE=BED=ACD=90,AB=CD=2,DE=BE=1,(1)证明:平面ABD平面ABC;(2)求
16、直线AD与平面ACE所成的角的正弦值.(1)证明:取CD的中点M,连接BM,可得四边形BMDE是正方形.BC2=BM2+MC2=2.因为BD2+BC2=DE2+BE2+BC2=DC2,所以CBD=90,所以BDBC.又AC平面BCDE,BD平面BCDE,所以BDAC,故BD平面ABC.因为BD平面ABD,所以平面ABD平面ABC.(2)解:过点D作DHCE.因为ACDH,所以DH平面ACE.所以DAH即为AD与平面ACE所成的角.AB=DC=2.在RtDCE中,DE=1,CD=2,所以CE=,所以DH=.因为AC=,所以AD=,在RtAHD中,sin DAH=.21.(本小题满分12分)如图所
17、示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,BB1=BC=1,E为D1C1的中点,连接ED,EC,EB和DB.(1)求证:平面EDB平面EBC;(2)求二面角EDBC的正切值.(1)证明:在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,BB1=BC=1,E为D1C1的中点.所以DD1E为等腰直角三角形,D1ED=45.同理C1EC=45.所以DEC=90,即DEEC.在长方体ABCDA1B1C1D1中,BC平面D1DCC1,又DE平面D1DCC1,所以BCDE.又ECBC=C,所以DE平面EBC.因为DE平面DEB,所以平面DEB平面EBC.(2)解:如图所示,过E在平面D1DCC1中作E
18、ODC于O.在长方体ABCDA1B1C1D1中,因为平面ABCD平面D1DCC1,所以EO平面ABCD.过O在平面DBC中作OFDB于F,连接EF,所以EFBD.EFO为二面角EDBC的平面角.利用平面几何知识可得OF=,又OE=1,所以tan EFO=.22.(本小题满分12分)如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,E,F分别为线段DD1,BD的中点.(1)求证:EF平面ABC1D1;(2)四棱柱ABCDA1B1C1D1的外接球的表面积为16,求异面直线EF与BC所成的角的大小.(1)证明:连接BD1,在DD1B中,E,F分别为线段DD1,BD的中点,所以EF为中位线,所以EFD1B,因为D1B平面ABC1D1,EF平面ABC1D1,所以EF平面ABC1D1.(2)解:连接CD1,由(1)知EFD1B,故D1BC即为异面直线EF与BC所成的角,因为四棱柱ABCDA1B1C1D1的外接球的表面积为16,所以四棱柱ABCDA1B1C1D1的外接球的半径R=2,设AA1=a,则=2,解得a=2,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,因为BC平面CDD1C1,CD1平面CDD1C1,所以BCCD1,在RtBCD1中,BC=2,CD1=2,D1CBC,所以tan D1BC=,则D1BC=60,所以异面直线EF与BC所成的角为60.