1、南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试南阳市一中 2020 年春期高三第十五次考试数学（理）试题答案本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。第卷(选择题 共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设全集 UR，2|2,Ax yxx|2,xBy yxR，则()RC AB（）A|0 x x B|01xxC|12xx D|2x x【答案】D【解析】,20 xxRy,即|0Bx x|02Axx,|02UC Ax xx或,|2UC ABx x故 D 正确2如
2、图所示是一枚 8 克圆形金质纪念币，直径20mm，面额 100 元.为了测算图中军旗部分的面积，现用 1 粒芝麻向硬币内投掷 100 次，其中恰有 30 次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）A230mmB236310mmC23635mmD220mm【答案】A【详解】解：利用古典概型近似几何概型可得，芝麻落在军旗内的概率30310010P，设军旗的面积为 S，南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试由题意可得：231010S，所以2231030()10Smm故选：A 3已知复数531izi，则下列说法正确的是（）A z 的虚部为 4iB z 的共轭复数为1 4iC5z D z 在复平面
3、内对应的点在第二象限【答案】B【解析】试题分析：iiiiiiiiz4128211135135，虚部是 4，模是 17，对应的点是4,1在第一象限，共轭复数是i4-1，故选 B4已知等比数列 na的前 n 项和为nS，若423SS，且2615aa，则4a ()A8B6C4D2【答案】B【详解】当数列 na的公比1q 时，414Sa，2136Sa，423SS，1q.421111311aqaqqq，得22q.4262 115aaaq，23a，2426aa q.故选：B.5已知函数xya，byx，logcyx的图象如图所示，则（）A abcB acbCcabDcba【答案】C【解析】试题分析：由图象有
4、1,01,1abc,所以b 最小,对于南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试,1,xyaxya,看图象有12x,所以12a对于log,1,cyx ycx,看图象有23x,所以 23c,故cab,选 C.6定义在 R 上的偶函数 fx 满足 2fxf x，且在3,2 上是减函数，锐角,是钝角三角形的两个内角，则下列不等式关系中正确的是（）AsincosffBcoscosffCcoscosffDsincosff【答案】D【详解】偶函数 fx 满足 2 fxf xfx，函数 fx 关于1x 对称，且周期2T.fx 在3,2 上是减函数，所以在1,0上是减函数，在0,1 上是增函数.又2，022，
5、0sinsincos12，sincosff.故选:D7从一个正方体中截去部分几何体，得到一个以原正方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图，则该几何体体积的值为（）A5 2B 6 2C9D10【答案】C【解析】由题意可知几何体是四棱锥，如图，所以几何体的体积是两个三棱锥的体积的和，南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试即1123 3 3932 故选：C8如图给出了计算601614121的值的程序框图，其中 分别是()A2,30nniB2,30nniC1,30nniD1,30nni【答案】B【解析】试题分析：算法的功能是计算601614121的值，循环体循环的次数为 30，跳出循环的 i
6、 值为 31，判断框内应填的条件为 i31 或 i30；根据 n 值的变化规律得执行框应填 n=n+29.将函数sin3yx 横坐标缩短一半，再向右平移 6个单位长度，所得图象对应的函数,下列命题不正确的有几个（）在区间,4 4 上单调递增，在区间 35,44上单调递减南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试有一条对称轴为6x，有一个对称中心为,04A.3B.2C.1D.4【答案】A【解析】将函数sin3yx横坐标缩短一半，再向右平移 6 个单位长度得到sin 2sin 263yxx.当,4 4x 时，2,2 2x ，则函数sin 2yx在区间,4 4 上单调递增，当35,44x 时，352
7、,22x，则函数sin 2yx在区间 35,44上单调递增，当6x时，3sin 2162y，直线6x不是函数2sin 2yx图象的一条对称轴当4x时，sin 2sin1042y，则,04不是函数sin 2yx图象的一个对称中心，故选：A.10已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点 F 到其准线的距离为 4，圆22():21Mxy，过 F 的直线l 与抛物线C 和圆 M 从上到下依次交于 A，P，Q，B 四点，则4APBQ的最小值为（）A9B11C13D15【答案】C 因为抛物线2:2(0)C ypx p的焦点 F 到其准线的距离为 4，所以4p，因此2:8C yx，焦点(2,0)F，设11
8、,A x y，22,B xy，当直线l 斜率存在时，设直线:(2)l yk x，南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试由2(2)8yk xyx得22(2)80kxx，整理得：22224840k xkxk，因此124x x，所以214xx，（由题意易知：12x）又22():21Mxy 的半径为1，即1FPFQ，由抛物线的定义可得：1122pAFxx，2222pBFxx，因此111 APAFx，211 BQBFx，所以12111614452 165143 xxxxAPBQ，当且仅当1116xx，即14x 时，等号成立；当直线l 斜率不存在时，易得2 13 APBQ，此时145APBQ；综上，4
9、APBQ的最小值为13.11已知存在正实数 x，y 满足2222()(lnln)0axxyyx，则实数 a 的取值范围是（）A,0B0,1C0,D1,【答案】C【详解】令0ytx，则2222lnln0axxyyx，等价于221 nlatt，令 2l1 nh ttt，当1t 时，210t ，ln00th t，同理当01t 时 10h，当1t 时 0h t 所以 0h t 所以0,a南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试故选：C12将给定的一个数列na：1a，2a，3a，按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列.如在上述数列中，我们将1a 作为第一组，将2a，3a 作为第
10、二组，将4a，5a，6a 作为第三组，依次类推，第 n 组有 n 个元素（*nN），即可得到以组为单位的序列：1()a，23()a a,，456(,)a a a，我们通常称此数列为分群数列.其中第 1个括号称为第 1 群，第 2 个括号称为第 2 群，第 3 个数列称为第 3 群，第n 个括号称为第n 群，从而数列na称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列的第 m 个群众，且从第 m 个括号的左端起是第k 个，则称这个元素为第 m 群众的第k 个元素.已知数列 1,1,3,1,3,9,1,3,9,27，将数列分群，其中，第 1 群为（1），第 2 群为（1,3），第 3 群为（1,
11、3，23），以此类推.设该数列前 n 项和12nNaaa，若使得14900N 成立的最小na 位于第 m 个群，则 m （）A11B10C9D8【答案】B【解析】由题意得到该数列的前 r 组共有11234.2rrr 个元素，其和为 1221132311 31 33.1 33.324rrr rrS 则 r=9 时，1032 934514757,10,5544281149004SrS 故使得 N14900 成立的最小值 a 位于第十个群.故答案为：B.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知,a b为单位向量，且 a b=0，若25cab，则cos,a c _.【答案
12、】23.【详解】南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试因为25cab，0a b，所以225a caa b 2，222|4|4 55|9caa bb，所以|3c，所以cos,a c 221 33a ca c 14已知函数11 2()22xxf x，对于 R，xR，使得22cos()sin1mf xm成立，则实数 m 的取值范围是_.【答案】32(,1)(,)22【详解】11 211()22212xxxf x，由 211x ，得10112x，11()22f x，即()f x 的值域是1(2，1)2 对于 R，xR，使得2cos()mf x，转化为只要2()()cosmf x 最大值最大值，21
13、12m，212m；对于 R，xR，2()sin1f xm，转化为只要2()(1)f xsinm最小值最小值，32m，解不等式组21232mm，得3222m 或22m；由22cossin1mm 对于 R 恒成立，22cossin1mm，22cossincoscos11，211mm，解得：0m 或1m ；故 m 的取值范围是32(,1)(,)22.南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试故答案为：32(,1)(,)22.15已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点 P，若213PFPF，则双曲线的离心率为_.【
14、答案】3设过2F 与双曲线的一条渐近线byxa平行的直线交双曲线于点 P，由双曲线的定义可得12|2PFPFa，由12|3|PFPF，可得1|3PFa，2|PFa，12|2F Fc，由12tanbF F Pa可得12221cos1aF F Pcba，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得：222121221212|2|cosPFPFF FPFF FF F P，即有2229422aaacac c，化简可得，223ca，则双曲线的离心率3cea16农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国
15、主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为_；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为_【答案】268 6729【解析】(1)每个三角形面积是1331224S，由对称性可知该六面是由两个正四面合成的，可求出该四面体的高为236133，故四面体体积为 136234312，南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试因此该六面体体积是正四面体的 2 倍，所以六面体体积是26；(2)由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六
16、个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为 R，所以213666349RR，所以球的体积334468 6339729VR.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。17某市规划一个平面示意图为如下图五边形 ABCDE 的一条自行车赛道，ED，DC，CB，BA，AE 为赛道（不考虑宽度），BE 为赛道内的一条服务通道，23BCDCDEBAE ，DE 4km，3BCCDkm.（1）求服务通道 BE 的长度；（2）应如何设计，才能使折线段赛道 BAE 最长？【详解】（1）连接 BD，在 BCD中，由余弦定理得：2222BDBCCDBCcos9CDBCD，3BD.BCCD，
17、6CBDCDB，又23CDE，2BDE，在 Rt BDE中，225BEBDDE6 分（2）在 BAE中，23BAE，5BE.由余弦定理得2222cosBEABAEAB AEBAE，即2225ABAEAB AE，故225ABAE22ABAEAB AE，从而23254 ABAE，即10 33ABAE，南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试当且仅当 ABAE时，等号成立，即设计为 ABAE时，折线段赛道 BAE 最长.12 分18如图所示，在四面体 ABCD 中，ADAB，平面 ABD 平面 ABC，22ABBCAC，且4ADBC.（1）证明：BC 平面 ABD；（2）设 E 为棱 AC 的中点
18、，当四面体 ABCD 的体积取得最大值时，求二面角CBDE的余弦值.【答案】（1）见证明；（2）306【解析】（1）证明：因为 ADAB，平面 ABD 平面 ABC，平面 ABD 平面 ABCAB，AD 平面 ABD，所以 AD 平面 ABC，因为 BC 平面 ABC，所以 ADBC.因为22ABBCAC，所以222ABBCAC，所以 ABBC，因为 ADABA，所以 BC 平面 ABD.5 分（2）解：设(04)ADxx，则4ABBCx，四面体 ABCD 的体积 1132Vf xx232148166xxxx(04)x.21 316166fxxx14346 xx，当403x时，0fx，Vf x
19、单调递增；当 443x时，0fx，Vf x单调递减.故当43ADx时，四面体 ABCD 的体积取得最大值.以 B 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Bxyz，则0,0,0B，80,03A，8,0,03C，8 40,3 3D，4 4,03 3E.南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试设平面 BCD的法向量为(,)nx y z，则00n BCn BD ，即80384033xyz，令2z ，得(0,1,2)n，同理可得平面 BDE 的一个法向量为(1,1,2)m，则530656.由图可知，二面角CBDE为锐角，故二面角CBDE的余弦值为30612 分19某果园种植“糖心苹果”已有十余年，根据其种植
20、规模与以往的种植经验，产自该果园的单个“糖心苹果”的果径（最大横切面直径，单位：mm）在正常环境下服从正态分布68 36N，.（1）一顾客购买了 20 个该果园的“糖心苹果”，求会买到果径小于 56mm 的概率；（2）为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进.如图是 2009 年至 2018 年，该果园每年的投资金额 x（单位：万元）与年利润增量 y（单位：万元）的散点图：该果园为了预测 2019 年投资金额为 20 万元时的年利润增量，建立了 y 关于 x 的两个回归模型；模型：由最小二乘公式可求得 y 与 x 的线性回归方程：2.502 0.5yx；模
21、型：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：lnybxa的附近，对投南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试资金额 x 做交换，令lntx，则 yb ta，且有10122.00iit，101230iiy，101569.00iiit y，102150.92iit.（I）根据所给的统计量，求模型中 y 关于 x 的回归方程；（II）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数2R，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测投资金额为 20 万元时的年利润增量（结果保留两位小数）.回归模型模型模型回归方程2.502 0.5yxlnybxa1021iiiyy102.2836.19附：若随机变量2X
22、N，则220.9544PX，330.9974PX；样本,1 2iit yin，的最小乘估计公式为121niiiniittyybtt，aybt；相关指数221211niiniiyyRyy.参考数据：200.97720.6305，200.99870.9743，ln 20.6931，ln 51.6094.【详解】（1）由已知，当个“糖心苹果”的果径2XN，则68，6.由正态分布的对称性可知，南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试11156168 1268 121221 0.95440.0228222P XPXP设一顾客购买了 20 个该果园的“糖心苹果”，其中果径小于 56 mm 的有 个，则2
23、0,0.0228B，故202011011 0.02281 0.97720.3695PP ，所以这名顾客所购买 20 个“糖心苹果”中有果径小于 56mm 的苹果概率为 0.36954 分（2）（I）由10122.00iit，101230iiy，可得2.20t，23y 又由题，得112221110569.00 10 2.20 232550.92 102.20 2.2010nniiiiiinniiiittyyt ytybtttt，则2325 2.2032aybt 所以，模型中 y 关于 x 的回归方程25l32nyx8 分（II）由表格中的数据，有102.2836.19，即10102211102.
24、2836.19iiiiyyyy，所以模型的2R 小于模型，说明回归模型刻画的拟合效果更好，当20 x 时，模型的年利润增量的预测值为25 ln2032252ln2ln532252 0.6931 1.60943242.89y（万元），这个结果比模型的预测精度更高、更可靠12 分20已知椭图1C：222210 xyabab的右顶点与抛物线2C：220ypx p的焦点重合，椭圆1C 的离心率为 12，过椭圆1C 的右焦点 F 且垂直于 x 轴的直线截抛物线所得的弦长为4 2.（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）过点4,0A 的直线l 与椭圆1C 交于 M，N 两点，点 M 关于 x 轴的对
25、称点为 E.当直线l 绕点 A 旋转时，直线 EN 是否经过一定点？请判断并证明你的结论.南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试【详解】（1）设椭圆1C 的半焦距为c，依题意，可得2pa，则2C：24yax，代入 xc，得24yac，即2yac，所以 44 2ac，则有222212accaabc，2,3ab.所以椭圆1C 的方程为22143xy，抛物线2C 的方程为28yx.4 分（2）依题意，当直线l 的斜率不为 0 时，设其方程为4xty，联立2243412xtyxy，得223424360tyty，设11,M x y，22,N xy，则11,E xy，由，解得2t 或2t，且12224
26、34tyyt，1223634y yt，根据椭圆的对称性可知，若直线 EN 过定点，此定点必在 x 轴上，设此定点为,0Q m，因斜率NQEQkk，得2121yyxmxm，即12210 xm yxm y，即1221440tym ytym y，即1212240ty ymyy，即2236242403434ttmtt，得3410mtmt，由t 的任意性可知1m .当直线l 的斜率为 0 时，直线 EN 的方程即为0y，也经过点1,0Q，所以当2t 或2t 时，直线 EN 恒过一定点1,0Q.12 分21.已知函数()(0)xxf xexaea.（1）讨论()f x 极值点的个数；（2）若()f x 有
27、两个极值点1x，2x，且12121120 xxm xx，求实数 m 的取值范围.21.【详解】（1）由 xxfxexae，南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试得 12xxfxexae.令 0fx，得1 20 xxae，即12exxa，令 1xxg xe，则 10g，且 xxgxe，由 0gx得0 x.当0 x 时，0gx，g x 在,0 x 单调递增；当0 x 时，0gx，g x 在0,x 单调递减.所以，max01g xg，且当1x 时，0g x；当1x 时，0g x.所以，当021a，方程12exxa有两解，不妨设为12xx故当1(,)xx 时，()0fx，故 fx 单调递减，当12
28、(,)xx x时，()0fx，故 fx 单调递增，当2(,)xx 时，()0fx，故 fx 单调递减，即102a时，fx 有两个极值点；当 21a，12exxa 恒成立，故 fx 单调递减，即12a 时，fx 没有极值6 分（2）不妨设12xx，由（1）知102a，1210 xx，则121212 e12 exxxaxa ，两边取对数，所以11221212ln xlnaxln xlnax，南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试所以2121ln1ln1xxxx，即 2121ln1ln111xxxx.令111xt，221xt，则120tt，2121lnlntttt.因为12121120 xxm
29、xx，即1 2120t tm tt，所以221 22121lnln0t tttm tt，即221112ln0tttmttt，设21ttt，则1t ，且1ln0tm tt.易知0m.记 1lnh ttm tt，则 10h，且 222111mttmh tmttt，考查函数 2u tmttm，214m .当12m 时，0，则 0u t，即 0h t，所以 h t 在1,上单调递减，所以当1t 时，10h th，所以当12m 时符合题意.当102m时，0，u t 有两个不同零点，且1 ，10m，不妨设，则01，当1t 时，0u t，则 0h t，所以 h t 在1,上单调递增，故存在01,t，使得 0
30、10h th，所以，当102m时，不符合题意，综上，m 的取值范围是1,2.12 分南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试选做题 22在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为2cos22sin2xryr （为参数0r）以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程2sin42（1）求圆心的极坐标（2）若圆 C 上点到直线 的最大距离为 3，求 r 的值（1）51,4（2）222r【解析】（1）将圆的参数方程化为圆的直角坐标方程为2222222xyr（圆心坐标为22C,222222122 圆心 C 在第三象限54 圆心极坐标为51,4.5
31、分（2）圆 C 上点到直线l 的最大距离等于圆心 C 到l 距离与半径之和直线l 的直角坐标方程为 x+y-1=02212232r所以222r.10 分选做题 23已知函数|1|2|f xxx.南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试（1）求不等式 5f x 的解集；（2）若不等式 21f xxax 的解集包含1,1，求实数 a 的取值范围.1(1)3,2；(2)1,1.【详解】（1）当2x 时，5f x 等价于 215x，解得3,2x；当 21x 时，5f x 等价于35，恒成立，解得2,1x；当1x 时，5f x 等价于 215x ，解得1,2x；综上所述，不等式的解集为3,2.(5 分)（2）不等式 21f xxax 的解集包含1,1，等价于 21f xxax 在区间1,1上恒成立，也等价于220 xax在区间1,1恒成立.则只需 22g xxax满足：10g 且 10g即可.即120,120aa，解得1,1a.(10 分)
