1、2022年辽宁省沈阳市高考数学质检试卷（一）（一模）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）集合Ax|2x2，B2，1，0，1，则AB（）A1，1，2B2，1，0，1C1，0，1D2，1，0，1，22（5分）已知i为虚数单位，若复数z，则|z|（）A1B2CD3（5分）关于双曲线C1：x2y22与C2：y2x22，下列说法中错误的是（）A它们的焦距相等B它们的顶点相同C它们的离心率相等D它们的渐近线相同4（5分）夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为和，且两地同时下雨的概率为，则夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率
2、为（）ABCD5（5分）已知等差数列an的公差为2，且a2，a3，a5成等比数列，则an的前n项和Sn（）An（n2）Bn（n1）Cn（n+1）Dn（n+2）6（5分）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD1，BC2，P是线段AB上的动点，则|+4|的最小值为（）A3B6C2D47（5分）已知alog32，blog43，则（）AacbBcabCbacDbca8（5分）若函数f（x）ex+x32x2ax，则ae是f（x）在（0，+）有两个不同零点的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分且必要条件D既不充分也不必要条件二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选
3、项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）某团队共有20人，他们的年龄分布如表所示，年龄28293032364045人数1335431有关这20人年龄的众数、极差、百分位数说法正确的有（）A众数是32B众数是5C极差是17D25%分位数是30（多选）10（5分）已知函数f（x）sin2x+sinxcosx（xR），则（）Af（x）的最小值为0Bf（x）的最小正周期为Cf（x）的图像关于点中心对称Df（x）的图像关于直线轴对称（多选）11（5分）已知圆O：x2+y22，直线l：x+y40，P为直线l上一动点，过点P作圆O的两条切线PA，PB，A，
4、B为切点，则（）A点P到圆心的最小距离为B线段PA长度的最小值为C的最小值为3D存在点P，使得PAB的面积为3（多选）12（5分）若6a2，6b3，则下列不等关系正确的有（）ABCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）函数f（x）2cosxcos2x的最大值为 14（5分）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中x3项的系数为 （用数字作答）15（5分）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查参加活动的甲、乙两班的人数之比为5：3，其中甲班中女生占，乙班中女生占则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是 16（5分）已知三棱柱ABCA
5、1B1C1中，ABAC1，AA12，A1ACA1AB60，BAC90，则四面体A1BB1C1的体积为 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）从，b2+aca2+c2这两个条件中任选一个，补充到下面已知条件中进行解答已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_（填写或，只可以选择一个标号，并依此条件进行解答）（1）求B；（2）若b2，ABC的面积为，求a18（12分）等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a2+a414，b2b4a6，且bn0（1）求数列bn的通项公式；（2）已知：bn1000；mN+，使ambn设S为数列bn中同时满
6、足条件和的所有的项的和，求S的值19（12分）现有一种需要两人参与的棋类游戏，规定在双方对局时，二人交替行棋一部分该棋类游戏参与者认为，在对局中“先手”（即：先走第一步棋）具有优势，容易赢棋，而“后手”（即：对方走完第一步棋之后，本方再走第一步棋）不具有优势，容易输棋（1）对某位该棋类游戏参与者的100场对局的输赢结果按照是否先手局进行统计，分数据如表所示请将表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为赢棋与“先手局”有关？先手局后手局合计赢棋45输棋45合计25100（2）现有甲乙两人进行该棋类游戏的比赛，采用三局两胜制（即：比赛中任何一方赢得两局就获胜，同时比赛结束，比赛至多进行三局）在甲先
7、手局中，甲赢棋的概率为，乙赢棋的概率为；在乙先手局中，甲赢棋的概率为，乙赢棋的概率为若比赛中“先手局”的顺序依次为：甲、乙、乙，设比赛共进行X局，求X的分布列和数学期望附：，na+b+c+dP（2k）0.100.050.10k2.7063.8416.63520（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，BCAD，ABAD，PAAB2，AD2BC2（1）求证：BD平面PAC；（2）求二面角BPCD的余弦值21（12分）已知椭圆的短轴长为2，离心率为，点A是椭圆的左顶点，点E坐标为（1，0），经过点E的直线l交椭圆于M，N两点，直线l斜率存在且不为0（1）求椭
8、圆C的方程；（2）设直线AM，AN分别交直线x4于点P，Q，线段PQ的中点为G，设直线l与直线EG的斜率分别为k，k，求证：kk为定值22（12分）已知f（x）ex1x（1）求证：对于xR，f（x）0恒成立；（2）若对于x（0，+），有f（x）a（x2xxlnx）恒成立，求实数a的取值范围2022年辽宁省沈阳市高考数学质检试卷（一）（一模）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）集合Ax|2x2，B2，1，0，1，则AB（）A1，1，2B2，1，0，1C1，0，1D2，1，0，1，2【分析】进行交集的运算即可【
9、解答】解：Ax|2x2，B2，1，0，1，AB1，0，1故选：C2（5分）已知i为虚数单位，若复数z，则|z|（）A1B2CD【分析】直接利用商的模等于模的商求解【解答】解：由z，得|z|故选：D3（5分）关于双曲线C1：x2y22与C2：y2x22，下列说法中错误的是（）A它们的焦距相等B它们的顶点相同C它们的离心率相等D它们的渐近线相同【分析】求出双曲线焦距，顶点坐标，离心率，渐近线方程，即可判断选项【解答】解：双曲线C1：x2y22焦距4，顶点坐标（，0），离心率，渐近线方程yx，双曲线C2：y2x22焦距4，顶点坐标（0，），离心率，渐近线方程yx，故选：B4（5分）夏季里，每天甲、乙
10、两地下雨的概率分别为和，且两地同时下雨的概率为，则夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为（）ABCD【分析】记事件A为甲地下雨，事件B为乙下雨，根据条件概率的公式能求出在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率【解答】解：记事件A为甲地下雨，事件B为乙下雨，P（A），P（B），P（AB），在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为：P（A|B）故选：C5（5分）已知等差数列an的公差为2，且a2，a3，a5成等比数列，则an的前n项和Sn（）An（n2）Bn（n1）Cn（n+1）Dn（n+2）【分析】由已知列式求得a3，进一步求得首项，再由等差数列的前n项和公式求解【解答】解：等差数列an
11、的公差为2，且a2，a3，a5成等比数列，则，即，解得a34a1a340an的前n项和Sn故选：B6（5分）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD1，BC2，P是线段AB上的动点，则|+4|的最小值为（）A3B6C2D4【分析】以B为原点建立平面直角坐标系，设A（0，m），D（1，m），P（0，y），结合平面向量的坐标运算推出|+4|，故当4m5y0时，得解【解答】解：以B为原点，BC，BA所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B（0，0），C（2，0），设A（0，m），D（1，m），P（0，y），所以（2，y），（1，my），所以+4（6，4m5y），所以|+4
12、|，当4m5y0，即时，|+4|取得最小值，为6故选：B7（5分）已知alog32，blog43，则（）AacbBcabCbacDbca【分析】结合对数的运算性质及对数函数的单调性即可比较大小【解答】解：alog32log38log39log33c，blog43，所以b，0c，故bca故选：A8（5分）若函数f（x）ex+x32x2ax，则ae是f（x）在（0，+）有两个不同零点的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分且必要条件D既不充分也不必要条件【分析】将问题转化为a+x2x，令g（x）+x2x（x0），利用导数讨论g（x）的单调性，求出g（x）的最小值，由f（x）在（0，+）上有两个
13、不同零点的充要条件为ae1，进而得到答案【解答】解：f（x）ex+x32x2ax，令f（x）0，则a+x2x，令g（x）+x2x（x0），则g（x）0可得xexex+2x2x（ex+2x）（x1）0，解得x1，所以当x1时，g（x）0，g（x）单调递增，当0x1时，g（x）0，g（x）单调递减，又当x0时，g（x）+，所以g（x）最小值为g（1）e1，f（x）在（0，+）上有两个不同零点的充要条件为函数g（x）与ya的图象在第一象限有2个交点，所以ae1，即f（x）有2个零点的充要条件为ae1，又ae是ae1充分不必要条件，所以ae是f（x）在（0，+）有两个不同零点的充分不必要条件，故选：A
14、二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）某团队共有20人，他们的年龄分布如表所示，年龄28293032364045人数1335431有关这20人年龄的众数、极差、百分位数说法正确的有（）A众数是32B众数是5C极差是17D25%分位数是30【分析】根据表中数据，分别计算这组数据的众数、极差和百分位数即可【解答】解：根据表中数据知，这20个人年龄的众数是32，选项A正确、B错误；极差是452817，选项C正确；因为2025%5，所以百分位数是30，选项D正确故选：ACD（多选）10（
15、5分）已知函数f（x）sin2x+sinxcosx（xR），则（）Af（x）的最小值为0Bf（x）的最小正周期为Cf（x）的图像关于点中心对称Df（x）的图像关于直线轴对称【分析】由题意，利用三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，得出结论【解答】解：函数f（x）sin2x+sinxcosx+sin2xsin（2x）+（xR），故它的最小值为，故A错误；它的最小正周期为，故B正确；令x，求得f（x），可得f（x）的图像关于点（ ，）中心对称，故C错误；令x，求得f（x），为最小值，可得f（x）的图像关于直线轴对称，故D正确；故选：BD（多选）11（5分）已知圆O：x2+y22，直线l：x+y40，
16、P为直线l上一动点，过点P作圆O的两条切线PA，PB，A，B为切点，则（）A点P到圆心的最小距离为B线段PA长度的最小值为C的最小值为3D存在点P，使得PAB的面积为3【分析】利用圆的有关性质，可求得P到圆心的最小距离，可判断A；同时可求PA长度的最小值，可判断B；同时可求的最小值，可判断C；求出PAB的面积的最小值可判断D【解答】解：点P到圆心的最小距离为圆心到直线的距离d2，故A正确；由平面几何知识知线段PA长度的最小值为，故B错误；由向量运算可知的最小值为PA长度的最小同时APB最大时，所以PA时，APB60，所以cos603，故C正确；由平面几何知识知线段PA长度的最小时，PAB的面积
17、最小值为SABPsinAPB3，所以存在点P，使得PAB的面积为3故D正确；故选：ACD（多选）12（5分）若6a2，6b3，则下列不等关系正确的有（）ABCD【分析】由题意可知alog62，blog63，作商可判断选项A；由6a6b6a+b236可得a+b1，结合基本不等式可判断选项BC；利用换底公式并结合基本不等式的应用即可判断选项D【解答】解：由6a2，6b3，得alog62，blog63，所以log231，故选项A正确；由6a6b6a+b236，得a+b1，又a0，b0，ab，所以ab，故选项B正确；由选项B可知a2+b2（a+b）22ab12ab12，故选项C错误；由换底公式得a，b
18、，所以（b+）（+），由0，0，且，得+22，又2，所以（b+）222，故选项D正确故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）函数f（x）2cosxcos2x的最大值为 【分析】利用换元法，通过三角函数的有界性，转化函数为二次函数，求出值域即可【解答】解：f（x）2cosxcos2x2cos2x+2cosx+1，设tcosx，t1，1，则g（t）2t2+2t+12+，当t时，g（t）max，函数f（x）2cosxcos2x的最大值为，故答案为：14（5分）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中x3项的系数为 192（用数字作答）【分析】由已知求出n，然后再求出展
19、开式的通项公式，令x的指数为3，由此即可求解【解答】解：由已知可得2n64，则n6，所以二项式的展开式的通项公式为Tr+1CC，令63r3，解得r1，则x3的系数为C192，故答案为：19215（5分）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查参加活动的甲、乙两班的人数之比为5：3，其中甲班中女生占，乙班中女生占则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是 【分析】根据已知条件，结合全概率公式，即可求解【解答】解：记A与分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的，B表示是女生，由题意可得，P（A），P（），P（B|A），P（B|），由全概率公式可得，P（B）P
20、（A）P（B|A）+P（）P（B|）+，故该社区居民遇到的一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为，故答案为：16（5分）已知三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC1，AA12，A1ACA1AB60，BAC90，则四面体A1BB1C1的体积为 【分析】由题意画出图形，求出棱柱的高，再由等体积法求四面体A1BB1C1的体积【解答】解：如图，设A1在底面ABC上的射影为O，A1ACA1AB60，O在BAC的角平分线上，过O作OEAB，垂足为E，连接A1E，则A1EAB，在RtA1EA中，AA12，A1AB60，AE1，在RtAEO中，AE，OAE45，可得OE1，且A1到平面ABC的距离等于B到平面
21、A1B1C1的距离，即四面体A1BB1C1的体积为故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）从，b2+aca2+c2这两个条件中任选一个，补充到下面已知条件中进行解答已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_（填写或，只可以选择一个标号，并依此条件进行解答）（1）求B；（2）若b2，ABC的面积为，求a【分析】（1）选择条件：利用正弦定理化边为角，再结合同角三角函数的商数关系，得解；选择条件：利用余弦定理，求出cosB的值，即可；（2）由SacsinB，可得ac4，再结合余弦定理，得解【解答】解：（1）选择条件：由正弦定理及，知
22、sinBsinCsinCcosB，因为sinC0，所以sinBcosB，所以tanB，因为B（0，），所以B选择条件：由余弦定理知，cosB，所以B（2）因为ABC的面积SacsinBac，所以ac4，由（1）知，b2+aca2+c2，所以4+4a2+c2，即8a2+，化简得a48a2+160，解得a24，又a0，所以a218（12分）等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a2+a414，b2b4a6，且bn0（1）求数列bn的通项公式；（2）已知：bn1000；mN+，使ambn设S为数列bn中同时满足条件和的所有的项的和，求S的值【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得
23、公差和公比，即可得到所求通项公式；（2）先由可得n的取值；再由通过列举法可得满足题意的n的值和bn的值，计算可得所求S【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d和等比数列bn的公比为q，q0，由a1b11，a2+a414，b2b4a6，可得1+d+1+3d14，qq31+5d，解得d3，q2，则an1+3（n1）3n2，bn2n1；（2）bn1000，即2n11000，解得n1，2，3，.，10；mN+，使ambn，即3m22n1，可得m1，n1；m2，n3；m6，n5；m22，n7；m86，n9所以S1+4+16+64+25634119（12分）现有一种需要两人参与的棋类游戏，规定在双方对局
24、时，二人交替行棋一部分该棋类游戏参与者认为，在对局中“先手”（即：先走第一步棋）具有优势，容易赢棋，而“后手”（即：对方走完第一步棋之后，本方再走第一步棋）不具有优势，容易输棋（1）对某位该棋类游戏参与者的100场对局的输赢结果按照是否先手局进行统计，分数据如表所示请将表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为赢棋与“先手局”有关？先手局后手局合计赢棋45输棋45合计25100（2）现有甲乙两人进行该棋类游戏的比赛，采用三局两胜制（即：比赛中任何一方赢得两局就获胜，同时比赛结束，比赛至多进行三局）在甲先手局中，甲赢棋的概率为，乙赢棋的概率为；在乙先手局中，甲赢棋的概率为，乙赢棋的概率为若比赛中
25、“先手局”的顺序依次为：甲、乙、乙，设比赛共进行X局，求X的分布列和数学期望附：，na+b+c+dP（2k）0.100.050.10k2.7063.8416.635【分析】（1）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解（2）由题意可得，X所有可能取值为2，3，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解【解答】解：（1）22列联表如下： 先手局 后手局 合计 赢棋 45 10 55 输棋 30 15 45 合计 75 251002.706，有90%的把握认为赢棋与“先手局”有关（2）由题意可得，X所有可能取值为2，3，P（X2），P（X3）1P（X2），故X的分布列为：X
26、2 3 P 故E（X）20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，BCAD，ABAD，PAAB2，AD2BC2（1）求证：BD平面PAC；（2）求二面角BPCD的余弦值【分析】（1）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，由，即可证明；（2）求平面PBC的法向量和平面PCD的法向量，利用数量积公式可得答案【解答】（1）证明：PA平面ABCD，AB平面ABCD，AD平面ABCD，PAAB，PAAD，又ABAD，AB、AD、AP两两互相垂直，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴
27、建立空间直角坐标系Axyz，如图，因为PAAB2，则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），因为，所以，即ACBD，BDPC，又因为ACPCC，AC平面PAC，PC平面PAC，所以BD平面PAC（2）解：设平面PCD的法向量为，平面PBC的法向量，由，得，令，得x11，z12；令x21，解得y20，z21，所以，则，所以二面角BPCD的余弦值为21（12分）已知椭圆的短轴长为2，离心率为，点A是椭圆的左顶点，点E坐标为（1，0），经过点E的直线l交椭圆于M，N两点，直线l斜率存在且不为0（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AM，AN分别交直线x4于点P，Q，线段PQ的中点为G，设直
28、线l与直线EG的斜率分别为k，k，求证：kk为定值【分析】（1）根据题意可得2b2，及椭圆的离心率公式，即可求得a的值，再得到椭圆的方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，表示出直线AM的方程，即可求得P和Q点坐标，求得G点坐标，即可求得GE的斜率，结合韦达定理即可求得【解答】解：（1）由题意可知，2b2，即b1，离心率，则a2，所以椭圆C的方程：；（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），直线l的方程yk（x1），由，消去y，整理得（1+4k2）x28k2x+4k240，所以，又A（2，0），所以直线AM的方程为：，其与直线x4的交点为，同理，所以PQ的中点为，所以GE的斜率为，所
29、以22（12分）已知f（x）ex1x（1）求证：对于xR，f（x）0恒成立；（2）若对于x（0，+），有f（x）a（x2xxlnx）恒成立，求实数a的取值范围【分析】（1）求出函数的导数，令f（x）0，求出x1，进而求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，由此能证明对于xR，f（x）0恒成立（2）将不等式转化为ex1lnx1a（x1lnx），令tx1lnx，则et1at对t0，+）恒成立，构造新函数g（t）et1at（t0），利用导数讨论函数的单调性，求出最小值即可【解答】解：（1）证明：由f（x）ex1x，得f（x）ex11，（xR），令f（x）0，得x1，当x（，1）时，f（x）0，f（x
30、）单调递减，当x（1，+）时，f（x）0，f（x）单调递增，f（x）f（1）0，对于xR，f（x）0恒成立（2）f（x）a（x2xxlnx），ex1xa（x2xxlnx），a（x1lnx），即ex1lnx1a（x1lnx），令tx1lnx，则，当x（0，1）时，t0，函数tx1lnx单调递减，当x（1，+）时，t0，函九tx1lnx单调递增，t11ln10，即t0，et1at，即et1at0对t0，+）恒成立，令g（t）et1at（t0），则g（0）e01a00，g（t）eta，若a0，g（t）0，g（t）在0，+）上单调递增，g（t）ming（0）0，g（t）0，符合题意，若a0，令g（t）0，得tlna，则当t（0，lna）时，g（t）0，g（t）单调递减，当tlna，+）时，g（t）0，g（t）单调递增，g（t）ming（lna）g（0）0，不符合g（t）0，综上，a1，a的取值范围是（，1声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/3/8 8:07:16；用户：一中；邮箱：52405；学号：41470688第23页（共23页）
