1、第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系 A级基础巩固1已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆O的位置关系是()A相切 B相交 C相离 D不确定解析：由题意知点M在圆外，则a2b21，圆心到直线的距离d1，故直线与圆相交答案：B2已知圆x2y22x2ya0截直线xy20所得弦的长度为4，则实数a的值是()A2 B4 C6 D8解析：由x2y22x2ya0，得(x1)2(y1)22a，所以圆心坐标为(1，1)，半径r，圆心到直线xy20的距离为，所以22()22a，解得a4.答案：B3(2020宜昌市期末)圆C1：(x1)2(y2)24与圆C2：(x1)2(y1)29的位置关系是
2、()A内切 B相交 C外切 D相离解析：圆C1的圆心为(1，2)，半径为r12，圆C2的圆心为(1，1)，半径为r23，两圆的圆心距d，所以r2r1d0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切 B相交 C外切 D相离解析：圆M的标准方程为：x2(ya)2a2(a0)，则圆心为(0，a)，半径Ra，圆心到直线xy0的距离d，因为圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，所以2222，即，即a24，a2，则圆M的圆心为M(0，2)，半径R2，圆N：(x1)2(y1)21的圆心为N(1，1)，半径r1，则MN，因为Rr3，Rr1
3、，所以RrMN0，b0)被圆x2y22x4y10截得弦长为4，则的最小值是()A9 B4 C. D.解析：圆x2y22x4y10，即圆(x1)2(y2)24，它表示以(1，2)为圆心、半径为2的圆因为弦长等于直径，所以直线经过圆心，故有2a2b20，即ab1，再由a0，b0，可得：(ab)5529，当且仅当，即a，b时取等号，所以的最小值是9.答案：A7从圆x22xy22y10外一点P(3，2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为_解析：由x22xy22y10，得(x1)2(y1)21，则圆心为C(1，1)，|PC|.设两切点分别为B，D，则|CD|1，所以sin CPD，则cos DP
4、B12 sin2CPD1，即两条切线夹角的余弦值为.答案：8已知圆C1：x2y26x70与圆C2：x2y26y270相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为_解析：因为圆C1的圆心C1(3，0)，圆C2的圆心C2(0，3)，所以直线C1C2的方程为xy30，AB的中垂线即直线C1C2，故其方程为xy30.答案：xy309(2020芜湖二中月考)过点(1，0)且与直线xy30平行的直线l被圆(x6)2(y)212所截得的弦长为_解析：设与直线xy30平行的直线l的方程为xyc0，因为直线过点(1，0)，所以c1，所以直线l的方程为xy10.所以圆心(6，)到直线l的距离为，所以直线l被圆(x6
5、)2(y)212截得的弦长为26.答案：610(2020潍坊一中月考)已知直线l：xy30被圆C：(xa)2(y2)24(a0)截得的弦长为2，求(1)a的值；(2)求过点(3，5)并与圆C相切的切线方程解：(1)依题意可得圆心C(a，2)，半径r2，则圆心到直线l：xy30的距离d，由勾股定理可知d2r2，代入化简得|a1|2，解得a1或a3，又a0，所以a1.(2)由(1)知圆C：(x1)2(y2)24，又(3，5)在圆外，所以当切线方程的斜率存在时，设方程为y5k(x3)，由圆心到切线的距离dr2，解得k，所以切线方程为5x12y450.当过(3，5)的切线斜率不存在，易知直线x3与圆相
6、切，综合可知切线方程为5x12y450或x3.B级能力提升11(2020临沂市调研)已知圆C1：(x1)2(y1)21，圆C2：(x4)2(y5)29.点M、N分别是圆C1、圆C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PN|PM|的最大值是()A24 B9C7 D22解析：圆C1：(x1)2(y1)21的圆心E(1，1)，半径为1，圆C2：(x4)2(y5)29的圆心F(4，5)，半径是3.要使|PN|PM|最大，需|PN|最大，且|PM|最小，|PN|最大值为|PF|3，|PM|的最小值为|PE|1，故|PN|PM|的最大值是(|PF|3)(|PE|1)|PF|PE|4.F(4，5)关于x轴的对称
7、点F(4，5)，|PF|PE|PF|PE|EF|5，故|PN|PM|的最大值为549.答案：B12(2020青岛二中月考)已知圆的方程为(x1)2(y1)29，P(2，2)是该圆内一点，过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是_解析：因为圆的方程为(x1)2(y1)29，所以圆心坐标为M(1，1)，半径r3.因为P(2，2)是该圆内一点，所以经过P点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦结合题意，得AC是经过P点的直径，BD是与AC垂直的弦因为|PM|，所以由垂径定理，得|BD|2.因此，四边形ABCD的面积是S|AC|BD|626.答案：613已知直线l：4
8、x3y100，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方(1)求圆C的方程(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设圆心C(a，0)，则2，解得a0或a5(舍)所以圆C的方程为x2y24.(2)当直线ABx轴时，x轴平分ANB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk(x1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(k21)x22k2xk240，所以x1x2，x1x2.若x轴平分ANB，则kANkBN，即0，则0，即2x
9、1x2(t1)(x1x2)2t0，即2t0，解得t4，所以当点N坐标为(4，0)时，能使得x轴平分ANB.C级素养升华14(多选题)已知两点M，N，下列曲线方程中，存在点P满足|MP|NP|的曲线方程是()A4x2y10 Bx2y23C.y21 D.y21解析：要使这些曲线上存在点P满足|MP|NP|，需曲线与MN的垂直平分线相交MN的中点坐标为，MN斜率为，所以MN的垂直平分线为y2，因为4x2y10与y2斜率相同，两直线平行，可知两直线无交点，进而可知A不符合题意；x2y23与y2联立，消去y得5x212x60，1444560，可知B中的曲线与MN的垂直平分线有交点；将C中的方程与y2联立，消去y得9x224x160，0，可知C中的曲线与MN的垂直平分线有交点；将D中的方程与y2联立，消去y得7x224x200，0，可知D中的曲线与MN的垂直平分线有交点答案：BCD
