1、6.3.5平面向量数量积的坐标表示课标解读课标要求核心素养1.能用坐标表示平面向量的数量积.2.能应用数量积表示两个平面向量的夹角.(重点)3.会用数量积判断两个平面向量垂直.(难点)1.借助平面向量数量积的坐标表示向量的模及夹角,判断它们的垂直关系,培养直观想象核心素养.2.通过利用向量垂直、夹角的坐标表示求参数,培养逻辑推理核心素养.“我知道我一直有双隐形的翅膀,带我飞飞过绝望,不去想他们拥有美丽的太阳,我看见每天的夕阳也会有变化,我知道我一直有双隐形的翅膀,带我飞给我希望”,如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”,它又能飞多远呢?本节讲解平面向量数量积的“翅膀”坐标表示.问题:数量积有什么
2、作用呢?答案求线段的长度,判断垂直关系,求夹角.平面向量数量积的坐标表示设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为.坐标表示数量积ab=x1x2+y1y2垂直abx1x2+y1y2=0模|a|2=x12+y12或|a|=x12+y12设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2夹角cos=ab|a|b|=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22思考1:若O为坐标原点,点A的坐标为(x,y),则OA的模表示什么?提示易知OA=(x,y),则|OA|=x2+y2,即点A到原点的距离.思考2:若非零向量a=(x1,y1),b=(x2
3、,y2),则ab与ab的坐标表示的区别是什么?提示abx1y2=x2y1,即x1y2-x2y1=0,异名积的差相等,即纵横交错积相等;abx1x2+y1y2=0,同名积的和为0,即横横纵纵积相反.探究一数量积的坐标运算例1已知a=(2,-1),b=(3,-2),则(3a-b)(a-2b)=.答案-15解析解法一:ab=23+(-1)(-2)=8,a2=22+(-1)2=5,b2=32+(-2)2=13,(3a-b)(a-2b)=3a2-7ab+2b2=35-78+213=-15.解法二:a=(2,-1),b=(3,-2),3a-b=(6,-3)-(3,-2)=(3,-1),a-2b=(2,-1
4、)-(6,-4)=(-4,3),(3a-b)(a-2b)=3(-4)+(-1)3=-15.(变条件,变问法)若存在向量c,满足ac=2,bc=5,则向量c=.答案(-1,-4)解析设c=(x,y),因为ac=2,bc=5,所以2x-y=2,3x-2y=5,解得x=-1,y=-4,所以c=(-1,-4).思维突破向量数量积坐标运算的途径进行数量积的运算,要牢记有关的运算法则和运算性质,解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知条件计算.1-1向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)a=()A.-1B.0C.1D
5、.2答案Ca=(1,-1),b=(-1,2),2a+b=(1,0),(2a+b)a=(1,0)(1,-1)=1.1-2已知向量a与b同向,b=(1,2),ab=10.(1)求向量a的坐标;(2)若c=(2,-1),求(bc)a.解析(1)因为a与b同向,又b(1,2),所以设a=b,则a=(,2).又因为ab=10,所以1+22=10,解得=20,又=2符合a与b同向,a=(2,4).(2)bc=12+2(-1)=0,(bc)a=0(2,4)=0.探究二平面向量的模与垂直问题例2(1)已知直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|PA+3PB|的最
6、小值为.(2)已知在ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD为BC边上的高,求|AD|与点D的坐标.答案(1)5解析(1)以直线DA,DC分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示.则A(2,0),D(0,0),设CD=a,则B(1,a),C(0,a),设P(0,b)(0ba),则PA=(2,-b),PB=(1,a-b),所以PA+3PB=(5,3a-4b),所以|PA+3PB|=25+(3a-4b)25,所以|PA+3PB|的最小值为5.(2)设点D的坐标为(x,y).A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD=(x-2,y+1),BC=(-6,-3),BD
7、=(x-3,y-2).D在直线BC上,BD与BC共线,存在实数,使BD=BC,即(x-3,y-2)=(-6,-3),x-3=-6,y-2=-3,x-3=2(y-2),即x-2y+1=0.又ADBC,ADBC=0,(x-2,y+1)(-6,-3)=0,-6(x-2)-3(y+1)=0,2x+y-3=0.由可得x=1,y=1,点D的坐标为(1,1),AD=(-1,2),|AD|=(-1)2+22=5.思维突破1.求向量的模的两种基本策略(1)字母表示:用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的运算.(2)坐标表示:若a=(x,y),则|a|2=a2=x2+y2,于是有|a|=x2
8、+y2.2.利用向量解决垂直问题的步骤(1)建立平面直角坐标系,将相关的向量用坐标表示出来.(2)找到解决问题所要用到的垂直关系的向量.(3)利用向量垂直的相关公式列出参数满足的等式,解出参数值.(4)还原要解决的几何问题.2-1已知向量a=(1,x),b=(1,x-1),若(a-2b)a,则|a-2b|=.答案2解析a-2b=(-1,2-x),且(a-2b)a,(a-2b)a=-1+x(2-x)=-x2+2x-1=0,x=1,a-2b=(-1,1),|a-2b|=2.2-2已知三点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).(1)求证:ABAD;(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标并
9、求矩形ABCD的对角线的长度.解析(1)证明:A(2,1),B(3,2),D(-1,4),AB=(1,1),AD=(-3,3),则ABAD=1(-3)+13=0,ABAD,即ABAD.(2)ABAD,四边形ABCD为矩形,AB=DC.设点C的坐标为(x,y),则DC=(x+1,y-4),从而有x+1=1,y-4=1,解得x=0,y=5,点C的坐标为(0,5),AC=(-2,4),|AC|=(-2)2+42=25,矩形ABCD的对角线的长度为25.探究三向量的夹角问题例3(易错题)已知向量a=(2,1),b=(1,k),且a与b的夹角为锐角,则实数k的取值范围是()A.(-2,+)B.-2,12
10、12,+C.(-,-2)D.(-2,2)答案B解析当a与b共线时,2k-1=0,k=12,此时a与b方向相同,夹角为0,所以要使a与b的夹角为锐角,则有ab0且a,b不同向.由ab=2+k0,得k-2,且k12,即实数k的取值范围是-2,1212,+.1.(变条件)将本例中的条件“a=(2,1)”改为“a=(-2,1)”,“锐角”改为“钝角”,求实数k的取值范围.解析当a与b共线时,-2k-1=0,k=-12,此时a与b方向相反,夹角为180,所以要使a与b的夹角为钝角,则有ab0,且a与b不反向.由ab=-2+k0,得k2.由a与b不反向得k-12,所以k的取值范围是-,-12-12,2.2
11、.(变条件)将本例中的条件“a与b的夹角为锐角”改为“ (a+b)(a-b)”,求实数k的值.解析a=(2,1),b=(1,k),(a+b)=(3,1+k),a-b=(1,1-k).(a+b)(a-b),(a+b)(a-b)=(3,1+k)(1,1-k)=0,3+(1-k2)=0,k=2或k=-2.易错点拨常因数量积的正负与向量夹角关系不清,而造成过程性失分.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)求向量的数量积:利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积.(2)求模:若a=(x,y),则用|a|=x2+y2计算两向量的模.(3)求夹角的余弦值:若a=(x1,y1),b=(x2,y2)
12、,是a与b的夹角,则利用公式cos=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22可求夹角的余弦值.(4)求角:利用向量夹角的范围及cos,求的值.3-1在平面直角坐标系中,O为坐标原点,OA=32,12,若OA绕点O逆时针旋转60得到向量OB,则OB=()A.(0,1)B.(1,0)C.32,-12D.12,-32答案A在平面直角坐标系中,O为坐标原点,OA=32,12,sinAOx=12,cosAOx=32,AOx=30,即OA和x轴的夹角为30.若OA绕点O逆时针旋转60得到向量OB,则BOx=30+60=90.设OB=(0,b),OAOB=11cos60=0+12b,b=1,OB=(0
13、,1).1.已知向量a=(x-5,3),b=(2,x),且ab,则由x的值构成的集合是()A.2,3B.-1,6C.2D.6答案Ca=(x-5,3),b=(2,x),且ab,ab=2(x-5)+3x=0,解得x=2,故由x的值构成的集合是2.2.(2019课标全国,13,5分)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos=.答案-210解析由题意知cos=ab|a|b|=2(-8)+2622+22(-8)2+62=-210.3.(2020课标全国理,14,5分)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=.答案3解析由|a+b|=1,得|a+b|2=1,即a2+b2+2ab=1,
14、而|a|=|b|=1,故ab=-12,|a-b|=|a-b|2=a2+b2-2ab=1+1+1=3.4.设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)b,则|a|=.答案2解析由题知,a+c=(3,3m),(a+c)b,(a+c)b=0,即3(m+1)+3m=0,解得m=-12,a=(1,-1),|a|=2.5.若向量a的始点为A(-2,4),终点为B(2,1),求:(1)向量a的模;(2)与a平行的单位向量的坐标;(3)与a垂直的单位向量的坐标.解析(1)a=AB=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),|a|=42+(-3)2=5.(2)与a平行的单位向量是a|a
15、|=15(4,-3),即45,-35或-45,35.(3)设与a垂直的单位向量为e=(m,n),由(1)知,ae=4m-3n=0,mn=34,又|e|=1,m2+n2=1,由解得m=35,n=45或m=-35,n=-45,e=35,45或e=-35,-45.数学运算利用数形结合思想解决几何问题如图所示,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若ABAF=2,则AEBF的值是.答案2解析以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.则B(2,0),D(0,2),C(2,2),E(2,1).可设F(x,2),因为ABAF=(2,
16、0)(x,2)=2x=2,所以x=1,所以F(1,2),所以AEBF=(2,1)(1-2,2)=2.素养探究:对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,根据图形的特征建立坐标系,并写出相应点的坐标即可求解,过程中体现了数学运算的核心素养.已知ABAC,|AB|=1t(t0),|AC|=t,若点P是ABC所在平面内的一点,且AP=AB|AB|+4AC|AC|,则PBPC的最大值等于()A.13B.15C.19D.21答案A以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则B1t,0(t0),C(0,t),AB=1t,0,AC=(0,t),AP=AB|AB|+4AC|AC|=t1t,0+4t(0,t)=
17、(1,4),P(1,4),则PBPC=1t-1,-4(-1,t-4)=17-1t+4t17-21t4t=13,当且仅当t=12时,取“=”.故PBPC的最大值为13.故选A.1.已知向量a=(0,-23),b=(1,3),e是与b方向相同的单位向量,则向量a在b方向上的投影向量为()A.3eB.3eC.-3eD.-3e答案D2.已知向量a=(1,3),b=(-2,23),则a与b的夹角是()A.6B.4C.3D.2答案C3.在ABCD中,已知AC=(-4,2),BD=(2,-6),那么|2AB+AD|=()A.55B.25C.210D.85答案D设AB=a,AD=b,则a+b=AC=(-4,2
18、),b-a=BD=(2,-6),所以b=(-1,-2),a=(-3,4),所以2AB+AD=2a+b=(-7,6),所以|2AB+AD|=(-7)2+62=85.4.(多选题)设向量a=(1,0),b=12,12,则下列结论中不正确的是()A.|a|=|b|B.ab=22C.a-b与b垂直D.ab答案ABD由题意知|a|=12+02=1,|b|=122+122=22,ab=112+012=12,(a-b)b=ab-|b|2=12-12=0,故a-b与b垂直.故选ABD.5.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则ABC是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形答
19、案A由题意知AB=(8,-4),AC=(2,4),BC=(-6,8),ABAC=82+(-4)4=0,ABAC,BAC=90,故ABC是直角三角形.6.已知向量AB=(3,-1),n=(2,1),且nAC=7,则nBC=.答案2解析AB=(3,-1),n=(2,1),且nAC=7,nBC=n(AC-AB)=nAC-nAB=7-(2,1)(3,-1)=7-5=2.7.已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b的夹角的余弦值等于.答案1665解析设b=(x,y),a=(4,3),2a+b=(8+x,6+y),又2a+b=(3,18),8+x=3,6+y=18,解得x=-5,y=12,b=
20、(-5,12),ab=16,|b|=(-5)2+122=13.又|a|=42+32=5,cos=ab|a|b|=1665.8.已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则DECB的值为,DEDC的最大值为.答案1;1解析如图,以D为坐标原点,建立平面直角坐标系.则D(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),设E(1,a)(0a1),所以DECB=(1,a)(1,0)=1,DEDC=(1,a)(0,1)=a1,故DEDC的最大值为1.9.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=25,且ca,求c的坐标;(2)若|b|=52,且a+2b与2a
21、-b垂直,求a与b的夹角.解析(1)设c=(x,y),|c|=25,x2+y2=25,x2+y2=20.ca,y-2x=0,联立,得y-2x=0,x2+y2=20,解得x=2,y=4或x=-2,y=-4.故c=(2,4)或c=(-2,-4).(2)(a+2b)(2a-b),(a+2b)(2a-b)=0,2a2+3ab-2b2=0.a=(1,2),|b|=52,a2=5,b2=54,ab=-52,cos=ab|a|b|=-52552=-1,=180.10.已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在x轴上有一点P,使APBP有最小值,则点P的坐标是()A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0
22、)D.(4,0)答案C设P(x,0),则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1),APBP=(x-2)(x-4)+2=(x-3)2+1,故当x=3时,APBP最小,此时点P的坐标为(3,0).11.(多选题)已知AB=(4,2),AC=(k,-2),若ABC为直角三角形,则k等于()A.1B.6C.2D.3答案ABBC=AC-AB=(k,-2)-(4,2)=(k-4,-4),若A为直角,则ABAC=4k-4=0,所以k=1.若B为直角,则BABC=(-4,-2)(k-4,-4)=-4k+16+8=0,所以k=6.若C为直角,则CACB=(-k,2)(4-k,4)=k2-4k+8=0,方程
23、无解.综上可知,k的值为1或6.12.已知OA=(-3,1),OB=(0,5),且ACOB,BCAB,O为坐标原点,则点C的坐标是()A.-3,-294B.-3,294C.3,294D.3,-294答案B设C(x,y),则OC=(x,y).又OA=(-3,1),AC=OC-OA=(x+3,y-1).ACOB,OB=(0,5),5(x+3)-0(y-1)=0,x=-3.又BC=OC-OB=(x,y-5),AB=OB-OA=(3,4),BCAB,3x+4(y-5)=0,y=294,点C的坐标是-3,294.13.设非零向量a与b的夹角是56,且|a|=|a+b|,则当t=时,|2a+tb|b|取得
24、最小值为.答案1;33解析因为非零向量a与b的夹角是56,且|a|=|a+b|,所以|a|2=|a+b|2=|a|2+|b|2+2|a|b|cos56,所以|b|2-3|a|b|=0,所以|b|=3|a|,所以|2a+tb|b|2=4|a|2+t2|b|2+4tab|b|2=4|a|2+t23|a|2-6t|a|23|a|2=t2-2t+43=(t-1)2+13,所以当t=1时,|2a+tb|b|取得最小值,为 13=33.14.在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(AB-t
25、OC)OC=0,求t的值.解析(1)解法一:由题设知AB=(3,5),AC=(-1,1),则AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4),所以|AB+AC|=210,|AB-AC|=42.故所求的两条对角线的长分别为42,210.解法二:设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,则E为BC的中点,所以E(0,1),又E(0,1)为AD的中点,所以D(1,4).故所求的两条对角线的长分别为BC=42,AD=210.(2)由题设知OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+t).解法一:由(AB-tOC)OC=0,得(3+2t,5+t)(-2,-1)=0,化简得5t=-11,
26、所以t=-115.解法二:根据题意,知ABOC=tOC2,AB=(3,5),OC=(-2,-1),所以t=ABOC|OC|2=-115.15.如图,摄影爱好者在某公园A处发现正前方B处有一根立柱,测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为6,设摄影爱好者的眼睛(记为S)距离地面的高度为3m.(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度;(2)立柱的顶端有一根长为2米的彩杆MN,绕其中点O在SA与立柱所在的平面内旋转.摄影爱好者有一视角范围为3的镜头,在彩杆转动的任意时刻,摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面?说明理由.解析(1)如图,作SCOB于点C,根据题意,知CSB=6,CSO=6,A
27、SB=3,又SA=3m,在RtSAB中,BA=SAtan30=3m,即摄影爱好者到立柱的水平距离为3m.由SC=3m,CSO=6,得在RtSCO中,OC=SCtan6=3m,又BC=SA=3m,OB=23m,即立柱的高度为23m.(2)是.理由:如图,以O为坐标原点,以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系.连接SM,SN.设M(cos,sin),0,),则N(-cos,-sin),由(1)知S(3,-3),SM=(cos-3,sin+3),SN=(-cos-3,-sin+3),SMSN=(cos-3)(-cos-3)+(sin+3)(-sin+3)=11,|SM|SN|=169-48cos2+611,13.cosMSN1113,1,0MSN3恒成立.故在彩杆转动的任意时刻,摄影爱好者都可以将彩杆全部摄入画面.