1、2016-2017学年福建省莆田一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分.）1设复数z满足z（1+i）=4，i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A2B2C2iD2i2若椭圆+=1与双曲线=1有相同的焦点，则a的值是（）A1B1C1D23已知a0，1b0，那么下列不等式成立的是（）Aaabab2Babaab2Cabab2aDab2aab4下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中m值为（）x3456y2.5m44.5A4B3
2、.15C4.5D35设函数，则函数f（x）能取得（）A最小值为2B最大值为2C最小值为2D最大值为26若正实数x，y满足x+2y+2xy8=0，则x+2y的最小值（）A3B4CD7古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、这样的数称为“正方形数”从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（）A16=3+13B25=9+16C36=10+26D49=21+288在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如
3、下：甲是中国人，还会说英语乙是法国人，还会说日语丙是英国人，还会说法语丁是日本人，还会说汉语戊是法国人，还会说德语则这五位代表的座位顺序应为（）A甲丙丁戊乙B甲丁丙乙戊C甲乙丙丁戊D甲丙戊乙丁9如图是一个算法的流程图，若输入x的值为4，则输出y的值 是（）A3B2C1D010函数y=x2ln|x|在2，2的图象大致为（）ABCD11若f（x）为奇函数，且x0是y=f（x）ex的一个零点，则下列函数中，x0一定是其零点的函数是（）Ay=f（x）ex1By=f（x）ex+1Cy=f（x）ex1Dy=f（x）ex+112已知F为双曲线C：（a0，b0）的左焦点，直线l经过点F，若点A（a，0），B（
4、0，b）关于直线l对称，则双曲线C的离心率为（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13已知复数z=，是z的共轭复数，则的模等于 14若关于x的不等式5x2a0的正整数解是1，2，3，则实数a的取值范围是 15观察以下三个不等式：（12+22+32）（32+42+52）（13+24+35）2；（72+92+102）（62+82+112）（76+98+1011）2；（2099+3090+20172016）2；若2x+y+z=7，x，y，zR时，则（x+1）2+（y+2）2+（z+1）2的最小值为 16已知甲、乙、丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36
5、天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠 公里三、解答题（共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），直线C2的方程为y=，以O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求+18已知函数f（x）=|x|+|x3|（1）求不等式f（）6的解集；（2）若k0且直线y=kx+5k与函数f（x）的图象可以围成一个三角
6、形，求k的取值范围19随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表年龄（单位：岁）15，25）25，35）35，45）45，55）55，65）65，75）频数510151055赞成人数51012721（）若以“年龄”45岁为分界点，由以上统计数据完成下面22列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关； 年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计赞成 不赞成 合计 （）若从年龄在25，35）和55，65）的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行
7、追踪调查，并给予其中3人“红包”奖励，求3人中至少有1人年龄在55，65）的概率参考数据如下：附临界值表：P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2的观测值：k=（其中n=a+b+c+d）20已知函数f（x）=x（x+a）lnx，其中a为常数（1）当a=1时，求f（x）的极值；（2）若f（x）是区间内的单调函数，求实数a的取值范围21已知椭圆C： +=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交椭圆于A，B两点，ABF1的周长为8，且AF1F2的面积的最大时，AF1F2
8、为正三角形（1）求椭圆C的方程；（2）若是椭圆C经过原点的弦，MNAB，求证：为定值22已知函数f（x）=ex1+ax，aR（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）求证：ex1x；（3）求证：当a2时，x1，+），f（x）+lnxa+1恒成立2016-2017学年福建省莆田一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分.）1设复数z满足z（1+i）=4，i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A2B2C2iD2i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的除法运算化为a+bi（a，bR）的形式，则答案可求【解答】解：由z（1+i）=4，得
9、z=22i，则复数z的虚部是2，故选：B2若椭圆+=1与双曲线=1有相同的焦点，则a的值是（）A1B1C1D2【考点】KF：圆锥曲线的共同特征【分析】求出双曲线的两焦点坐标，即为椭圆的焦点坐标，即可得到m，b的值，然后根据椭圆的定义得到a，最后利用a，b，c的关系即可求出b的值，得到椭圆及双曲线的方程【解答】解：由题意可知椭圆的半焦距c的平方为：c2=4a2双曲线的半焦距c的平方为：c2=a+2；4a2=a+2，解得：a=1（负值舍去）故选A3已知a0，1b0，那么下列不等式成立的是（）Aaabab2Babaab2Cabab2aDab2aab【考点】R3：不等式的基本性质【分析】根据a，b的范
10、围以及不等式的性质，判断即可【解答】解：由a0，b0知，ab0，ab20，又由1b0知0b21，所以ab2a，故选：C4下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中m值为（）x3456y2.5m44.5A4B3.15C4.5D3【考点】BK：线性回归方程【分析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m的方程，解方程即可【解答】解：根据所给的表格可以求出=4.5， =这组数据
11、的样本中心点在线性回归直线上，=0.74.5+0.35，m=3，故选：D5设函数，则函数f（x）能取得（）A最小值为2B最大值为2C最小值为2D最大值为2【考点】3H：函数的最值及其几何意义【分析】由题，结合绝对值的几何意义可知当x对应的点位于b及对应点之间（含端点）时f（x）最小，进而利用基本不等式可得结论【解答】解：由题意可知b0，由绝对值的几何意义可知f（x）表示数轴上x对应的点与b及对应点的距离之和，显然f（x）无最大值，但有最小值，即当x对应的点位于b及对应点之间（含端点）时，f（x）最小，此时f（x）min=+b2=2，当且仅当b=1时取等号，故选：A6若正实数x，y满足x+2y+
12、2xy8=0，则x+2y的最小值（）A3B4CD【考点】7F：基本不等式【分析】正实数x，y满足x+2y+2xy8=0，利用基本不等式的性质可得x+2y+（）280，设x+2y=t0，即可求出x+2y的最小值【解答】解：正实数x，y满足x+2y+2xy8=0，x+2y+（）280，设x+2y=t0，t+t280，t2+4t320，即（t+8）（t4）0，t4，故x+2y的最小值为4，故选：B7古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、这样的数称为“正方形数”从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数
13、”之和，下列等式中，符合这一规律的是（）A16=3+13B25=9+16C36=10+26D49=21+28【考点】F1：归纳推理【分析】题目中“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21“正方形数”的规律为1、4、9、16、25，根据题目已知条件：从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可得出最后结果【解答】解：这些三角形数的规律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，且正方形数是这串数中相邻两数之和，很容易看到：恰有21+28=49故选D8在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够自由交谈，事先了
14、解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语乙是法国人，还会说日语丙是英国人，还会说法语丁是日本人，还会说汉语戊是法国人，还会说德语则这五位代表的座位顺序应为（）A甲丙丁戊乙B甲丁丙乙戊C甲乙丙丁戊D甲丙戊乙丁【考点】F4：进行简单的合情推理【分析】这道题实际上是一个逻辑游戏，首先要明确解题要点：甲乙丙丁戊5个人首尾相接，而且每一个人和相邻的两个人都能通过语言交流，而且4个备选答案都是从甲开始的，因此，我们从甲开始推理【解答】解：根据题干和答案综合考虑，运用排除法来解决，首先，观察每个答案中最后一个人和甲是否能够交流，戊不能和甲交流，因此，B，C不成立，乙不能和甲交流，A错误，因此，D正确9如图是一
15、个算法的流程图，若输入x的值为4，则输出y的值 是（）A3B2C1D0【考点】EF：程序框图【分析】利用循环结构，直到条件满足退出，即可得到结论【解答】解：模拟程序的运行，可得x=4，y=1，不满足条件|yx|1，执行循环体，x=2，y=0；不满足条件|yx|1，执行循环体，x=0，y=1；不满足条件|yx|1，执行循环体，x=2，y=2；满足条件|yx|1，退出循环，输出y的值为2故选：B10函数y=x2ln|x|在2，2的图象大致为（）ABCD【考点】3O：函数的图象【分析】由函数y=x2ln|x知x0，排除B、C，根据函数最值即可得到答案【解答】解：由函数y=x2ln|x知x0，排除B、
16、C当x0时，y=x2lnx，知当时，函数y=x2lnx取得极小值，故选A11若f（x）为奇函数，且x0是y=f（x）ex的一个零点，则下列函数中，x0一定是其零点的函数是（）Ay=f（x）ex1By=f（x）ex+1Cy=f（x）ex1Dy=f（x）ex+1【考点】52：函数零点的判定定理【分析】根据题意，x0是y=f（x）ex的一个零点，则有f（x0）=，结合函数的奇偶性依次分析选项，验证x0是不是其零点，即可得答案【解答】解：根据题意，x0是y=f（x）ex的一个零点，则有f（x0）=，依次分析选项：对于A、y=f（x）ex1，将x=x0代入可得：y=f（x0）10，不符合题意；对于B、y
17、=f（x）ex+1，将x=x0代入可得：y=f（x0）+1=+1=0，即x0一定是其零点，符合题意，对于C、y=f（x）ex1，将x=x0代入可得：y=f（x0）1=10，不符合题意；对于D、y=f（x）ex+1，将x=x0代入可得：y=f（x0）+1=+10，不符合题意；故选：B12已知F为双曲线C：（a0，b0）的左焦点，直线l经过点F，若点A（a，0），B（0，b）关于直线l对称，则双曲线C的离心率为（）ABCD【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】由题意可得AB为直线l的垂直平分线，运用中点坐标公式和垂直的条件，可得l的方程，令y=0，可得左焦点坐标，结合双曲线的a，b，c的关系和离心
18、率公式，可得e的方程，解方程可得离心率【解答】解：点A（a，0），B（0，b）关于直线l对称，可得AB为直线l的垂直平分线，AB的中点为（，），AB的斜率为，可得直线l的方程为y=（x），令y=0，可得x=a，由题意可得c=a，即有a（a+2c）=b2=c2a2，由e=，可得e22e2=0，解得e=1+（1舍去），故选：C二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13已知复数z=，是z的共轭复数，则的模等于1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出【解答】解：复数z=i，=i，则|=1故答案为：114若关于x的不等式5x2a0
19、的正整数解是1，2，3，则实数a的取值范围是45，80）【考点】74：一元二次不等式的解法【分析】根据不等式5x2a0的正整数解，得出a0，x，解此不等式，求出a的取值范围【解答】解：关于x的不等式5x2a0的正整数解是1，2，3，a0，解不等式得x2，x，34，916，即45a80，实数a的取值范围是45，80）故答案为：45，80）15观察以下三个不等式：（12+22+32）（32+42+52）（13+24+35）2；（72+92+102）（62+82+112）（76+98+1011）2；（2099+3090+20172016）2；若2x+y+z=7，x，y，zR时，则（x+1）2+（y+
20、2）2+（z+1）2的最小值为【考点】F1：归纳推理【分析】由题意，（x+1）2+（y+2）2+（z+1）2（22+12+12）（2x+2+y+2+z+1）2，2x+y+z=7，即可得出结论【解答】解：由题意，（x+1）2+（y+2）2+（z+1）2（22+12+12）（2x+2+y+2+z+1）2，2x+y+z=7，（x+1）2+（y+2）2+（z+1）2，（x+1）2+（y+2）2+（z+1）2的最小值为，故答案为16已知甲、乙、丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返
21、回若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠900公里【考点】F4：进行简单的合情推理【分析】因为要求最远，所以3人同去耗食物，即只一人去，另2人中途返回，3人一起出发12天后两人都只剩24天的食物乙、丙分给甲12+12=24天的食物后独自带12天的食物返回；甲独自前进18天后返回，甲一共走了30天，他们每天向沙漠深处走30千米，据此解答即可【解答】解：因为要求最远，所以3人同去耗水和食物，即只一人去，3人一起出发12天后两人都只剩24天的食物乙、丙分给甲12+12=24天的食物后独自带12天的水和食物返回则甲有的食物：3612+12+12=48（天）甲再走：（4
22、812）2=18（天）30（12+18）=900公里故答案为900三、解答题（共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），直线C2的方程为y=，以O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求+【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程【分析】（1）利用三种方程的转化方法，即可得出结论；（2）利用极坐标方程，结合韦达定理，即可求+【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（为参数），直角坐标方程为（x2）2+（y2）2=1，
23、即x2+y24x4y+7=0，极坐标方程为24cos4sin+7=0直线C2的方程为y=，极坐标方程为tan=；（2）直线C2与曲线C1联立，可得2（2+2）+7=0，设A，B两点对应的极径分别为1，2，则1+2=2+2，12=7，+=18已知函数f（x）=|x|+|x3|（1）求不等式f（）6的解集；（2）若k0且直线y=kx+5k与函数f（x）的图象可以围成一个三角形，求k的取值范围【考点】R5：绝对值不等式的解法【分析】（）分类讨论以去掉绝对值号，即可解关于x的不等式f（）6；（）作出函数的图象，结合图象求解【解答】解：（1）x0，不等式可化为xx+36，x3，3x0；0x6，不等式可化
24、为xx+36，成立；x6，不等式可化为x+x36，x9，6x9；综上所述，不等式的解集为x|3x9；（2）f（x）=|x|+|x3|由题意作图如下，k0且直线y=kx+5k与函数f（x）的图象可以围成一个三角形，由直线过（0，3）可得k=，由直线过（3，3）可得k=，19随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表年龄（单位：岁）15，25）25，35）35，45）45，55）55，65）65，75）频数510151055赞成人数51012721（）若以“年龄”45岁为分界点，
25、由以上统计数据完成下面22列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关； 年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计赞成 不赞成 合计 （）若从年龄在25，35）和55，65）的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行追踪调查，并给予其中3人“红包”奖励，求3人中至少有1人年龄在55，65）的概率参考数据如下：附临界值表：P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2的观测值：k=（其中n=a+b+c+d）【考点】BL：独立性检验【分析】（）根据条件得22
26、列联表，求出K2，与临界值比较，即可得出结论；（）利用列举法确定基本事件，即可得出结论【解答】（）解：根据条件得22列联表：年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数 合计赞成1027 37不赞成10313合 计2030 50根据列联表所给的数据代入公式得到：所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关； （）解：按照分层抽样方法可知：55，65）抽取：（人）；25，35）抽取：（人） 在上述抽取的6人中，年龄在55，65）有2人，年龄25，35）有4人年龄在55，65）记为（A，B）；年龄在25，35）记为（a，b，c，d），则从6人中任取3名的所有情况为：（A，B，a）、（A
27、，B，b）、（A，B，c）、（A，B，d）、（A，a，b）、（A，a，c）、（A，a，d）、（A，b，c）、（A，b，d）、（A，c，d）、（B，a，b）、（B，a，c）、（B，a，d）、（B，b，c）、（B，b，d）、（B，c，d）、（a，b，c）（a，b，d）（a，c，d）（b，c，d）共20种情况，其中至少有一人年龄在55，65）岁情况有：（A，B，a）、（A，B，b）、（A，B，c）、（A，B，d）、（A，a，b）、（A，a，c）、（A，a，d）、（A，b，c）、（A，b，d）、（A，c，d）、（B，a，b）、（B，a，c）、（B，a，d）、（B，b，c）、（B，b，d）、（B，c，d
28、），共16种情况 记至少有一人年龄在55，65）岁为事件A，则至少有一人年龄在55，65）岁之间的概率为 20已知函数f（x）=x（x+a）lnx，其中a为常数（1）当a=1时，求f（x）的极值；（2）若f（x）是区间内的单调函数，求实数a的取值范围【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求出函数的导数，得到或f（1）0，解出即可【解答】解：（1）当a=1时，所以f（x）在区间（0，1）内单调递减，在（1，+）内单调递增于是f（x）有极小值f（1）=0，无极大值（2）易知在区间内单调递增
29、，所以由题意可得在内无解即或f（1）0解得实数a的取值范围是（，11，+）21已知椭圆C： +=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交椭圆于A，B两点，ABF1的周长为8，且AF1F2的面积的最大时，AF1F2为正三角形（1）求椭圆C的方程；（2）若是椭圆C经过原点的弦，MNAB，求证：为定值【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程【分析】（1）运用椭圆的定义，可得4a=8，解得a=2，再由椭圆的对称性可得a=2c，求得b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线l的斜率不存在，求得方程和AB，MN的长，即可得到所求值；讨论直线l的斜率存在，设为y=k（x1），联立
30、椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，设MN的方程为y=kx，代入椭圆方程，求得MN的长，即可得到所求定值【解答】解：（1）由已知A，B在椭圆上，可得|AF1|+|AF2|=|BF1|=|BF2|=2a，又ABF1的周长为8，所以|AF1|+|AF2|+|BF1|=|BF2|=4a=8，即a=2，由椭圆的对称性可得，AF1F2为正三角形当且仅当A为椭圆短轴顶点，则a=2c，即c=1，b2=a2c2=3，则椭圆C的方程为+=1；（2）证明：若直线l的斜率不存在，即l：x=1，求得|AB|=3，|MN|=2，可得=4；若直线l的斜率存在，设直线l：y=k（x1），设A（x1，y1），B（x2，y2），
31、C（x3，y3），D（x4，y4），代入椭圆方程+=1，可得（3+4k2）x28k2x+4k212=0，有x1+x2=，x1x2=，|AB|=，由y=kx代入椭圆方程，可得x=，|MN|=2=4，即有=4综上可得为定值422已知函数f（x）=ex1+ax，aR（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）求证：ex1x；（3）求证：当a2时，x1，+），f（x）+lnxa+1恒成立【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（1）f（x）=ex1+a，分a0，a0 讨论；（2）令a=1，由（1）得f（x）的增区间是（+1，+）单调递减区间是（，1），函数f（x）
32、=ex1x的最小值为f（1）=0，即ex1x；（3）f（x）+lnxa+1恒成立f（x）+lnxa10恒成立令g（x）=f（x）+lnxa1=ex1+a（x1）+lnx1，则g（x）=ex1+a当a2时，g（x）=ex1+ax+a2=2+a0，得g（x）单调递增即可证明【解答】解：（1）f（x）=ex1+a，当a0时，f（x）0，函数f（x）在R上单调递增，当a0时，令f（x）=0，即x=ln（a）+1，f（x）0，得xln（a）+1；f（x）0，得xln（a）+1，所以，当a0时函数f（x）在R上单调递增，当a0时，f（x）的增区间是（ln（a）+1，+）单调递减区间是（，ln（a）+1），（2）证明：令a=1，由（1）得f（x）的增区间是（+1，+）单调递减区间是（，1），函数f（x）=ex1x的最小值为f（1）=0，ex1x0即ex1x；（3）证明：f（x）+lnxa+1恒成立f（x）+lnxa10恒成立令g（x）=f（x）+lnxa1=ex1+a（x1）+lnx1，则g（x）=ex1+a当a2时，g（x）=ex1+ax+a2=2+a0，x1，+）时，g（x）单调递增，所以g（x）g（1）=0，即当a2时，x1，+），f（x）+lnxa+1恒成立2017年6月12日