1、2017年高考数学讲练测【新课标版理】【讲】第四章 三角函数与解三角形第03节 三角函数的图象与性质【课前小测摸底细】1. 【课本典型习题，北师大版第60页A组第6题改编】关于的函数有以下命题：对任意的，都是非奇非偶函数；不存在，使既是奇函数，又是偶函数；存在，使是奇函数；对任意的，都不是偶函数。其中一个假命题的序号是_.因为当=_时，该命题的结论不成立。【答案】，；或者，；或者，2. （2016江苏9）定义在区间上的函数的图像与的图像的交点个数是 【答案】7解析 解法一（图像法）：画出函数图像草图，共个交点解法二（解方程）：即解方程，即.所以或，由当时，；当时，共个根，即共个交点3. 【20
2、16宁夏模拟】已知函数的最小正周期为，且对，有成立，则的一个对称中心坐标是（ ）A. B. C. D.【答案】A4.【基础经典试题】设函数的最小正周期为，且，则（ ）A单调递减 B在单调递减C单调递增 D在单调递增【答案】A【解析】因为的最小正周期为所以，解得；又因为，所以函数是偶函数，所以由于，所以，所以所以，由余弦函数的性质可知，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数.故选A5. 【改编2015四川理】函数 的图像向左平移m（m0）个长度单位后，所得到的图像关于原点对称，则m的最小值是( )A B. C. D. 【答案】D【考点深度剖析】由于近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，所以以后
3、必然会加强对三角函数图象与性质的考查力度，其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性以及图象变换是主要考查对象，难度仍然以中低档为主，重在对基础知识的考查，淡化特殊技巧，强调通解通法，其中对函数 的图象要求会用五点作图法作出，并理解它的性质：并理解它的性质：（）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；（）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；（）函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的个周期。注意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移。【经典例题精析】考点1正弦、余弦、正切
4、函数的图像与性质【1-1】【南昌二中20142015学年度上学期第三次考试】如图，把周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A（0,1），一动点M从A开始逆时针绕圆运动一周，记弧AM=x，直线AM与x轴交于点N（t，0），则函数的图像大致为（ ）【答案】D【解析】试题分析：因为圆周长为1,所以半径，, 此函数的图象可以看作是同函数的图象经过如下变换得来的： ，故选D【1-2】将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则（ ）A. B. C. D.【答案】D.【1-3】已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是【答案】C【解析】由函数的图像可知，且函数的周期大于，因此.易知选.【1
5、-4】函数()的大致图象是（ ）xxoA-xxoB-xxoD-xxoC-1-11-1-11-11【答案】C【解析】，所以为偶函数，当，f(0)=0，故选C【课本回眸】1.三角函数线三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便.以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）。当角为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点，过点作轴交轴于点，根据三角函数的定义：；.我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角的终边不在坐
6、标轴时,以为始点、为终点，规定：当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有正值；其中为点的横坐标.这样,无论那种情况都有：同理,当角的终边不在轴上时,以为始点、为终点，规定：当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有正值；其中为点的横坐标.这样,无论那种情况都有。像这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段.如上图,过点作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与的终边交于点,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段,我们有：我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.
7、2.正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质性质图象定义域值域最值当时，；当时，当时，；当时，既无最大值，也无最小值周期性奇偶性,奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴，既是中心对称又是轴对称图形。对称中心对称轴，既是中心对称又是轴对称图形。对称中心无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形。3.（五点法），先列表，令，求出对应的五个的值和五个值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数的图像.【方法规律技巧】用
8、“五点法”作图应抓住四条：将原函数化为或的形式；求出周期；求出振幅；列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点【新题变式探究】【变式一】【20132014学年第一学期赣州市十二县（市）期中联考】设曲线在点处的切线的斜率为，则函数的部分图象可以为（ ）【答案】A【解析】因为曲线在点处的切线的斜率为，故,是奇函数,图像关于原点对称,且在大于等于零,故选A.【变式二】设常数a使方程在闭区间上恰有三个解，则 . 【答案】考点2 三角函数的定义域与值域【 2-1】函数的定义域是_【答案】【解析】(1)由题意得，即，分别由三角函数线得，【2-2】函数f(x)3sin(2
9、x)在区间上的值域为 ()A. B. C. D. 【答案】B【解析】当x时，2x，sin(2x)，故3sin(2x)，即此时函数f(x)的值域是. 【2-3】函数 的值域是（ ）A B C D【答案】B【解析】，又，所以原式的值域为【2-4】【2015高考天津，理15】已知函数，(I)求最小正周期；(II)求在区间上的最大值和最小值.【答案】(I); (II) ,.【课本回眸】1. 定义域：,的定义域为,的定义域为.2值域：,的值域为,的值域为.3. 最值：当时，；当时，：当时，；当时，：既无最大值，也无最小值【方法规律技巧】1三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(
10、组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解2三角函数值域的不同求法(1)利用sin x和cos x的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成yAsin(x)的形式求值域；(3)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域；(4)利用sin xcos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域【新题变式探究】【变式】【南昌二中20142015学年度上学期第三次考试，理13】函数的值域为 【答案】考点3三角函数的单调性【3-1】【2016安徽省安庆市模拟】若函数在区间上单调递增，且，则的一个可能值是（ ）A B C D【答案】C【解析】因为由函数在区间上单调递增，得由，得所
11、以所以，故选C.【3-2】【2016河南省洛阳市模拟】设函数，则以下结论正确的是（ ）A函数在上单调递减 B函数在上单调递增C函数在上单调递减 D函数在上单调递增【答案】C【解析】，所以函数先减后增；，所以函数先增后减；，所以函数单调递减；，所以函数先减后增；选C.【3-3】已知函数，其中.若在区间上为增函数，则的最大值为（ ）A B1 C D2【答案】B【课本回眸】1.三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，2.复合函数的单调性设，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”
12、函数增减性相反，复合函数为减函数，如下表增增增增减减减增减减减增【方法规律技巧】1. 求形如或 (其中A0，)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：把“ ()”视为一个“整体”；A0(A0为奇函数，则的最小值为_【答案】【解析】ysin(2x)cos(2x)sin，若该函数为奇函数，则k(kZ)，又0，可得的最小值为.【5-2】将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是A B C D【答案】B【解析】已知函数可化为：向左平移个单位长度后得到，图象关于轴对称，即为偶函数，可以得到所以m的最小值为，故选择B【5-3】【2015届辽宁省联考】下
13、列对于函数 的判断正确的是 （ ）A函数 的周期为 B对于 函数 都不可能为偶函数C ,使 D函数 在区间 内单调递增【答案】C【课本回眸】1函数的奇偶性的定义； 对定义域内任意，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数2奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；3为偶函数4若奇函数的定义域包含，则5. 为奇函数，为偶函数，为奇函数.【方法规律技巧】1. 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求
14、；最后比较和的关系，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数。2. 如何判断函数的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下：(1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；(2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；(3)若为奇函数则有.【新题变式探究】【2016届河南郑州一中模拟】若函数在处取得最大值，则（ ）A一定是偶函数 B一定是偶函数 C一定是奇函数 D一定是奇函数 【答案】A考点6三角函数的周期性【6-1】下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减函数的是（ ）A BC D【答案】D【解析】A选项中，的最小正周期是，在区
15、间上先减后增；B选项中，的最小周期是，在区间上增函数；C选项中，的最小正周期为，在区间是减函数；D选项中，的最小周期为，在区间上位减函数，故选D【6-2】在函数、中，最小正周期为的函数的个数为（ ）A1 B2 C3 D4 【答案】B【解析】不是周期函数，的周期为，的周期为，周期为【6-3】设函数 是常数，若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为 （ ）A B C D【答案】C【课本回眸】1. 周期函数的定义一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都有 ，那么函数就叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的周期2.最小正周期对于一个周期函数，如果它所有的周期中存在一个最小的
16、正数 ，那么这个最小的正数 就叫做的最小正周期 2. ,周期为,周期为.【方法规律技巧】1.求三角函数的周期的方法（1）定义法：使得当取定义域内的每一个值时，都有.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：和的最小正周期都是，的周期为.要特别注意两个公式不要弄混；(3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如的周期
17、都是, 但的周期为，而，的周期不变.2.使用周期公式，必须先将解析式化为或的形式；正弦余弦函数的最小正周期是，正切函数的最小正周期公式是；注意一定要注意加绝对值。【新题变式探究】设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为 .【答案】三、易错试题常警惕易错典例：求函数的单调递减区间.易错分析：解答本题易直接由：，得出错误结论，原因是忽略复合函数的单调性,再一点易忽略这个条件.正确解析：把函数变为,由，得，即,故函数的单调减区间为.温馨提醒：(1)三角函数图像与性质是高考考试的重点与难点,掌握三角函数的图像与性质,并能灵活运用,解答此类问题关键是将三角函数变形为处理(2)在解答
18、本题时，存在两个典型错误一是忽略复合函数的单调性，直接由：，得出错误结论；二是易忽略对字母的限止,在解答此类问题时，一定要注意对字母的限止.四、学科素养提升之答题规范训练【典例】(2014哈三中二模)已知f(x)2sin(x)cos(x)2cos2(x)(1)求f(x)的最大值及取到最大值时相应的x的集合；(2)若函数yf(x)m在区间上恰好有两个零点，求实数m的取值范围(1)f(x)sin(2x)cos(2x)cos2xsin2x2sin(2x)，f(x)的最大值为2.由2x2k(kZ)得，xk.取到最大值时x的集合为x|xk，kZ(2)x，2x，若有两个零点，则m【小结】解决三角函数图象与
19、性质的综合问题一般步骤：第一步，确定f(x)的解析式，并化为一角一函的形式由平面向量给出三角函数式，先依据平面向量平行、垂直的条件或数量积的坐标表示求出三角函数式并化简；若直接给出解析式，先根据三角恒等变换的相关公式进行变换，化简成“一角一函”形式；若所给解析式中含有参数，先找出求参数所需要的相关条件求出参数，再化简，也可以先化简，再求参数；若给出图象，由图象五点及特殊点依次确定A，k，.第二步，讨论f(x)的性质求周期的题目先求出周期；求闭区间A上最值的题目，先由xA，求出x的取值范围，再求sin(x)的取值范围，最后求值域(最值)；讨论单调性(求单调区间)的题目，先利用基本函数ysinx，
20、ycosx的单调区间列出关于x的不等式，解之；若讨论f(x)在某区间A上的单调性，先由上面方法求出单调区间，再给参数k赋值，找出区间A上的增减性第三步， 解答其他待求问题第四步，反思检查，查看关键点、易错点和答题规范解题过程中要特别注意各条件的作用及等价转换例如：由平衡点及相邻最高、最低点可知周期；直线ya与图象相交时，相邻两交点的最大值为半周期；对称轴过最高(低)点；f(x1)f(x)f(x2)恒成立，则|x1x2|的最小值为半个周期；向左(右)平移m个单位后与原图象重合，则周期Tmk(kZ，k0)；f(x)在区间上单调(|m|n|)，则是单调区间的子集；f(x)在区间A上至少出现n次波峰(波谷)，即讨论周期
