1、专题18 三角函数的图象和性质（教学案）2017年高考数学（理）一轮复习精品资料1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数ysin x，x的图象中，五个关键点是：(0，0)，(，0)，(2，0)(2)余弦函数ycos x，x的图象中，五个关键点是：(0，1)，(，1)，(2，1)2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数ysin xycos xytan x图象定义域RR值域R周期性
2、22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间递减区间无对称中心(k，0)对称轴方程xkxk无高频考点一三角函数的定义域和值域例1、(1)函数y的定义域为()A.B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)(2)函数f(x)3sin在区间上的值域为()A.B.C.D.(3)函数ycos2xsinx(|x|)的最小值为_答案(1)B(2)B(3)解析(1)由2sinx10，得sinx，所以2kx2k(kZ)故选B.(2)当x时，2x，sin，故3sin，即此时函数f(x)的值域是.(3)令tsinx，|x|，t.yt2t12，t时，ymin.【感悟提升】(1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的
3、三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)三角函数值域的不同求法利用sin x和cos x的值域直接求；把所给的三角函数式变换成yAsin(x)的形式求值域；通过换元，转换成二次函数求值域【变式探究】(1)函数ylg(sinx)的定义域为_(2)函数ysinxcosxsinxcosx的值域为_答案(1)(2)解析(1)要使函数有意义必须有即解得2kx2k(kZ)，函数的定义域为.感悟提升二三角函数的单调性例2、(1)函数f(x)tan的单调递增区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)(2)已知0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是_答案(1)B(
4、2)解析(1)由k2xk(kZ)得，x(kZ)，所以函数f(x)tan的单调递增区间为(kZ)，故选B.【变式探究】(1)已知三角函数解析式求单调区间：求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0，那么一定先借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解【感悟提升】(1)函数f(x)sin的单调减区间为_(2)已知0，函数f(x)cos在上单调递增，则的取值范围是()A
5、.B.C.D.答案(1)，kZ(2)D解析(1)由已知函数为ysin，欲求函数的单调减区间，只需求ysin的单调增区间由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故所给函数的单调减区间为(kZ)高频考点三三角函数的周期性、对称性例3、在函数ycos|2x|，y|cosx|，ycos，ytan中，最小正周期为的所有函数为()ABCD答案A解析ycos|2x|cos2x，最小正周期为；由图象知y|cosx|的最小正周期为；ycos的最小正周期T；ytan的最小正周期T，因此选A.【变式探究】(1)已知函数f(x)sin(x)的最小正周期是，若将f(x)的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数
6、f(x)的图象()A关于直线x对称B关于直线x对称C关于点对称D关于点对称(2)已知函数y2sin的图象关于点P(x0,0)对称，若x0，则x0_.答案(1)B(2)解析(1)由题意知，2；又由f(x)的图象向右平移个单位后得到ysinsin，此时关于原点对称，k，kZ，k，kZ，又|，k1，f(x)sin.当x时，2x，A、C错误；当x时，2x，B正确，D错误(2)由题意可知2x0k，kZ，故x0，kZ，又x0，k0时，x0.高频考点四、由对称性求参数例4、若函数ycos(N*)图象的一个对称中心是，则的最小值为()A1B2C4D8答案B解析由题意知k(kZ)6k2(kZ)，又N*，min2
7、，故选B.【感悟提升】(1)对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断(2)求三角函数周期的方法：利用周期函数的定义利用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.【变式探究】(1)已知函数f(x)2sin(x)，对于任意x都有ff，则f的值为_(2)已知函数f(x)sinxacosx的图象关于直线x对称，则实数a的值为()ABC.D.答案(1)2或2(2)B1.【2016年高考四川理数】为了得到函数的图象
8、，只需把函数的图象上所有的点( )（A）向左平行移动个单位长度 （B）向右平行移动个单位长度（C）向左平行移动个单位长度 （D）向右平行移动个单位长度【答案】D【解析】由题意，为了得到函数，只需把函数的图像上所有点向右移个单位，故选D.2.【2016高考新课标2理数】若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B3.【2016年高考北京理数】将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）A.，的最小值为B. ，的最小值为C.，的最小值为D.，的最小值为【答案】A【解析】由题意得，当s最小时，所对应的点为，此时
9、，故选A.4.【2016高考新课标3理数】函数的图像可由函数的图像至少向右平移_个单位长度得到【答案】5.【2016高考浙江理数】设函数，则的最小正周期（ ）A与b有关，且与c有关 B与b有关，但与c无关C与b无关，且与c无关 D与b无关，但与c有关【答案】B【解析】，其中当时，此时周期是；当时，周期为，而不影响周期故选B6.【2016高考山东理数】函数f（x）=（sin x+cos x）（cos x sin x）的最小正周期是（ ）（A） （B） （C） （D）2【答案】B【解析】,故最小正周期,故选B.【2015高考山东，理3】要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）（A）向左平移个单位
10、 （B）向右平移个单位（C）向左平移个单位 （D）向右平移个单位 【答案】B【解析】因为 ，所以要得到函数 的图象，只需将函数 的图象向右平移 个单位.故选B.【2015高考新课标1，理8】函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为( )(A) (B)(C) (D) 【答案】D【解析】由五点作图知，解得，所以，令，解得，故单调减区间为（，），故选D.（2014辽宁卷）将函数y3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数()A在区间上单调递减B在区间上单调递增C在区间上单调递减D在区间上单调递增【答案】B（2014全国卷）设asin 33，bcos 55，ctan 35，则()Aabc
11、 Bbca Ccba Dcab【答案】C【解析】因为bcos 55sin 35sin 33，所以ba.因为cos 351，所以sin 35.又ctan 35sin 35，所以cb，所以cba.（2014新课标全国卷 如图11，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则yf(x)在上的图像大致为()图11 A BC D【答案】C（2014新课标全国卷 函数f(x)sin(x2)2sin cos(x)的最大值为_【答案】1【解析】函数f(x)sin(x2)2sin cos(
12、x)sin2sin cos(x)sin(x)cos cos(x)sin sin x，故其最大值为1.（2014重庆卷）已知函数f(x)sin(x)的图像关于直线x对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值；(2)若f，求cos的值【解析】(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为，所以(x)的最小正周期T，从而2.又因为f(x)的图像关于直线x对称，所以2k，k0，1，2，.因为，所以.(2)由(1)得sin(2)，所以sin.由得0，所以cos.因此cossin sinsincoscossin.（2013北京卷）“”是“曲线ysin(2x)过坐标原点”的()A充分而不必要条件
13、B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】曲线ysin(2x)过坐标原点，sin 0，k，kZ，故选A.（2013江苏卷）函数y3sin的最小正周期为_【答案】【解析】周期为T.（2013山东卷）函数yxcos xsin x的图像大致为()图12【答案】D【解析】f(x)xcos(x)sin(x)(xcos xsin x)f(x)，yxcos xsin x为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B.当x时，y10，排除选项C；x，y0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则的最小值是()A.B1C.D2答案D解析根据题意平移后函数的解析式为ysin，将代入得si
14、n0，则2k，kZ，且0，故的最小值为2.4关于函数ytan，下列说法正确的是()A是奇函数B在区间上单调递减C.为其图象的一个对称中心D最小正周期为答案C5函数ycos2xsin2x，xR的值域是()AB，1 CD答案A解析ycos2xsin2xcos2x.cos2x，y6函数f(x)sin(2x)的单调增区间是_答案(kZ)解析由f(x)sin(2x)sin2x，2k2x2k (kZ)得kxk(kZ)7函数ytan的图象与x轴交点的坐标是_答案(kZ)解析由2xk(kZ)得，x(kZ)函数ytan的图象与x轴交点的坐标是(kZ)8设函数f(x)3sin(x)，若存在这样的实数x1，x2，对
15、任意的xR，都有f(x1)f(x)f(x2)成立，则|x1x2|的最小值为_答案2解析f(x)3sin(x)的周期T24，f(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值，故|x1x2|的最小值为2.9已知函数f(x)cosx(sinxcosx).(1)若0，且sin，求f()的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间解(1)因为0，sin，所以cos.所以f().(2)因为f(x)sinxcosxcos2xsin2xsin2xcos2xsin，所以最小正周期T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为，kZ.10已知函数f(x)2sin(2x)(|0，|0，函数f(x)2asin2ab，当x时，5f(x)1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)f且lgg(x)0，求g(x)的单调区间解(1)x，2x.sin，2asinf(x)，又5f(x)1，b5,3ab1，因此a2，b5.(2)由(1)得，f(x)4sin1，g(x)f4sin14sin1，又由lgg(x)0，得g(x)1，4sin11，sin，2k2x2k，kZ，其中当2k2x2k，kZ时，g(x)单调递增，即kxk，kZ，g(x)的单调增区间为，kZ.又当2k2x2k，kZ时，g(x)单调递减，即kxk，kZ.g(x)的单调减区间为，kZ.