1、第二课时正、余弦定理在三角形中的应用 选题明细表知识点、方法题号三角形面积的计算1,2,3,5平面图形中的有关计算6,9,10三角恒等式的证明7三角形中的综合问题4,8,11,12基础巩固1.在ABC中,若a=7,b=3,c=8,则ABC的面积等于(D)(A)12(B)(C)28(D)6解析:由余弦定理可得cos A=,所以A=60,所以SABC=bcsin A=6.故选D.2.已知ABC的面积为,且b=2,c=,则(D)(A)A=30 (B)A=60(C)A=30或150(D)A=60或120解析:因为S=bcsin A=,所以2sin A=,所以sin A=,所以A=60或120.故选D.
2、3.三角形的一边长为14,这条边所对的角为60,另两边之比为85,则这个三角形的面积为(A)(A)40(B)20(C)40(D)20解析:设另两边长为8x,5x,则cos 60=,解得x=2或x=-2(舍去),故两边长分别为16与10,所以三角形的面积是1610sin 60=40.故选A.4.(2019太原高二检测)在ABC中,=a,=b,=c,且ab=bc =ca,则ABC的形状是(C)(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等边三角形(D)无法判断解析:设ABC的三边分别为a,b,c,根据向量的数量积得-abcos C=-bccos A=-cacos B.由余弦定理得=,所以a=b=c,即A
3、BC为等边三角形.故选C.5.在ABC中,BC=2,B=,当ABC的面积等于时,sin C等于(B)(A)(B)(C)(D)解析:由三角形的面积公式S=ABBCsin =,易求得AB=1,由余弦定理得AC=,再由三角形的面积公式S=ACBCsin C=,即可得出sin C=.故选B.6.在ABC中,已知B=,D是BC边上一点,AD=10,AC=14,DC=6,则AB的长为.解析:在ADC中,因为AD=10,AC=14,DC=6,所以cosADC=-.又因为ADC(0,),所以ADC=,所以ADB=.在ABD中,由正弦定理得=,所以AB=5.答案:57.在ABC中,若角A,B,C的对边分别是a,
4、b,c,求证:-=-.证明:左边=-=-=-+=-+=-=右边(R为ABC外接圆半径),所以等式成立.能力提升8.已知锐角ABC中,|=4,|=1,ABC的面积为,则的值为(A)(A)2(B)-2(C)4(D)-4解析:由题意SABC=|sin A=,得sin A=,又ABC为锐角三角形,所以cos A=,所以=|cos A=2.故选A.9.如图,四边形ABCD中,B=C=120,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积等于(B)(A)(B)5(C)6(D)7解析:连接BD.由已知可得DBC=30,ABD=90,由余弦定理知,BD2=22+22-222cos 120=12,解得BD=2,所以
5、S四边形ABCD=SABD+SBCD=42+22sin 120=5.故选B.10.如图,在ABC中,已知点D在BC边上,ADAC,sinBAC=, AB=3,AD=3,则BD的长为.解析:sinBAC=sin(90+BAD)=cosBAD=,在ABD中,有BD2=AB2+AD2-2ABADcosBAD,所以BD2=18+9-233=3,所以BD=.答案:11.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos B=,b=2.(1)当A=30时,求a的值;(2)当ABC的面积为3时,求a+c的值.解:(1)因为cos B=,所以sin B=.由正弦定理=可得=,所以a=.(2)因为ABC
6、的面积S=acsin B,sin B=,所以ac=3,ac=10.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,即4=a2+c2-ac=a2+c2-16,即a2+c2=20.所以(a+c)2-2ac=20,(a+c)2=40.因为a+c0,所以a+c=2.探究创新12.(2019沈阳高二期末)在ABC中,(a-c)(sin A+sin C)=(a-b) sin B.(1)求C;(2)若ABC的外接圆半径为2,试求该三角形面积的最大值.解:(1)由(a-c)(sin A+sin C)=(a-b)sin B,得(a-c)(a+c)=(a-b)b,所以a2-c2=ab-b2,所以a2+b2-c2=ab,所以cos C=.因为0C180,所以C=60.(2)因为ABC的外接圆半径为2,所以=22=4,故a=4sin A,b=4sin B,所以S=absin C=ab=4sin Asin B=4sin Asin(120-A)=4sin A(sin 120cos A-cos 120sin A)=6sin Acos A+2sin2A=3sin 2A-cos 2A+=2sin(2A-30)+,当2A-30=90,即A=60时,Smax=3.