1、2015-2016学年湖北省武汉市为明高中高三（上）12月月考数学试卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1“3a5”是“方程表示椭圆”的（）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要2已知函数f（x）=的值域为0，+），则正实数a等于（）A1B2C3D43下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为1Ap2，p3Bp1，p2Cp2，p4Dp3，p44设F1、F2是椭圆E： +=1（ab0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（）A
2、BCD5已知y=g（x）的图象是由y=coswx（w0）的图象向左平移个单位得到，g（x）是g（x）的导函数，且，则w的最小值是（）A2B3C4D66若用如图的程序框图求数列的前100项和，则赋值框和判断框中可分别填入（）AS=S+，i100？BS=S+，i101？CS=S+，i100？DS=S+，i101？7已知平面区域D：，（a，b）D，a2b0的概率是（）ABCD8三棱锥PABC的底面ABC是边长为1的正三角形，顶点P到底面的距离为，点P，A，B，C均在半径为1的同一球面上，A，B，C为定点，则动点P的轨迹所围成的平面区域的面积是（）ABCD9如图，点P是圆C：x2+（y2）2=1上的一
3、个动点，点Q是直线l：xy=0上的一个动点，O为坐标原点，则向量在向量上的射影的数量的最大值是（）A3BCD110某几何体中的一条线段长为，在该几何体的正视图中，这条线段的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（）ABC4D11如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，ll1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点设弧的长为x（0x），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（）ABCD12定义：如果函数f（x）在a，b上存在x1，x2（ax1x
4、2b），满足f（x1）=，f（x2）=，则称数x1，x2为a，b上的“对望数”，函数f（x）为a，b上的“对望函数”已知函数f（x）=x3x2+m是0m上的“对望函数”，则实数m的取值范围是（）A（1，）B（，3）C（1，2）（2，3）D（1，）（，3）二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量，夹角为45，且|=1，|2|=，则|=14点P是函数图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为，则的取值范围是15已知A1，A2是椭圆长轴的两个端点，B是它短轴的一个端点，如果与的夹角不小于，则该椭圆的离心率的取值范围是16数列an满足an+1+（1）nan=2n1，则an的前64项和为
5、三解答题：解答时需写出必要的文字说明和推理过程，本大题共5小题，17已知向量=（cos，1），=（sin，cos2，设函数f（x）=（）求f（x）在区间0，上的零点；（）在ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且满足b2=ac，求f（B）的取值范围18某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、，且各轮问题能否正确回答互不影响（）求该选手被淘汰的概率；（）该选手在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望19如图，正四棱锥SABCD中，SA=AB，E、F、G分别为BC、SC、DC
6、的中点，设P为线段FG上任意一点（l）求证：EPAC；（2）当直线BP与平面EFG所成的角取得最大值时，求二面角PBDC的大小20已知点M为椭圆C：3x2+4y2=12的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于点M），且满足直线MA与直线MB斜率之积为（）求椭圆C的离心率及焦点坐标；（）试判断直线AB是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由21已知f（x）=xlnx，g（x）=x2+（）设F（x）=f（x）+g（x），求函数F（x）的图象在x=1处的切线方程；（）求证：ef（x）g（x）对任意的x（0，+）恒成立四.选做题.选修4-1几何证明选讲22如图，CD为ABC外接圆的切线，A
7、B的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAE=DCAF，B，E，F，C四点共圆（）证明：CA是ABC外接圆的直径；（）若DB=BE=EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值选修4-4；坐标系与参数方程23已知动点P、Q都在曲线（为参数）上，对应参数分别为=与=2（02），M为PQ的中点（1）求M的轨迹的参数方程；（2）将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点选修4-5；不等式选讲24设a，b，c 均为正数，且a+b+c=1，证明：（1）ab+bc+ca；（2）+12015-2016学年湖北省武汉市为明高中高三（上）12月
8、月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1“3a5”是“方程表示椭圆”的（）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要【考点】椭圆的简单性质；必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据题意，分2步进行分析：对于方程，若其表示椭圆，依据椭圆的标准方程，解可得a的取值范围，分析可得3a5”是“方程表示椭圆”的必要条件；分析当3a5，方程不一定表示椭圆，即3a5”是“方程表示椭圆”的不充分条件；综合由充分、必要条件的定义分析可得答案【解答】解：根据题意，对于方程，若其表示椭圆，则有a30，5a0，且a35a，解可得3a5，且a4；故3a5”
9、是“方程表示椭圆”的必要条件；方程中，若3a5，则a30，5a0，当a=4时，a3=5a，方程表示圆，当a4时，a35a，方程表示椭圆，则3a5”是“方程表示椭圆”的不充分条件；综合可得，3a5”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件；故选：B2已知函数f（x）=的值域为0，+），则正实数a等于（）A1B2C3D4【考点】对数函数的值域与最值【分析】由题意函数f（x）=的值域为0，+），对于其中x22x+a=（x1）2+a1可以取到x=1，此时y=0，代入即可求解【解答】解：函数f（x）=的值域为0，+），x22x+a=（x1）2+a1a1，即当x=1时，f（x）=log21=0，a1=1，则a=
10、2，故选B3下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为1Ap2，p3Bp1，p2Cp2，p4Dp3，p4【考点】复数的基本概念；命题的真假判断与应用【分析】由z=1i，知，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为1，由此能求出结果【解答】解：z=1i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为1，故选C4设F1、F2是椭圆E： +=1（ab0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】利用F2PF1是底角为30的等腰三
11、角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率【解答】解：F2PF1是底角为30的等腰三角形，|PF2|=|F2F1|P为直线x=上一点故选C5已知y=g（x）的图象是由y=coswx（w0）的图象向左平移个单位得到，g（x）是g（x）的导函数，且，则w的最小值是（）A2B3C4D6【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，求出g（x），再利用g（x）是g（x）的导函数，且，建立关系求解w的最小值【解答】解：由题意：y=coswx（w0）向左平移个单位，得到：y=cosw（x+）=cos（wx+）
12、=g（x）；那么：g（x）=sin（wx+）（wx+）=wsin（wx+）；，可得：w+=k，kZ，解得：w=2k；w0当k=1时，w=2，所以w的最小值为2故选A6若用如图的程序框图求数列的前100项和，则赋值框和判断框中可分别填入（）AS=S+，i100？BS=S+，i101？CS=S+，i100？DS=S+，i101？【考点】程序框图【分析】程序框图的功能是求数列的前100项和，数列的通项应为的形式，从而可得赋值框内应填的内容，又最后一次进行循环时i的值为100，结合框图即可得解判断框中的条件【解答】解：程序框图的功能是求数列的前100项和S=+的运算，数列的通项应为的形式，则赋值框内应
13、填：S=S+，又由框图可知，计数变量i的初值为1，步长值为1，故最后一次进行循环时i的值为100，即当i101时，满足判断框中的条件，退出循环，故判断框中的条件应为i101故选：B7已知平面区域D：，（a，b）D，a2b0的概率是（）ABCD【考点】几何概型【分析】分别计算事件A的区域面积及平面区域 D的面积，代入几何概率的计算公式进行计算可求【解答】解：由线性规划的知识可得，平面区域D即为图中的ABC的区域，且A（1，1） B（1，4） C（4，1）而a2b0的平面区域即为图中的DCE区域，D（） E（2，1）8三棱锥PABC的底面ABC是边长为1的正三角形，顶点P到底面的距离为，点P，A，
14、B，C均在半径为1的同一球面上，A，B，C为定点，则动点P的轨迹所围成的平面区域的面积是（）ABCD【考点】轨迹方程【分析】求出球心到平面ABC的距离，利用三棱锥PABC的高为，可得球心到动点P的轨迹所围成的平面区域的距离，即可求出圆的半径，从而可得动点P的轨迹所围成的平面区域的面积【解答】解：AB=AC=BC=1，ABC的外接圆的半径为，球的半径为1，球心到平面ABC的距离为=三棱锥PABC的高为，球心到动点P的轨迹所围成的平面区域的距离为，动点P的轨迹所围成的平面区域的圆的半径为=，动点P的轨迹所围成的平面区域的面积是=故选：D9如图，点P是圆C：x2+（y2）2=1上的一个动点，点Q是直
15、线l：xy=0上的一个动点，O为坐标原点，则向量在向量上的射影的数量的最大值是（）A3BCD1【考点】向量的投影【分析】设夹角为，则向量上的投影等于cos=分析出应为锐角，设P（x，y），不妨取Q（1，1），转化为求x+y的最小值问题，可以用圆的参数方程或线性规划的方法求解【解答】解：设夹角为，则向量上的投影等于cos，若取得最大值则首先为锐角设P（x，y），不妨取Q（1，1），则根据向量数量积的运算得出cos=由于P是圆上的一个动点，设将代入得出cos=（cos+sin+），而cos+sin的最大值为，所以cos=3故选A10某几何体中的一条线段长为，在该几何体的正视图中，这条线段的投影是长
16、为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（）ABC4D【考点】简单空间图形的三视图【分析】设棱长最长的线段是长方体的对角线，由题意所成长方体的三度，求出三度与面对角线的关系，利用基本不等式即可求出a+b的最大值【解答】解：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算如图设长方体的长宽高分别为m，n，k，由题意得， n=1，所以（a21）+（b21）=6a2+b2=8，（a+b）2=a2+2ab+b2=8+2ab8+a2+b2=16a+b4当且仅当a=b=2时取等号故选C11如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l
17、l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点设弧的长为x（0x），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】由题意可知：随着l从l1平行移动到l2，y=EB+BC+CD越来越大，考察几个特殊的情况，计算出相应的函数值y，结合考查选项可得答案【解答】解：当x=0时，y=EB+BC+CD=BC=；当x=时，此时y=AB+BC+CA=3=2；当x=时，FOG=，三角形OFG为正三角形，此时AM=OH=，在正AED中，AE=ED=DA=1，y=EB+BC+CD=AB+BC+CA（AE+AD）=321=22如
18、图又当x=时，图中y0=+（2）=22故当x=时，对应的点（x，y）在图中红色连线段的下方，对照选项，D正确故选D12定义：如果函数f（x）在a，b上存在x1，x2（ax1x2b），满足f（x1）=，f（x2）=，则称数x1，x2为a，b上的“对望数”，函数f（x）为a，b上的“对望函数”已知函数f（x）=x3x2+m是0m上的“对望函数”，则实数m的取值范围是（）A（1，）B（，3）C（1，2）（2，3）D（1，）（，3）【考点】导数的运算；二次函数的性质【分析】由新定义可知f（x1）=f（x2）=m2m，即方程x22x=m2m在区间0，m有两个解，利用二次函数的性质可知实数m的取值范围【解
19、答】解：由题意可知，在区间0，m存在x1，x2（0x1x2m），满足f（x1）=m2m，f（x）=x3x2+mf（x）=x22x，方程x22x=m2m在区间0，m有两个解令g（x）=x22xm2+m，（0xm）则，解得m3，实数a的取值范围是（，3）故选：B二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量，夹角为45，且|=1，|2|=，则|=【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用数量积的性质即可得出【解答】解：向量，夹角为45，且|=1，|2|=，化为=10，化为，解得|=故答案为：14点P是函数图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为，则的取值范围是【考点】利用导数研究曲线上某
20、点切线方程【分析】f（x）=x21，设P（x0，y0），x0可得tan=1的范围，又0，），即可得出的范围【解答】解：f（x）=x21，设P（x0，y0），x0tan=11，1，又0，），故答案为：15已知A1，A2是椭圆长轴的两个端点，B是它短轴的一个端点，如果与的夹角不小于，则该椭圆的离心率的取值范围是【考点】椭圆的简单性质【分析】利用向量夹角公式、三角函数的单调性即可得出【解答】解：取A1（a，0），A2（a，0），B（0，b）=（a，b），=（a，b）与的夹角不小于，=，化为：a23b2e=，又0e1e故答案为：16数列an满足an+1+（1）nan=2n1，则an的前64项和为208
21、0【考点】数列递推式【分析】由已知数列递推式可得，同理可得，构造数列bn=a4n+a4n1+a4n2+a4n3，可知数列bn为等差数列，把an的前64项和转化为数列bn的前16项和得答案【解答】解：由an+1+（1）nan=2n1，得：=（1）n+1（1）nan+2n1+2n+1=，同理：，于是，令bn=a4n+a4n1+a4n2+a4n3，则bn+1=bn+16，b1=10，于是，bn=16n6，前16项和为故答案为：2080三解答题：解答时需写出必要的文字说明和推理过程，本大题共5小题，17已知向量=（cos，1），=（sin，cos2，设函数f（x）=（）求f（x）在区间0，上的零点；（
22、）在ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且满足b2=ac，求f（B）的取值范围【考点】余弦定理的应用；平面向量的综合题【分析】（）利用向量的数量积公式，结合二倍角、辅助角公式化简函数，再求f（x）在区间0，上的零点；（）利用余弦定理，结合b2=ac，基本不等式，可得B的范围，再求f（B）的取值范围【解答】解：（）因为向量，函数所以=由f（x）=0，得，或x=+2k，kZ又x0，或所以f（x）在区间0，上的零点是、（）在ABC中，b2=ac，所以由且B（0，），得，从而，f（B）=sin（B）（1，018某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘
23、汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、，且各轮问题能否正确回答互不影响（）求该选手被淘汰的概率；（）该选手在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【分析】（）求该选手被淘汰的概率可先求其对立事件该选手不被淘汰，即三轮都答对的概率；（）的可能值为1，2，3，=i表示前i1轮均答对问题，而第i次答错，利用独立事件求概率即可【解答】解：（）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai（i=1，2，3），则，该选手被淘汰的概率=（）的可能值为1，2，3.，=，P（=3）=P（A1A2）=P（A1）P（A2
24、）=的分布列为 1 2 3 P=19如图，正四棱锥SABCD中，SA=AB，E、F、G分别为BC、SC、DC的中点，设P为线段FG上任意一点（l）求证：EPAC；（2）当直线BP与平面EFG所成的角取得最大值时，求二面角PBDC的大小【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）设AC交BD于O，则SO底面ABCD，从而SOAC，又BDAC，从而AC平面SBF，进而ACSO，由此能证明PEAC（2）设AB=2，建立空间直角坐标系，求出面EFG的法向量，设BP与平面EFG所成角为，由向量法能求出点P在线段FG上，=1时sin取最大值，由此能求出二面角PBDC的大小【解
25、答】解：（1）证明：设AC交BD于O，SABCD为正四棱锥，SO底面ABCD，SOAC，又BDAC，SOBD=O，AC平面SBF，ACSO，SDFG，ACGF，又ACGE，AC平面GEF，又PE面GEF，PEAC（2）解：设AB=2，如图建立空间直角坐标系，则G（0，1，0），E（1，0，0），C（1，1，0），S（0，0，），F（，），B（1，1，0），设，故点，设面EFG的法向量为=（a，b，c），令a=1，得=（1，1，0）设BP与平面EFG所成角为，则=点P在线段FG上，01，即=1时sin取最大值此时点P与点F重合设二面角PBDC的大小为点P到平面ABCD的距离为，点P到BD的距离为
26、1则二面角PBDC的大小为4520已知点M为椭圆C：3x2+4y2=12的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于点M），且满足直线MA与直线MB斜率之积为（）求椭圆C的离心率及焦点坐标；（）试判断直线AB是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）椭圆C的方程可化为，则a=2，b=，c=1即可得出离心率与焦点坐标；（）由题意，直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为y=kx+m（k0），A（x1，y1），B（x2，y2）与椭圆方程联立可得：（3+4k2）x2+8kmx+4m212=00由于直线MA与直线MB斜率之积为，可得=，把根与系数的关系
27、代入可得：m22km8k2=0，解得m=4k或m=2k分别讨论解出即可【解答】解：（）椭圆C的方程可化为，则a=2，b=，c=1故离心率e=，焦点坐标为（1，0），（1，0）（）由题意，直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为y=kx+m（k0），A（x1，y1），B（x2，y2）联立得（3+4k2）x2+8kmx+4m212=0=64k2m24（3+4k2）（4m212）=48（4k2m2+3）0x1+x2=，x1x2=，直线MA与直线MB斜率之积为=，4（kx1+m）（kx2+m）=（x12）（x22）化简得（4k21）x1x2+（4km+2）（x1+x2）+4m24=0，+4m24=0，
28、化简得m22km8k2=0，解得m=4k或m=2k当m=4k时，直线AB方程为y=k（x+4），过定点（4，0）m=4k代入判别式大于零中，解得（k0）当m=2k时，直线AB的方程为y=k（x2），过定点（2，0），不符合题意故直线AB过定点（4，0）21已知f（x）=xlnx，g（x）=x2+（）设F（x）=f（x）+g（x），求函数F（x）的图象在x=1处的切线方程；（）求证：ef（x）g（x）对任意的x（0，+）恒成立【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）设F（x）=f（x）+g（x），求出切线斜率、切点坐标，即可求函数F（x）的图象在x=1
29、处的切线方程；（）令，证明G（x）在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增，G（x）min=G（1）=0，即可证明：ef（x）g（x）对任意的x（0，+）恒成立【解答】（）解：，F（x）=1+lnx+x，则F（1）=1，F（1）=2，F（x）图象在x=1处的切线方程为y1=2（x1）即2xy1=0（）证明：令，G（x）=exlnx（1+lnx）x则x1与lnx同号（x1）lnx0，e（x1）lnx10G（x）0，G（x）在x（0，+）单调递增 又G（1）=0，当0x1时，G（x）0；当x1时，G（x）0，G（x）在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增，G（x）min=G（1）=0G（x）
30、0即ef（x）g（x）对任意的x（0，+）恒成立四.选做题.选修4-1几何证明选讲22如图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAE=DCAF，B，E，F，C四点共圆（）证明：CA是ABC外接圆的直径；（）若DB=BE=EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值【考点】与圆有关的比例线段【分析】（I）由已知与圆的切线的性质可得CDBAEF，DBC=EFA利用B，E，F，C四点共圆，可得CFE=DBC，EFA=CFE=90，即可证明（II）连接CE，由于CBE=90，可得过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB=
31、BE，有CE=DC，又BC2DBBA=2DB2，可得CA2=4DB2+BC2=6DB2，而DC2=DBDA=3DB2，即可得出【解答】（I）证明：CD为ABC外接圆的切线，BCD=A，由题设知： =，故CDBAEF，DBC=EFAB，E，F，C四点共圆，CFE=DBC，故EFA=CFE=90CBA=90，因此CA是ABC外接圆的直径（2）解：连接CE，CBE=90，过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB=BE，有CE=DC，又BC2DBBA=2DB2，CA2=4DB2+BC2=6DB2，而DC2=DBDA=3DB2，故B，E，F，C四点的圆的面积与ABC的外接圆面积的比值为选修4-4；坐
32、标系与参数方程23已知动点P、Q都在曲线（为参数）上，对应参数分别为=与=2（02），M为PQ的中点（1）求M的轨迹的参数方程；（2）将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点【考点】参数方程化成普通方程【分析】（1）利用参数方程与中点坐标公式即可得出；（2）利用两点之间的距离公式、三角函数的单调性即可得出【解答】解：（1）依题意有P（2cos，2sin），Q（2cos2，2sin2），因此M（cos+cos2，sin+sin2）M的轨迹的参数方程为为参数，02）（2）M点到坐标原点的距离d=（02）当=时，d=0，故M的轨迹过坐标原点选修4-5；不等式选讲24设a，b，
33、c 均为正数，且a+b+c=1，证明：（1）ab+bc+ca；（2）+1【考点】不等式的证明【分析】（1）a2+b22ab，b2+c22bc，c2+a22ca，由累加法，再由三个数的完全平方公式，即可得证；（2）+b2a， +c2b， +a2c，运用累加法和条件a+b+c=1，即可得证【解答】证明：（1）由a2+b22ab，b2+c22bc，c2+a22ca，可得a2+b2+c2ab+bc+ca，（当且仅当a=b=c取得等号）由题设可得（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，即有3（ab+bc+ca）1，则ab+bc+ca；（2）+b2a， +c2b， +a2c，故+（a+b+c）2（a+b+c），即有+a+b+c（当且仅当a=b=c取得等号）故+12016年12月11日