1、 阿 基 米 德（，公 元 前 年 公 元 前 年）出 生 在 叙 拉 古 的 贵 族 家 庭，父 亲 是 位 天 文 学 家 在 父 亲 的 影响 下，阿 基 米 德 从 小 热 爱 学 习，善 于 思 考，喜 欢 辩 论 长 大 后 飘 洋 过 海 到 埃 及 的 亚 历 山 大 求 学 他 向 当 时 著 名 的 科 学 家 欧几 里 德 的 学 生 柯 农 学 习 哲 学、数 学、天 文 学、物 理 学 等 知 识，最 后 通 古 博 今，继 承 了 丰 富 的 希 腊 文 化 遗 产 回 到 叙 拉 古 后，他 坚 持 和 亚 历 山 大 的 学 者 们 保 持 联 系，交 流 科
2、学 研 究 成 果 等 腰 三 角 形 与 直 角 三 角 形内 容 清 单能 力 要 求等 腰 三 角 形 的 有 关 概 念掌 握 等 腰 三 角 形 的 概 念 并 能 做 出 判 断 等 腰 三 角 形 的 性 质 和 判 定会 利 用 等 边 对 等 角 及 等 角 对 等 边 来 进 行 证 明 直 角 三 角 形 的 有 关 概 念掌 握 直 角 三 角 形 的 概 念 并 能 做 出 判 断 直 角 三 角 形 的 性 质 和 判 定会 利 用 直 角 三 角 形 的 性 质 与 判 定 解 决 有 关 直 角 三 角形 的 相 关 问 题 直 角 三 角 形 全 等 的 判
3、定会 利 用 及 其 他 方 法 来 证 明 直 角 三 角 形 全 等 年 福 建 省 中 考 真 题 演 练一、选 择 题 （三 明）如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，点 犃 在 第 一 象 限，点 犘 在 轴 上，若 以 犘、犗、犃 为 顶 点 的 三 角 形 是 等 腰 三 角 形，则满 足 条 件 的 点 犘 共 有（）（第 题）个 个 个 个 （莆 田）等 腰 三 角 形 的 两条 边 长 分 别 为 ，那 么 它 的 周长 为（）或 不 能 确 定 （宁 德）如 图 所 示，如 果 将 矩 形 纸 沿 虚 线 对 折 后，沿 虚线 剪 开，剪 出 一 个 直 角 三 角
4、 形，展 开 后 得 到 一 个 等 腰 三 角形，则 展 开 后 三 角 形 的 周 长 是（）（第 题）槡 槡 二、填 空 题 （泉 州）如 图，在 犃 犅 犆 中，犃 犅 犃 犆，犅 ，则 犃 （第 题）（第 题）（厦 门）如 图，以 第 个 等 腰 直 角 三 角 形 的 斜 边 长 作 为第 个 等 腰 直 角 三 角 形 的 腰，以 第 个 等 腰 直 角 三 角 形 的 斜边 长 作 为 第 个 等 腰 直 角 三 角 形 的 腰，依 次 类 推，若 第 个 等腰 直 角 三 角 形 的 斜 边 长 为 槡 厘 米，则 第 个 等 腰 直 角 三 角形 的 斜 边 长 为 厘 米
5、 三、解 答 题 （漳 州）如 图，直 线 狔 狓 与 狓 轴、狔 轴 分 别 交 于犃、犅 两 点，将 犗 犃 犅绕 点 犗逆 时 针 方 向 旋 转 后 得 到 犗 犆 犇（）填 空：点 犆 的 坐 标 是（，），点 犇 的 坐 标是（，）；（）设 直 线 犆 犇 与 犃 犅 交 于 点 犕，求 线 段 犅 犕 的 长；（）在 狔 轴 上 是 否 存 在 点 犘，使 得 犅 犕 犘 是 等 腰 三 角 形？若存 在，请 求 出 所 有 满 足 条 件 的 点 犘 的 坐 标；若 不 存 在，请说 明 理 由（第 题）他 继 承 了 欧 几 里 得 证 明 定 理 时 的 严 谨 性，但 他
6、 的 才 智 和 成 就 却 远 远 高 于 欧 几 里 德 他 把 数 学 研 究 和 力 学、机 械 学 紧紧 地 联 在 一 起，用 数 学 研 究 力 学 和 其 他 实 际 问 题 保 护 叙 拉 古 战 役 中 的 机 械 巨 手 和 投 石 机 等 就 是 最 生 动 的 一 个 例 子，有力 地 证 明 了“知 识 就 是 力 量”的 真 理 阿 基 米 德 在 他 的 著 作 论 杠 杆 中 详 细 地 论 述 了 杠 杆 的 原 理 有 一 次 叙 拉 古 国 王 要求 阿 基 米 德 移 动 载 满 重 物 和 乘 客 的 一 艘 新 三 桅 船 （厦 门）在 平 面 直
7、 角 坐 标 系 中，点 犗 是 坐 标 原 点，点 犘（犿，）（犿 ）连 结 犗 犘，将 线 段 犗 犘 绕 点 犗 按 逆 时 针 方 向 旋 转 得 到 线 段 犗 犕，且 点 犕 是 抛 物 线 狔 犪狓 犫狓 犮 的 顶 点（）若 犿 ，抛 物 线 狔 犪狓 犫狓 犮 经 过 点（，），当 狓 时，求 狔 的 取 值 范 围；（）已 知 点 犃（，），若 抛 物 线 狔 犪狓 犫狓 犮 与 狔 轴 交 于点 犅，直 线 犃 犅 与 抛 物 线 狔 犪狓 犫狓 犮 有 且 只 有 一 个 交点，请 判 断 犅 犗 犕 的 形 状，并 说 明 理 由 （晋 江）如 图，在 等 边 犃 犅
8、 犆 中，线 段 犃 犕 为 边 犅 犆 上 的中 线 动 点 犇 在 直 线獉 獉犃 犕上 时，以 犆 犇 为 一 边 且 在 犆 犇的 下方 作 等 边 犆 犇 犈，连 结 犅 犈（）填 空：犃 犆 犅 度；（）当 点 犇 在 线 段獉 獉犃 犕 上（点 犇 不 运 动 到 点 犃）时，试 求 出 犃 犇犅 犈的 值；（）若 犃 犅 ，以 点 犆 为 圆 心，以 为 半 径 作 犆 与 直 线 犅 犈相 交 于 点 犘、犙 两 点，在 点 犇 运 动 的 过 程 中（点 犇 与 点 犃重 合 除 外），试 求 犘 犙 的 长（）（）（第 题）年 全 国 中 考 真 题 演 练一、选 择 题
9、 （四 川 广 安）已 知 等 腰 犃 犅 犆 中，犃 犇 犅 犆 于 点 犇，且犃 犇 犅 犆，则 犃 犅 犆 底 角 的 度 数 为（）或 （安 徽）在 一 张 直 角 三 角 形 纸 片 的 两 直 角 边 上 各 取 一点，分 别 沿 斜 边 中 点 与 这 两 点 的 连 线 剪 去 两 个 三 角 形，剩 下 的部 分 是 如 图 所 示 的 直 角 梯 形，其 中 三 边 长 分 别 为 ，则 原直 角 三 角 形 纸 片 的 斜 边 长 是（）槡 或 槡 或 槡（第 题）（第 题）（贵 州 铜 仁）如 图，在 犃 犅 犆 中，犃 犅 犆 和 犃 犆 犅 的 平分 线 交 于 点
10、 犈，过 点 犈 作 犕 犖 犅 犆 交 犃 犅于 点 犕，交 犃 犆 于点 犖，若 犅 犕 犆 犖 ，则 线 段 犕 犖 的 长 为（）（山 东 泰 安）如 图，在 矩 形 犃 犅 犆 犇 中，犃 犅 ，犅 犆 ，对角 线 犃 犆 的 垂 直 平 分 线 分 别 交 犃 犇、犃 犆 于 点 犈、犗，连 结 犆 犈，则 犆 犈 的 长 为（）（第 题）（第 题）（山 东 枣 庄）如 图，把 一 块 含 有 角 的 直 角 三 角 板 的 两个 顶 点 放 在 直 尺 的 对 边 上 如 果 ，那 么 的 度 数 是（）（浙 江 舟 山）如 图，边 长 为 的 等 边 犃 犅 犆 中，犇 犈 为
11、 中位 线，则 四 边 形 犅 犆 犈 犇 的 面 积 为（）槡 槡 槡 槡（第 题）（第 题）（台 湾）如 图，在 犃 犅 犆 中，以 犅 为 圆 心，犅 犆 为 半 径 画弧，分 别 交 犃 犆、犃 犅 于 犇、犈 两 点，并 连 结 犅 犇、犇 犈，若 犃 ，犃 犅 犃 犆，则 犅 犇 犈 的 度 数 为（）（山 东 济 宁）如 果 等 腰 三 角 形 两 边 长 分 别 是 和 ，那 么 此 三 角 形 的 周 长 是（）或 阿 基 米 德 叫 工 匠 在 船 的 前 后 左 右 安 装 了 一 套 设 计 精 巧 的 滑 车 和 杠 杆 他 叫 多 人 在 大 船 前 面，抓 住 一
12、 根绳 子，让 国 王 牵 动 一 根 绳 子，大 船 居 然 慢 慢 地 滑 到 海 中，群 众 欢 呼 雀 跃，国 王 也 高 兴 异 常，当 众 宣 布：“从 现 在 起，我 要 求 大 家，无 论 阿 基 米 德 说 什 么，都 要 相 信 他！”阿 基 米 德 曾 说 过：“给 我 一 个 放 杠 杆 的 支 点，我 就 能 将 地 球 挪动”假 如 阿 基 米 德 有 个 站 脚 的 地 方，他 真 能 挪 动 地 球 吗？（四 川 凉 山 州）如 图，在 犃 犅 犆 中，犃 犅 犃 犆 ，犅 犆 ，犇为 犅 犆的 中 点，犇 犈 犃 犅，垂 足 为 犈，那 么 犇 犈等 于（）（
13、第 题）二、填 空 题 （黑 龙 江 龙 东 地 区）腰 长 为 ，一 条 高 为 的 等 腰 三 角形 的 底 边 长 为 （浙 江 嘉 兴）在 直 角 犃 犅 犆 中，犆 ，犃 犇平 分 犅 犃 犆 交 犅 犆 于 点 犇，若 犆 犇 ，则 点 犇 到 斜 边 犃 犅 的 距 离为 （第 题）（第 题）（江 苏 扬 州）如 图，线 段 犃 犅 的 长 为 ，犆 为 犃 犅 上 一 个动 点，分 别 以 犃 犆、犅 犆 为 斜 边 在 犃 犅 的 同 侧 作 两 个 等 腰 直 角三 角 形 犃 犆 犇 和 犅 犆 犈，那 么 犇 犈 长 的 最 小 值 是 （江 苏 无 锡）如 图，在 犃
14、 犅 犆 中，犃 犆 犅 ，犃 犅 ，犇 是 犃 犅 的 中 点 现 将 犅 犆 犇 沿 犅 犃 方 向 平 移 ，得到 犈 犉 犌，犉 犌 交 犃 犆 于 点 犎，则 犌 犎 的 长 等 于 （第 题）（广 东 广 州）在 犃 犅 犆 中，犆 ，犃 犆 ，犅 犆 ，则 点 犆 到 犃 犅 的 距 离 是 （四 川 广 元）已 知 等 腰 三 角 形 的 一 个 内 角 为 ，则 另两 个 角 的 度 数 是 （广 东 肇 庆）在 直 角 三 角 形 犃 犅 犆 中，犆 ，犅 犆 ，犃 犆 ，则 犃 犅 （江 苏 宿 迁）将 一 块 直 角 三 角 形 纸 片 犃 犅 犆 折 叠，使 点犃 与
15、 点 犆 重 合，展 开 后 平 铺 在 桌 面 上（如 图 所 示）若 犆 ，犅 犆 ，则 折 痕 犇 犈 的 长 度 是 （第 题）（第 题）（江 苏 无 锡）如 图，在 犃 犅 犆 中，犃 犆 犅 ，点犇、犈、犉 分 别 是 犃 犅、犅 犆、犆 犃 的 中 点，若 犆 犇 ，则 犈 犉 （浙 江 杭 州）在 等 腰 犃 犅 犆 中，犆 ，犃 犆 ，过 点 犆 作 直 线 犾 犃 犅，犉 是 犾 上 的 一 点，且 犃 犅 犃 犉，则 点 犉到 直 线 犅 犆 的 距 离 为 （甘 肃 酒 泉）如 图，犅 犇 是 犃 犅 犆 的 角 平 分 线，犃 犅 犇 ，犆 ，则 图 中 的 等 腰
16、三 角 形 有 个（第 题）（第 题）（河 南 焦 作）如 图，在 犃 犅 犆 中，犃 犆 犅 ，犃 犅，犆 犕是 斜 边 犃 犅的 中 线，犅 犆 ，将 犃 犆 犕沿 直 线犆 犕折 叠，点 犃 落 在 点 犇 处，如 果 犆 犇 恰 好 与 犃 犅 垂 直，垂 足为 犈，则 犇 犈 的 长 为 （保 留 根 号）（湖 南 湘 潭）在 犃 犅 犆 中，若 犃 ，犅 ，犃 犆 ，则 犃 犅 三、解 答 题 （湖 北 天 门）如 图，犃 犅 犆 为 等 边 三 角 形，点 犈 在 犅 犃的 延 长 线 上，点 犇 在 边 犅 犆 上，且 犈 犇 犈 犆 若 犃 犅 犆 的 边长 为 ，犃 犈 ，
17、求 犅 犇 的 长（第 题）（四 川 成 都）如 图，犃 犅 犆 和 犇 犈 犉 是 两 个 全 等 的 等腰 直 角 三 角 形，犅 犃 犆 犈 犇 犉 ，犇 犈 犉 的 顶 点 犈与 犃 犅 犆 的 斜 边 犅 犆 的 中 点 重 合 将 犇 犈 犉 绕 点 犈 旋 转，旋 转过 程 中，线 段 犇 犈 与 线 段 犃 犅相 交 于 点 犘，线 段 犈 犉 与 射 线犆 犃 相 交 于 点 犙 当 点 犙 在 线 段 犃 犆上，且 犃 犘 犃 犙 时，求证：犅 犘 犈 犆 犙 犈（第 题）当 然 这 在 目 前 是 做 不 到 的 最 引 人 入 胜，也 使 阿 基 米 德 最 为 人 称
18、 道 的 是 阿 基 米 德 在 智 破 金 冠 案 中 发 现 了 一 个 科 学 基 本原 理 国 王 让 金 匠 做 了 一 顶 新 的 纯 金 王 冠，但 他 怀 疑 金 匠 在 金 冠 中 掺 假 了 可 是，做 好 的 王 冠 无 论 从 重 量 上、外 形 上 都 看 不出 问 题 国 王 把 这 个 难 题 交 给 了 阿 基 米 德 阿 基 米 德 日 思 夜 想 一 天，他 去 澡 堂 洗 澡，当 他 慢 慢 地 坐 进 澡 堂 时，水 从 盆 边 溢 了出 来，他 望 着 溢 出 来 的 水，突 然 大 叫 一 声：“我 知 道 了！”竟 然 一 丝 不 挂 地 跑 回
19、家 中 趋 势 总 揽分 析 近 年 的 课 改 试 验 区 和 非 试 验 区 的 中 考 试 题，等 腰 三角 形 的 性 质 和 判 定、直 角 三 角 形 的 性 质 是 考 查 三 角 形 知 识 中 的主 要 内 容，并 结 合 角 平 分 线 和 线 段 的 垂 直 平 分 线 的 相 关 知 识 增强 题 目 的 灵 活 性 年 中 考 命 题 的 重 点：等 腰 三 角 形 的 性 质 与 判 定，三 角 形 的 性 质 等 腰 三 角 形、直 角 三 角 形 与 四 边 形 或 圆 结 合 考 查 两 类 三 角 形 的 组 合 运 用 及 与 函 数 知 识 组 合 的
20、阅 读 题，开放 题 等 高 分 锦 囊 加 强 对 等 腰 三 角 形 和 直 角 三 角 形 的 概 念 性 质 的 理 解 记忆，注 意 性 质 的 区 别 与 联 系，进 行 知 识 归 纳 掌 握 特 殊 三 角 形 证 明 题 的 解 题 思 路 和 方 法，加 强 对 探 索题、动 态 性 试 题、创 新 题 的 训 练 与 研 究，培 养 数 学 能 力 等 腰 三 角 形 应 注 意 有 锐 角 与 钝 角 之 分，当 题 目 中 无 图 形时 应 注 意 讨 论，直 角 三 角 形 应 注 意 性 质 的 使 用，如 直 角 三 角 形 斜边 上 中 线 等 于 斜 边 的
21、 一 半，直 角 三 角 形 中 角 所 对 直 角 边 是 斜边 的 一 半，勾 股 定 理 的 使 用 以 及 面 积 相 等（犪犫 犮犺，其 中 犪，犫 为 两直 角 边，犮 为 斜 边，犺 为 斜 边 上 的 高）常 考 点 清 单 一、等 腰 三 角 形、等 边 三 角 形 的 概 念 等 腰 三 角 形 在 犃 犅 犆 中，如 果 犃 犅 ，那 么 犃 犅 犆 是 等 腰 三 角形 等 边 三 角 形 在 犃 犅 犆 中，如 果 犃 犅 ，那 么 犃 犅 犆是 等 边 三 角 形 二、等 腰 三 角 形、等 边 三 角 形 的 判 定 在 犃 犅 犆 中，如 果 犅 犆，那 么 犃
22、 犅 犆 是 三角 形，且 犃 犆 在 犃 犅 犆中，如 果 犃 犅 犆，那 么 犃 犅 犆是 三 角 形 有 一 个 角 是 的 等 腰 三 角 形 是 三 角 形 在 犃 犅 犆 中，如 果 犆 ，犃 ，那 么 犃 犅 犆 是 三 角 形 三、等 腰 三 角 形、等 边 三 角 形 的 性 质 性 质 ：等 腰 三 角 形 的 相 等 性 质 ：等 腰 三 角 形 的 、相互 重 合 性 质 ：等 边 三 角 形 的 ，并 且 每 一 个 角 都 等 于 四、线 段 的 垂 直 平 分 线 定 义：经 过 线 段 并 且 于 这 条 线 段 的 直线，叫 做 这 条 线 段 的 垂 直 平
23、 分 线 性 质 定 理：直 线 犕 犖 犃 犅犃 犆 犅 犆 逆 定 理：点 犘 在 线 段 犃 犅 的 垂 直 平 分 线 犕 犖上 五、勾 股 定 理 及 其 逆 定 理 勾 股 定 理：如 果 直 角 三 角 形 的 两 直 角 边 长 分 别 为 犪，犫，斜边 长 为 犮，那 么 逆 定 理：如 果 三 角 形 的 三 边 长 犪，犫，犮 满 足 犪 犫 犮 ，那么 这 个 三 角 形 是 六、直 角 三 角 形 的 性 质 与 判 定类 型性 质判 定直 角三 角 形 两 锐 角 斜 边 中 线 等 于 角 所 对 的 直 角 边 等 于 一 条 直 角 边 等 于 斜 边 一半，
24、这 条 直 角 边 所 对 的锐 角 等 于 有 一 个 角 是 的三 角 形 是 直 角 三 角 形 有 两 个 角 的 三角 形 是 直 角 三 角 形 如 果 三 角 形 一 边 上 的 等 于 这 边 的 一半，那 么 该 三 角 形 是 直角 三 角 形 七、定 理 与 互 逆 定 理 定 理：经 过 证 明 被 确 认 的 命 题 叫 做 定 理 互 逆 定 理：如 果 一 个 定 理 的 经 过 证 明 是 ，那么 它 也 是 一 个 定 理，这 两 个 定 理 互 为 逆 定 理 易 混 点 剖 析 角 平 分 线 的 性 质 定 理：题 设 是 如 果 一 个 点 在 角 的
25、 平 分 线上，结 论 是 “三 线 合 一”是 等 腰 三 角 形 的 性 质 而 非 判 定 定 理 线 段 的 垂 直 平 分 线 至 少 要 有 个 点 来 确 定，仅 一点 不 能 确 定 一 条 直 线 直 角 三 角 形 的 两 直 角 边 为 犪，犫，斜 边 为 犮，则 犪 犫 犮 如 果 三 角 形 两 边 的 平 方 和 等 于 第 三 边 的 平 方，那 么 这 个 三 角 形是 直 角 三 角 形 易 错 题 警 示 原 来 他 想 出 办 法 了 阿 基 米 德 把 金 王 冠 放 进 一 个 装 满 水 的 缸 中，一 些 水 溢 出 来 他 取 出 王 冠，把 水
26、 装 满，再 将一 块 同 王 冠 一 样 重 的 金 子 放 进 水 里，又 有 一 些 水 溢 出 来 他 把 两 次 的 水 加 以 比 较，发 现 第 一 次 溢 出 的 水 多 于 第 二次 于 是 他 断 定 金 冠 中 掺 了 银 经 过 一 番 试 验，他 算 出 了 银 子 的 重 量 当 他 宣 布 他 的 发 现 时，金 匠 目 瞪 口 呆 阿 基 米德 从 中 发 现 了 一 条 原 理：物 体 在 液 体 中 减 轻 的 重 量，等 于 他 所 排 出 液 体 的 重 量 【例 】（四 川 巴 中）已 知 犪，犫，犮 是 犃 犅 犆 三 边 的长，且 满 足 关 系
27、式犮 犪 犫槡 犪 犫 ，则 犃 犅 犆 的 形 状为 【解 析】由 题 意 知 犮 犪 犫 且 犪 犫，本 题 最 常 见 的 错 误是 得 出 犃 犅 犆 是 直 角 三 角 形 或 等 腰 三 角 形【答 案】等 腰 直 角 三 角 形 【例 】（山 东 济 宁）如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，点犘 的 坐 标 为（，），以 点 犗 为 圆 心，以 犗 犘 的 长 为 半 径 画 弧，交狓 轴 的 负 半 轴 于 点 犃，则 点 犃 的 横 坐 标 介 于（）和 之 间 和 之 间 和 之 间 和 之 间【解 析】先 根 据 勾 股 定 理 求 出 犗 犘 的 长，由 于 犗
28、 犘 犗 犃，故估 算 出 犗 犘 的 长，再 根 据 点 犃 在 狓 轴 的 负 半 轴 上 即 可 得 出 结 论 本 题 最 大 的 误 区 是 无 法 判 断 无 理 数 的 大 小【答 案】点 犘 的 坐 标 为（，），犗 犘（）槡 槡 点 犃、犘 均 在 以 点 犗 为 圆 心，以 犗 犘 为 半 径 的 圆 上，犗 犃 犗 犘 槡 ，槡 点 犃 在 狓 轴 的 负 半 轴 上，点 犃 的 横 坐 标 介 于 和 之 间 故 选 【例 】（黑 龙 江 龙 东）等 腰 三 角 形 一 腰 长 为 ，一 边上 的 高 为 ，则 底 边 长 为 【解 析】此 题 没 有 图 形，所 以
29、最 大 的 错 误 是 少 解，一 边 有 可能 是 指 底 边，又 有 可 能 是 腰；此 等 腰 三 角 形 有 可 能 是 钝 角 三 角形，有 可 能 是 锐 角 三 角 形【答 案】或 槡 或 槡 【例 】（广 东 梅 州）如 图，犃 犗 犈 犅 犗 犈 ，犈 犉 犗 犅，犈 犆 犗 犅，若 犈 犆 ，则 犈 犉 【解 析】此 题 考 查 了 角 平 分 线 的 性 质；含 度 角 的 直 角 三角 形 问 题 我 们 可 以 作 犈 犌 犗 犃 于 点 犉，根 据 角 平 分 线 的 性 质 得到 犈 犌 的 长 度，再 根 据 平 行 线 的 性 质 得 到 犗 犈 犉 犆 犗
30、犈 ，然 后 利 用 三 角 形 的 外 角 和 内 角 的 关 系 求 出 犈 犉 犌 ，利 用 角 所 对 的 直 角 边 是 斜 边 的 一 半 解 题 本 题 最 易 犯 的 错 误 是 根 据角 平 分 线 定 理 得 犆 犈 犉 犈【答 案】作 犈 犌 犗 犃 于 点 犉 犈 犉 犗 犅，犗 犈 犉 犆 犗 犈 犃 犗 犈 ，犈 犉 犌 犈 犌 犆 犈 ，犈 犉 故 答 案 为 年 福 建 省 中 考 仿 真 演 练一、选 择 题 （南 安 模 拟）若 一 个 三 角 形 的 三 条 高 线 交 点 恰 好 是 此 三角 形 的 一 个 顶 点，则 此 三 角 形 一 定 是（）等
31、 腰 三 角 形 等 边 三 角 形 等 腰 直 角 三 角 形 直 角 三 角 形 （厦 门 模 拟）已 知 一 直 角 三 角 形 两 边 长 为 和 ，则 第三 边 长 为（）或 槡 或 或 （漳 州 模 拟）满 足 下 列 条 件 的 三 角 形 不 是 直 角 三 角 形 的是（）犪 犫 犮 犪 犫 犮 犃 犅 犆 犃 犅 犆二、填 空 题 （三 明 大 田 模 拟）如 图，要 制 作 底 边 犅 犆 的 长 为 ，顶 点 犃 到 犅 犆 的 距 离 与 犅 犆 长 的 比 为 的 等 腰 三 角 形 木衣 架，则 腰 犃 犅 的 长 至 少 需 要 （结 果 保 留 根 号 的形
32、式）（第 题）（泉 州 模 拟）一 元 二 次 方 程 狓 狓 的 两 根 恰 好是 一 直 角 三 角 形 两 边 长，则 该 直 角 三 角 形 的 面 积 为 三、解 答 题集 合 论 简 介：由 于 研 究 无 穷 时 往 往 推 出 一 些 合 乎 逻 辑 但 又 荒 谬 的 结 果（称 为“悖 论”），许 多 大 数 学 家 唯 恐 陷 进 去 而 采取 退 避 三 舍 的 态 度 在 年 期 间，不 到 岁 的 德 国 年 轻 数 学 家 康 托 尔 向 神 秘 的 无 穷 宣 战 他 靠 着 辛 勤 的 汗 水，成功 地 证 明 了 一 条 直 线 上 的 点 能 够 和 一
33、个 平 面 上 的 点 一 一 对 应，也 能 和 空 间 中 的 点 一 一 对 应 （南 平 模 拟）如 图，已 知 犃 犅 犃 犆，犇 是 犃 犅 上 一 点，犇 犈 犅 犆 于 点 犈，犈 犇 的 延 长 线 交 犆 犃的 延 长 线 于 点 犉，试 说 明 犃 犇 犉 是 等 腰 三 角 形 的 理 由（第 题）年 全 国 中 考 仿 真 演 练一、选 择 题 （江 苏 昆 山 一 模）一 个 直 角 三 角 形 的 两 边 长 分 别 为 与，则 第 三 边 长 为（）槡 槡 与 不 确 定（第 题）（黑 龙 江 哈 尔 滨 南 岗 初 中 升 学 调研）如 图，在 犃 犅 犆 中
34、，犃 犅 犃 犆，犃 ，犅 犇 是 角 平 分 线，犇 犈 犅 犆，垂 足为 犈 若犆 犇 槡，则犃 犇的 长 是（）槡 槡 （四 川 泸 县 福 集 镇 青 龙 中 学 一 模）已 知 一 等 腰 三 角 形 的两 边 长 狓，狔 满 足 方 程 组狓 狔 ，狓 狔 ，则 此 等 腰 三 角 形 的 周长 为（）或 （深 圳 市 全 真 模 拟）等 腰 三 角 形 一 腰 上 的 高 与 另 一 腰 的夹 角 为 ，则 顶 角 度 数 为（）或 或 （内 蒙 古 呼 伦 贝 尔 模 拟）等 腰 三 角 形 的 周 长 为 ，且底 边 长 减 去 一 腰 长 的 差 为 ，则 底 边 长 为（
35、）二、填 空 题 （内 蒙 古 赤 峰 一 模）等 腰 三 角 形 的 腰 长 为 ，腰 上 的 高为 ，则 它 的 底 角 等 于 （江 苏 通 州 兴 仁 中 学 一 模）如 图，在 犃 犅 犆 中，犆 ，犅 犆 ，犃 犆 ，按 图 中 所 示 方 法 将 犅 犆 犇沿犅 犇 折 叠，使 点 犆 落 在 边 犃 犅的 点 犆，那 么 犃 犇 犆 的 面 积 是 （第 题）（第 题）（江 苏 苏 州 吴 中 区 一 模）如 图，犆 ，犅 ，犅 犃 犇 ，犃 犇 ，则 犆 犇 （北 京 四 中 模 拟）用 两 块 完 全 重 合 的 等 腰 三 角 形 纸 片 能拼 出 哪 些 图 形（至 少
36、 写 出 两 个）（江 苏 盐 城 模 拟）已 知 在 犃 犅 犆 中，犃 犅 犃 犆，犅 ，则 犆 （宁 夏 银 川 模 拟）如 图，将 含 角 的 直 角 三 角 尺 犃 犅 犆绕 点 犅 顺 时 针 旋 转 后 得 到 犈 犅 犇，连 结 犆 犇，若 犃 犅 ，则 犅 犆 犇 的 面 积 为 （第 题）三、解 答 题 （江 苏 盐 城 市 亭 湖 区 第 一 次 调 研 考 试）如 图，在 犃 犅 犆中，犃 犅 犃 犆，若 点 犇 在 犃 犅 上，点 犈 在 犃 犆 上，请 你 加 上 一 个条 件，使 结 论 犅 犈 犆 犇 成 立，同 时 补 全 图 形，并 证 明 此 结 论（第
37、题）（广 西 柳 州 市 中 考 数 学 模 拟 试 题）如 图，等 腰 犗 犃 犅中，犃 犗 犅 ，等 腰 犈 犗 犉 中，犈 犗 犉 ，连 结 犃 犈、犅 犉 求 证：（）犃 犈 犅 犉；（）犃 犈 犅 犉（第 题）若 一 个 等 腰 三 角 形 的 两 边 长 分 别 为 和 ，则 它 的 周 长 为（）或（第 题）如 图，在 犃 犅 犆 中，犆 ，犃 犅 犆 的平 分 线 犅 犇交 犃 犆 于 点 犇，若 犆 犇 ，则点 犇 到 犃 犅 的 距 离 犇 犈 是（）如 图，在 犃 犅 犆中，犃 犇平 犅 犃 犆，犅 犆，求 证：犃 犆 犃 犅 犅 犇（第 题）把 两 个 含 有 角 的
38、直 角 三 角 板 如 图 放 置，点 犇 在 犅 犆 上，连结 犅 犈、犃 犇，犃 犇 的 延 长 线 交 犅 犈 于 点 犉，求 证：犃 犉 犅 犈（第 题）等 腰 三 角 形 与 直 角 三 角 形 年 考 题 探 究 年 福 建 省 中 考 真 题 演 练 解 析 分 两 种 情 况 进 行：以 犗 犃 为 腰 构 成 等 腰 三 角形 犃 犗 犘，有 种；以 犗 犃 为 底 构 成 等 腰 三 角 形 犃 犗 犘，有 种，共 种 解 析 根 据“三 角 形 任 何 两 边 之 和 大 于 第 三 边”可 知等 腰 三 角 形 的 腰 长 不 能 为 ，只 能 为 ，所 以 解 析 由
39、 第 一、二 两 图 可 知 剪 出 的 直 角 三 角 形 的 竖 直方 向 直 角 边 长 为 ，水 平 方 向 直 角 边 长 为 ，展 开后 得 到 的 等 腰 三 角 形 的 底 边 长 就 为 ，接 着 由 勾 股定 理 求 出 腰 长 即 可 得 解 解 析 犃 犅 犆 槡 解 析 设 第 个 等 腰 直 角 三 角 形 的 腰 长 为 狓，其 斜 边长 为 槡 狓，则 第 个 等 腰 直 角 三 角 形 的 腰 长 为 槡 狓，其 斜 边长 为 狓 槡 狓；第 个 等 腰 直 角 三 角 形 的 斜 边 长 为槡 狓槡 狓；第 狀 个 等 腰 直 角 三 角 形 的 斜 边 长
40、 为槡狀狓 由题 意 可 得槡 狓槡 ，即槡 狓槡 ，槡 狓槡 （）犆（，），犇（，）（第 题）（）由（）可 知 犆 犇 犗 犆 犗 犇槡槡，犅 犆 又 ，犅 犕 犆 犇 犗 犆 犅 犕犇 犗 犅 犆犇 犆，即 犅 犕 槡 犅 犕 槡（）存 在 分 两 种 情 况 讨 论：以 犅 犕 为 腰 时 犅 犕 槡，又 点 犘 在 狔 轴 上 且 犅 犘 犅 犕，此 时 满 足 条 件 的 点 犘 有 两 个，犘 ，槡（），犘 ，槡（）过 点 犕 作 犕 犈 狔 轴 于 点 犈 犅 犕 犆 ，则 犅 犕 犈 犅 犆 犕 犅 犈犅 犕 犅 犕犅 犆 又 犅 犕 犕 犘，犘 犈 犅 犈 犅 犘 犗 犘 犘
41、 ，（）以 犅 犕 为 底 时，作 犅 犕 的 垂 直 平 分 线，分 别 交 狔 轴，犅 犕于 点 犘、犉 由（）得 犅 犕 犆 犘 犉 犆 犕 犉 是 犅 犕的 中 点，犅 犘 犅 犆 犗 犘 此 时 满 足 条 件 的 点 犘 有 一 个，它 是 犘 ，（）综 上 所 述，符 合 条 件 的 点 犘 有 四 个，它 们 是：犘 ，槡（），犘 ，槡（），犘 ，（），犘 ，（）（）线 段 犗 犘 绕 点 犗 按 逆 时 针 方 向 旋 转 ，得 到 线 段犗 犕，犘 犗 犕 ，犗 犘 犗 犕 过 点 犘（犿，）作 犘 犙 狓 轴 于 点 犙，过 点 犕 作 犕 犖 狔 轴于 点 犖，犘 犗
42、犙 犕 犗 犙 ，犕 犗 犖 犕 犗 犙 ，犕 犗 犖 犘 犗 犙 犗 犕 犖 犗 犙 犘 犕 犗 犖 犘 犗 犙 犕 犖 犘 犙 ，犗 犖 犗 犙 犿 犕（，犿）犿 ，犕（，）点 犕 是 抛 物 线 的 狔 犪狓 犫狓 犮 的 顶 点，可 设 抛 物 线 为 狔 犪（狓 ）抛 物 线 的 经 过 点（，），犪 此 抛 物 线 开 口 向 上，对 称 轴 为 狓 当 狓 时，狔 随 狓 的 增 大 而 减 小 当 狓 时，狔 ；当 狓 时，狔 狔 的 取 值 范 围 为 狔 （）点 犕（，犿）是 抛 物 线 的 狔 犪狓 犫狓 犮 的 顶 点，可 设 抛 物 线 为 狔 犪（狓 ）犿 犅（，犪
43、 犿）犃（，）直 线 犃 犅 的 解 析 式 为 狔 （犪 犿）狓 犪 犿，解 方 程 组狔 犪（狓 ）犿，狔 （犪 犿）狓 犪 犿，得 犪狓 （犿 犪）狓 ，直 线 犃 犅 与 抛 物 线 狔 犪狓 犫狓 犮 有 且 只 有 一 个 交点，（犿 犪）犿 犪 犅（，犿）犿 ，犗 犅 犿 犅 犖 犗 犖 犿 犕 犖 狔 轴，犅 犕 犗 犕 犅 犗 犕 是 等 腰 三 角 形 （）（）犃 犅 犆 与 犇 犈 犆 都 是 等 边 三 角 形，犃 犆 犅 犆，犆 犇 犆 犈，犃 犆 犅 犇 犆 犈 犃 犆 犇 犇 犆 犅 犇 犆 犅 犅 犆 犈 （第 题）犃 犆 犇 犅 犆 犈 犃 犆 犇 犅 犆 犈
44、（）犃 犇 犅 犈 犃 犇犅 犈 （）当 点 犇 在 线 段 犃 犕上（不 与 点 犃 重 合）时，由（）可知 犃 犆 犇 犅 犆 犈，则 犆 犅 犈 犆 犃 犇 ，作 犆 犎 犅 犈于 点 犎，则 犘 犙 犎 犙，连 结 犆 犙，则 犆 犙 在 犆 犅 犎 中，犆 犅 犎 ，犅 犆 犃 犅 ，则 犆 犎 犅 犆 在 犆 犎 犙 中，由 勾 股 定 理，得 犎 犙 犆 犙 犆 犎槡 槡 ，则 犘 犙 犎 犙 当 点 犇 在 线 段 犃 犕的 延 长 线 上 时，犃 犅 犆 与 犇 犈 犆 都 是 等 边 三 角 形，犃 犆 犅 犆，犆 犇 犆 犈，犃 犆 犅 犇 犆 犈 犃 犆 犅 犇 犆 犅
45、 犇 犆 犅 犇 犆 犈 犃 犆 犇 犅 犆 犈 犃 犆 犇 犅 犆 犈（）犆 犅 犈 犆 犃 犇 ，同 理 可 得：犘 犙 当 点 犇 在 线 段 犕 犃 的 延 长 线 上 时，犃 犅 犆 与 犇 犈 犆 都 是 等 边 三 角 形，犃 犆 犅 犆，犆 犇 犆 犈，犃 犆 犅 犇 犆 犈 犃 犆 犇 犃 犆 犈 犅 犆 犈 犃 犆 犈 犃 犆 犇 犅 犆 犈 犃 犆 犇 犅 犆 犈（）犆 犅 犈 犆 犃 犇 犆 犃 犕 ，犆 犅 犈 犆 犃 犇 犆 犅 犙 同 理 可 得：犘 犙 综 上，犘 犙 的 长 是 年 全 国 中 考 真 题 演 练 解 析 分 两 种 情 况 讨 论 解 析 考
46、 虑 两 种 情 况 要 分 清 从 斜 边 中 点 向 哪 个 边 沿着 垂 线 段 过 去 裁 剪 的 解 析 犕 犖 犅 犕 犆 犖 犅 犕 犆 犖 ，犕 犖 解 析 根 据 线 段 垂 直 平 分 线 的 性 质、勾 股 定 理 求 解 解 析 根 据 两 直 线 平 行，内 错 角 相 等 求 解 解 析 犛 四 边 形 犅犆犈 犇 犛 犃犅犆 犛 犃犇 犈 槡（）槡 解 析 犃 犅 犃 犆，犃 ，犃 犅 犆 犆 犅 犇 犅 犆，犅 犇 犆 犆 犇 犅 犆 犈 犅 犇 又 犅 犈 犅 犇，犅 犇 犈 犅 犈 犇 解 析 当 腰 长 时，此 时 周 长 （）；当 腰 长 时，此 时 周
47、 长 （）解 析 连 结 犃 犇，则 犃 犇 犅 犆 犃 犇 犃 犅 犅 犇槡 根 据 面 积 相 等，得 犃 犅 犇 犈 犅 犇 犃 犇，犇 犈 犅 犇 犃 犇犃 犅 或槡 或槡 解 析 根 据 不 同 边 上 的 高 为 分 类 讨论 即 可 得 到 本 题 的 答 案 解 析 角 的 平 分 线 上 的 点 到 角 的 两 边 的 距 离 相 等 解 析 设 犃 犆 狓，则 犅 犆 狓，然 后 分 别 表 示 出犇 犆、犈 犆，继 而 在 犇 犆 犈 中，利 用 勾 股 定 理 求 出 犇 犈 的表 达 式，利 用 函 数 的 知 识 进 行 解 答 即 可 解 析 利 用 直 角 三
48、角 形 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 的 一半 知 犃 犇 犅 犇 犆 犇 犃 犅 ；然 后 由 平 移 的 性 质推 知 犌 犎 犆 犇；最 后 根 据 平 行 线 截 线 段 成 比 例 列 出 比 例式，即 可 求 得 犌 犎 的 长 度 解 析 根 据 题 意 画 出 相 应 的 图 形，如 图 所 示：（第 题）在 犃 犅 犆 中，犃 犆 ，犅 犆 ，根 据 勾 股 定 理，得 犃 犅 犃 犆 犅 犆槡 ，过 点 犆 作 犆 犇 犃 犅，交 犃 犅 于 点 犇 又 犛 犃犅 犆 犃 犆 犅 犆 犃 犅 犆 犇，犆 犇 犃 犆 犅 犆犃 犅 ，或 ，解 析 一 个 内 角 为
49、 ，这 个 内 角 有可 能 是 顶 角，也 有 可 能 是 底 角 解 析 犃 犅 犃 犆 犅 犆槡 槡 解 析 犇 犈 为 犃 犅犆 的 中 位 线，则 犇 犈 犅犆 解 析 由 直 角 三 角 形 斜 边 上 中 线 等 于 斜 边 的 一 半 知犆 犇 犃 犅，由 三 角 形 中 位 线 定 理 知 犈 犉 犃 犅，即 犈 犉 犆 犇 槡 解 析 分 点 犉 在 点 犆 左 侧 或 右 侧 两 种 情 况 进 行讨 论 解 析 犃 犅 犆，犃 犅 犇，犅 犆 犇 槡 解 析 由 题 意，知 犃 犃 犆 犕 犕 犆 犈 犅 犆 犈 犇 ，犅 犈 犅 犆 犇 犈 犈 犆槡 解 析 通 过
50、计 算 犆 的 大 小 可 知 犃 犅 犆 是 等 腰 三 角形，所 以 犃 犅 犃 犆 延 长 犅 犆 至 点 犉，使 得 犆 犉 犅 犇，连 结 犈 犉 犈 犇 犈 犆，犈 犇 犅 犈 犆 犉 犈 犅 犇 犈 犉 犆 犅 犉 犃 犅 犆 是 等 边 三 角 形，犅 犃 犆 犅 犃 犆 犅 犉 犃 犆 犈 犉 犃 犈 犆 犉 犅 犇 犃 犈 犆 犉 犃 犅 犆 是 等 腰 直 角 三 角 形，犅 犆 ，犃 犅 犃 犆 犃 犘 犃 犙，犅 犘 犆 犙 犈 是 犅 犆 的 中 点，犅 犈 犆 犈 在 犅 犘 犈 和 犆 犙 犈 中，犅 犈 犆 犈，犅 犆，犅 犘 犆 犙烅烄烆，犅 犘 犈 犆 犙
51、 犈（）年 模 拟 提 优 年 福 建 省 中 考 仿 真 演 练 解 析 等 腰 三 角 形，三 条 高 线 交 点 在 三 角 形 内 或 外 或某 一 顶 点 处，故 错 误；等 边 三 角 形，三 条 高 线 交 点 在 三角 形 内，故 错 误；因 为 已 知 无 法 确 定 其 两 腰 相 等，而 只 要是 直 角 三 角 形 就 行 了，不 一 定 非 得 是 等 腰 直 角 三 角 形，故 错 误；因 为 直 角 三 角 形 的 直 角 所 在 的 顶 点 正 好 是 三 条 高线 的 交 点，所 以 可 以 得 出 这 个 三 角 形 是 直 角 三 角 形，故 正 确 解
52、析 有 可 能 是 直 角 三 角 形 的 直 角 边，也 有 可 能 是斜 边 解 析 设 犃 狓，犅 狓，犆 狓，则 狓 狓 狓 ，得 狓 ，狓 ，犃 ，犅 ，犆 ，犃 犅 犆 是 锐 角 三 角形 槡 解 析 如 图，作 犃 犇 犅 犆 于 点 犇，因 为 犃 犇 犅 犆 且 犅 犆 ，由 此 可 以 求 出 犃 犇，又 因 为 犃 犅 犃 犆，在 犃 犅 犇 中 犃 犇、犅 犇 已 知，根 据 勾 股 定 理 可 以 求出 犃 犅 的 长（第 题）或 槡 解 析 这 两 根 为 直 角 三 角 形 的 两 边 长，有 可 能为 两 直 角 边，也 有 可 能 为 一 直 角 边，一 斜
53、 边 犃 犅 犃 犆，犅 犆（等 边 对 等 角）犇 犈 犅 犆 于 犈，犉 犈 犅 犉 犈 犆 犅 犈 犇 犅 犆 犈 犉 犆 犈 犉 犆 犈 犇 犅（等 角 的 余 角 相 等）犈 犇 犅 犃 犇 犉（对 顶 角 相 等），犈 犉 犆 犃 犇 犉 犃 犇 犉 是 等 腰 三 角 形 年 全 国 中 考 仿 真 演 练 解 析 边 长 是 的 边 有 可 能 是 直 角 边，也 有 可 能 是斜 边 解 析 由 勾 股 定 理 求 得 犆 犈 犇 犈 ，由 全 等 知 犃 犇 犇 犈 解 析 三 角 形 两 边 之 和 应 大 于 第 三 边，所 以 ，这种 组 合 应 舍 去 解 析 分
54、锐 角 三 角 形 和 钝 角 三 角 形 两 种 情 况 讨 论 解 析 由 题 意 知 底 边 长 为 ，腰 长 为 或 解 析 分 钝 角 三 角 形 和 锐 角 三 角 形 讨 论 解 析 根 据 勾 股 定 理 知 犃 犅 ，得 犃 犆 再 在直 角 三 角 形 犃 犆 犇 中 运 用 勾 股 定 理 求 得 犆 犇 ，犃 犇 （注：设 犆 犇 狓，则 犆犇 狓，犃 犇 狓）解 析 利 用 等 角 对 等 边 知 犆 犇 犃 犇 平 行 四 边 形、正 方 形、等 腰 直 角 三 角 形 等 解 析 答 案 不唯 一，可 自 己 动 手 拼 一 下 解 析 等 边 对 等 角 解 析
55、 犃 犅 ，则 犅 犆 犃 犅 犃 犆槡 槡槡 ，犛 犅犆 犇 犅 犆 犅 犇 槡槡 附 加 的 条 件 可 以 是：犅 犇 犆 犈，犃 犇 犃 犈，犈 犅 犆 犇 犆 犅，犃 犅 犈 犃 犆 犇，犅 犈、犆 犇分 别 为 犃 犅 犆，犃 犆 犅 的 平 分 线 中 任 选 一 个；利 用 犃 犅 犈 犃 犆 犇 得证 犅 犈 犆 犇 （）在 犃 犈 犗 与 犅 犉 犗 中，犗 犃 犅 与 犈 犗 犉 为 等 腰 直 角 三 角 形，犃 犗 犗 犅，犗 犈 犗 犉，犃 犗 犈 犅 犗 犈 犅 犗 犉 犃 犈 犗 犅 犉 犗 犃 犈 犅 犉（）延 长 犃 犈 交 犅 犉 于 点 犇，交 犗 犅
56、于 点 犆，则 犅 犆 犇 犃 犆 犗由（）知 犗 犃 犆 犗 犅 犉，犅 犇 犃 犃 犗 犅 犃 犈 犅 犉 考 情 预 测 解 析 等 腰 三 角 形 有 两 种 情 况：（），；（），（）不 满 足 三 角 形 三 边 关 系，所 以 只 有 ，符 合 要 求 故三 角 形 周 长 为 解 析 角 的 平 分 线 上 的 一 点 到 角 的 两 边 的 距 离 相 等：犇 犈 犆 犇 在 犃 犆 上 截 取 犃 犈 犃 犅，连 结 犇 犈 犃 犇 平 分 犅 犃 犆，犈 犃 犇 犅 犃 犇 犃 犅 犃 犈，犅 犃 犇 犈 犃 犇，犃 犇 犃 犇烅烄烆，犃 犅 犇 犃 犈 犇 犅 犇 犈 犇，犅 犃 犈 犇 犅 犆，又 犃 犅 犆 犆 犈 犇 犆，犆 犈 犇 犆 犆 犈 犇 犈，即 犆 犈 犅 犇 犃 犆 犃 犈 犆 犈 犃 犅 犅 犇（第 题）由 已 知 条 件，得 犃 犆 犇 犅 犆 犈，犅 犇 犉 犃 犇 犆 犅 犈 犆 犅 犈 犆 犈 犅 犆 ，犅 犇 犉 犈 犅 犆 即 犃 犉 犅 犈