1、6.1.4数乘向量学习目标1.通过实例,了解向量数乘的概念,并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律,会运用向量数乘运算律进行向量运算.自主预习1.一只兔每次位移向量为a,3次位移多少?n(nN*)次位移多少?2.在物理中,位移与速度的关系是什么?力与加速度的关系是什么?这几个问题中,位移、速度、加速度、力都是,而次数、时间、质量都是.仔细阅读教材P145,疑难问题认真思考,将不能解决的问题标注出来,等待课堂解决.问题1按照向量的加法法则,若a为非零向量,则a+a的长度与|a|的关系怎样?问题2我们知道,实数x满足x+x+x=3x,那么a+a+a能否写成3a呢?问题33a与a的
2、方向有什么关系?-3a与a的方向呢?课堂探究问题探究一:1.数乘向量概念的形成2.数乘向量的概念定义:一般地,给定一个实数与任意一个向量a,实数与向量a相乘的运算简称为数乘运算.规定它们的乘积是一个向量,记作a.问题数乘向量的结果是数值还是向量?a这个向量与a的长度、方向有何关系?问题a的几何意义是什么?3.向量数乘的运算律问题类比实数的运算律,向量数乘有怎样的运算律?问题探究二:4.向量共线定理问题如果两个向量共线,则这两个向量具有哪几种情况?问题根据向量的数乘运算,a与a(0,a0)的方向有何关系?问题向量a与a(为常数)共线吗?结论:向量共线定理向量a(a0)与b共线,当且仅当有唯一一个
3、实数,使b=a.典型例题例1已知a=3e,b=-2e,其中e为非零向量,判断a与b是否平行,并求|a|b|的值.变式训练已知AB=-e,AC=5e,判断A,B,C三点是否共线,如果共线,求出ABAC.例2(1)化简23(4a-3b)+13b-14(6a-7b);(2)已知向量为a,b,未知向量为x,y,向量a,b,x,y满足关系式3x-2y=a,-4x+3y=b,求向量x,y.变式训练化简下列各式:(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a);(2)162(2a+8b)-4(4a-2b).课堂练习1.设e1,e2是两个不共线的向量,若向量m=-e1+ke2(kR)与向量n=e2-2e
4、1共线,则()A.k=0B.k=1C.k=2D.k=122.(多选题)下列各式计算正确的有()A.(-7)6a=-42aB.7(a+b)-8b=7a+15bC.a-2b+a+2b=2aD.4(2a+b)=8a+4b核心素养专练1.已知向量a,b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三点是()A.B,C,DB.A,B,CC.A,B,DD.A,C,D2.已知ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,且PA+PB+PC=AB,则()A.P在ABC内部B.P在ABC外部C.P在AB边上或其延长线上D.P在AC边上3.已知ABC和点M满足MA+MB+MC=0.若存在实数m
5、使得AB+AC=mAM成立,则m的值为()A.2B.3C.4D.54.在ABC中,点D在直线CB的延长线上,且CD=4BD=rAB+sAC,则r-s等于()A.0B.45C.83D.3参考答案自主预习略课堂探究问题探究略例1解:由b=-2e,得e=-12b,代入a=3e,得a=-32b.|a|=32|b|,即|a|b|=32.变式训练解:由已知可得AC=5e=-5AB,因此A,B,C三点共线且AC=5AB,即ABAC=15.例2解:(1)原式=234a-3b+13b-32a+74b=234-32a+-3+13-74b=2352a-1112b=53a-1118b.(2)3x-2y=a,-4x+3
6、y=b,由3+2,得x=3a+2b,代入,得3(3a+2b)-2y=a,所以x=3a+2b,y=4a+3b.变式训练解:(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b.(2)原式=16(4a+16b-16a+8b)=16(-12a+24b)=-2a+4b.课堂练习1.D2.ACD核心素养专练1.CBD=BC+CD=2a+4b=2AB,A,B,D三点共线.2.DPA+PB+PC=PB-PA,PC=-2PA,P在AC边上.3.BMA+MB+MC=0,点M是ABC的重心.AB+AC=3AM,m=3.4.CCD=CB+BD=4BD.CB=3BD.CD=AD-AC=AB+BD-AC=AB+13CB-AC=AB+13(AB-AC)-AC=43AB-43AC.r=43,s=-43,r-s=83.