1、河南省2020届高三数学5月适应性考试试题 理（含解析）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.已知是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算，可求，再根据复数与共轭复数的关系，即可求出结果.【详解】因为，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算和共轭复数的概念，属于基础题.2.设集合，则下列选项正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先化简集合，结合选项进行判断.【详解】因为，所以，.故选：C【点睛】本题主要考查集合的运算，把
2、集合化为最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3.某科研型企业，每年都对应聘入围的大学生进行体检，其中一项重要指标就是身高与体重比，其中每年入围大学生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）基本都具有线性相关关系，根据今年的一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是（ ）A. y与x具有正的线性相关关系B. 回归直线过样本点的中心C. 若某应聘大学生身高增加1cm，则其体重约增加0.83kgD. 若某应聘大学生身高为170cm，则可断定其体重必为55.39kg【答案】D【解析】【分析】根据线性回归方程分析，x的系数为正则正相关；线性回归方程必过样本中心点；
3、利用线性回归方程分析数据时只是估计值，与真实值存在误差.【详解】由于线性回归方程中x的系数为0.83，因此y与x具有正的线性相关关系，故A正确；线性回归方程必过样本中心点，故B正确；由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1cm，其体重约增加0.83kg，故C正确；当某大学生的身高为170cm时，其体重估计值是55.39kg，而不是具体值，故D不正确.故选：D【点睛】本题考查两变量间的相关关系、线性回归方程，属于基础题.4.“”是“直线与圆相切”的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】试题分析：若，则圆的圆心，到直线的距离
4、为，等于半径，此时圆与直线相切，充分性成立；若直线与圆相切，则圆心到直线距离为，解得或，所以必要性不成立.故选：B.考点：直线与圆的位置关系、充分必要条件5.已知向量，若向量，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由向量夹角为锐角，由向量数量积，求出，再由向量，共线时，求出，进而可求出结果.【详解】因为，所以；因为向量，的夹角为锐角，所以有，解得.又当向量，共线时，解得：，所以实数的取值范围为.故选：C.【点睛】本题主要考查由向量夹角的范围求参数范围，熟记向量数量积的坐标表示，以及向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.6.设函数，若，则方程的所
5、有根之和为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先进行化简函数，利用三角函数的对称性进行求解即可【详解】，又，方程有两根，由对称性得，解得.答案：D【点睛】本题考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，考查数形结合的能力，属于基础题.7.若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意得出，利用基本不等式求得的最大值，可得出关于的不等式，由此可解得实数的取值范围.【详解】依题意得当时，恒成立，又因为，当且仅当时取等号，所以的最大值为，所以，解得，因此，实数的取值范围为.故选：B.【点睛】本题考查利用基本不等式恒成立求参
6、数，考查计算能力，属于基础题.8.某地一重点高中为让学生提高遵守交通的意识，每天都派出多名学生参加与交通相关的各类活动.现有包括甲、乙两人在内的6名中学生，自愿参加交通志愿者的服务工作这6名中学生中2人被分配到学校附近路口执勤，2人被分配到医院附近路口执勤，2人被分配到中心市场附近路口执勤，如果分配去向是随机的，则甲、乙两人被分配到同一路口的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合排列、组合求得把6名同学平均分配到三个不同的路口分配种数，再求得甲、乙两人被分配到同一路口种数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，把6名同学平均分配到三个不同的路口，
7、共有种分配方案，其中甲、乙两人被分配到同一路口有种可能，所以甲、乙两人被分配到同一路口的概率为.故选：A.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列组合的应用，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.9.已知函数，其中表示不大于x的最大整数（如，），则函数的零点个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】构造函数与，作出图象，结合图象得出两函数的交点个数，即可求解.【详解】设函数，则，所以函数为定义域上的为偶函数，作出函数与的图象，如图所示，当时，结合图象，两函数有1个交点，即1个零点；当时，结合图象，两函数有1个交点，即1个零点；当时，两函数有1
8、个交点，即1个零点；当时，此时两函数有1个交点，即1个零点，综上可得函数共4个零点.故选：D.【点睛】本题主要考查了函数的零点个数的判定，以及函数的图象的应用，其中解答中构造新函数，作出函数的图象，结合两个函数的图象的交点个数进行判定是解答的关键，着重考查构造思想，以及数形结合思想的应用，属于中档试题.10.已知过双曲线的左焦点的直线与双曲线左支交于点，过原点与弦中点的直线交直线于点，若为等腰直角三角形，则直线的方程可以为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由题意，得，设，将直线的方程代入双曲线的方程，消去，根据韦达定理，以及题中条件，得到，求得直线的方程为，求出，推出，
9、得到，根据题意，求出，即可得出结果.【详解】由得其左焦点为，则由题意可设，代入双曲线的方程，消去，整理得.设，由根与系数的关系，得，即直线的方程为.令，得，即，直线的斜率为，则必有，即，解得.又，从而直线的方程为或.故选：A.【点睛】本题主要考查求双曲线中直线的方程，熟记直线与双曲线的位置关系，以及双曲线的简单性质即可，属于常考题型.11.设，分别为等差数列，的前n项和，且.设点A是直线外一点，点P是直线上一点，且，则实数的取值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，结合数列的与的关系，分别求得，的通项公式，进而得到的值，再结合向量的共线定理，即可求解.【详解】由题意，分
10、别为等差数列，的前n项和，且，不妨取，当时，当时，验证得当时上式成立，综上数列的通项公式为，同理可得，数列的通项公式为，则，又由点P在直线上，设，即，.故选：B.【点睛】本题主要考查了等差数的通项公式及前项和公式的应用，以及向量共线定理的应用，其中解答中熟记数列中与的关系，求得数列的通项公式，以及共线向量的定理是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12.九章算术是我国古代数学成就的杰出代表.其中方田章给出计算弧田面积的经验公式为：.弧田（如图1阴影部分）由圆弧和其所对弦围成，弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.类比弧田面积公式得到球缺(如图 2)近似体积公式：圆面积矢.球
11、缺是指一个球被平面截下的一部分，厦门嘉庚体育馆近似球缺结构（如图3)，若该体育馆占地面积约为18000，建筑容积约为340000，估计体育馆建筑高度(单位：)所在区间为（ ）参考数据: ，. A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据所给近似体积公式分别计算时的体积近似值.详解：设体育馆建筑高度为，则，若，则；若，则，若，则，故选B.点睛：本题通过数学文化引入球缺体积近似公式，即吸引了学生的眼球，又培养了学生的兴趣，同时培养了学生的爱国情怀，是一道好题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若x，y满足线性约束条件，则的最大值为_.【答案】12【解析】【分析】由线性约
12、束条件，作出可行域， 的几何意义为直线的截距，移动直线可得经过A点，取最大值.【详解】由线性约束条件，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，的几何意义为直线的截距，作直线，平移该直线，当直线经过点时，取得最大值，即.故答案为：12【点睛】本题考查了线性规划求直线截距最值问题，考查了数学运算能力和数形结合能力，属于基础题目.14.过抛物线的焦点的直线被分成长度为，的两段，请写出一个，满足的等量关系式_.【答案】【解析】【分析】先由题意，设，直线的方程为：，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，得到，再由题意，得到，求得，从而得到，求解，即可得出结果.【详解】由题意， 设，直线的方程为：，由
13、消去，得到，所以，所以，又过抛物线的焦点的直线被分成长度为，的两段，所以，所以，因此，所以，即，整理得：.故答案为：.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的简单应用，熟记抛物线的焦点弦长公式，以及抛物线的简单性质即可，属于常考题型.15.习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键.要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业.2020年1月8日，人力资源和杜会保障部、财政部、农业农村部印发关于进一步推动返乡入乡创业工作的意见.意见指出，要贯彻落实党中央、国务院的决策部署，进一步推动返乡入乡创业，以创新带动创业，以创业带动就业，促进农村一、二、三产业融合发展，实现更充分、更高质量就业.为鼓励返乡创业，某镇政府
14、决定投入“创业资金”和“创业技术培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列（单位：万元），每年“创业技术培训”投入为第一年创业资金（万元）的3倍，已知，则该镇政府帮扶5年累计总投入的最大值为_万元.【答案】200【解析】【分析】设等差数列的公差为d，且满足.则该镇政府帮扶5年累计总投入：，再利用基本不等式求最值即可.【详解】设等差数列的公差为d，且满足.则该镇政府帮扶5年累计总投入：，当且仅当时等号成立.故该镇政府帮扶5年累计总投入的最大值为200万元.故答案为：200【点睛】本题考查了等差数列前项和公式在实际问题中的应用，也考查了基本不等式求最值的应用，属于基
15、础题.16.函数，若，则在的最小值为_；当时，恒成立，则a的取值范围是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】将代入，求出函数的导数得出恒成立，得到单调性进而得最小值；结合性可得，进而可得结果.【详解】当时，.当时，恒成立，在上单调递增.在上最小值为.又时，恒成立，令 ,所以在 递增， 所以恒成立，.故答案为；.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值，利用导数解决不等式恒成立问题，属于难题.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17.在平面中，四边形满足，的面
16、积为.（1）求的长；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由的面积求得的值，进而求得，然后在中利用余弦定理可求得的长；（2）利用勾股定理得出，进而推导出，可得出，过顶点作的垂线，垂足为，在中，利用正弦定理可求得的长，然后利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】（1）由已知，可得，又，所以，所以在中，由余弦定理，；（2）由（1）可得：，所以，故.由，得，所以，.又，所以，所以为等腰三角形，即.在中，过顶点作的垂线，垂足为，且，在中，由正弦定理，可得，所以.【点睛】本题考查三角形中的几何计算，考查利用正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式解三角形，考查计算能力，属于中等题.
17、18.人类非物质文化遗产是经联合国教科文组织评选确定而列入人类非物质文化遗产代表作名录的遗产项目.记录着人类社会生产生活方式、风俗人情、文化理念等，非物质文化遗产蕴藏着世界各民族的文化基因、精神特质、价值观念、心理结构、气质情感等核心因素，是全人类共同的宝贵财富.中国作为东方文明大国，有39个项目入选，总数位居世界第一.现已知某地市是非物质文化遗产项目大户，有7项人选，每年都有大批的游客前来参观学习，同时也带动了当地旅游经济的发展.某土特产超市对2019年春节期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表：购买金额（元）购买人数101520152010（1）根据以上数据完成22列联表，并
18、判断能否在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与年龄有关.不少于60元少于60元总计年龄大于5040龄小于5018总计（2）为吸引游客，超市推出一种优惠方案，举行购买特产，抽奖赢取非物质文化遗产体验及返现的活动，凡是购买金额不少于60元可抽奖三次，每次中奖概率为P（每次抽奖互不影响，且P的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），每中奖一次体验1次，同时减免5元；每中奖两次体验2次，减免10元，每中奖三次体验2次，减免15元，若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X（元）的分布列并求其数学期望.附参考公式和数据：，.0.1500.1000.0500.01
19、00.0052.0722.7063.8416.6357.879【答案】（1）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与年龄有关；（2）分布列见解析，75.【解析】【分析】（1）根据题中数据可得列联表，再利用计算公式得出，即可判断出结论 （2）可能取值为65，70，75，80，且利用二项分布列的计算公式即可得出的分布列及其数学期望【详解】解：（1）22列联表如下：不少于60元少于60元总计年龄大于50124052龄小于50182038总计306090，.因此能在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与年龄有关.（2）X的可能取值为65，
20、70，75，80，且.，.，.X的分布列为65707580所以.【点睛】本题考查独立性检验、二项分布列的计算公式及其数学期望，考查运算求解能力和应用意识，属于中档题19.如图，已知五面体中，四边形为等腰梯形，且，平面平面.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中点M，连接，先由题中条件，得到，再由面面垂直的性质，以及线面垂直的判定定理，证明平面，进而可得出；（2）先由题意建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，根据向量夹角公式，求出法向量夹角的余弦值，进而可得出结果.详解】（1）证明：取中点M，连接，因为四边形为等腰梯形，所以，
21、所以四边形为平行四边形，所以，三角形为等边三角形，所以，即，又因为平面，平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以.（2）据（1）可建立如图所示的空间直角坐标系，所以可求得，.则，.设向量为平面的一个法向量，则，即，所以令，则；设向量为平面的法向量，则，即，令，则，所以，又二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求二面角的余弦值，熟记线面、面面垂直的性质定理，灵活运用空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.20.已知圆，点，P是圆C上一动点，若线段的垂直平分线和相交于点M.（1）求点M的轨迹方程E.（
22、2）已知直线交曲线E于A，B两点.若射线交椭圆于点Q，求面积的最大值；若，垂直于点D，求点D的轨迹方程.【答案】（1）；（2）面积的最大值为3；.【解析】【分析】（1）根据题意，化简得，再结合椭圆的定义即可取得点M的轨迹方程；（2）当所在直线斜率存在时，设的方程为，得到Q到直线的距离是点O到直线距离的3倍，联立方程组，利用根与系数的关系和弦长公式，以及点到直线的距离公式，求得的表示，利用基本不等式，求得面积的最大值；当所在直线斜率不存在时，设的方程为，联立方程组，结合面积公式和基本不等式，求得的最大值，即可得到结论；由和，化简得到，进而得到，结合圆的定义，即可求解.【详解】（1）由圆，可得圆心
23、，半径，因为，所以点G在圆C内，又由点M在线段的垂直平分线上，所以，所以，由椭圆的定义知，点M的轨迹是以G，C为焦点的椭圆，其中，所以点M的轨迹方程为.（2）当所在直线斜率存在时，设所在直线方程为，由，可得，同理，所以，即Q到直线的距离是点O到直线距离的3倍，设，联立，可得.由得，且，则，又由O到直线的距离，.当且仅当，即时等号成立.故面积的最大值为.当所在直线斜率不存在时，假设，则，的方程为（其中）.联立，得，则.，综上可得，面积的最大值为3.由知，又因为，所以，即，即，代入解得，又，所以点D的轨迹是以O为圆心，半径为的圆（去掉x轴上的两个点），故点D的轨迹方程为.【点睛】本题主要考查椭圆的
24、定义及标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等21.已知函数.（1）判断函数的单调性；（2）若方程有两个不同的根，求实数a的取值范围；（3）如果，且，求证：.【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减.；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）先求解导数，通过求解不等式，判断函数单调性；（2）利用单调性求解函数的值域，结合图象变化趋势可得，然后求解不等式可得结果；（3）构造函数，
25、判断单调性得出，结合函数的单调性可得，从而可证结论.【详解】（1）因为，所以，令可得；令可得；所以函数在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）可得函数在处取得最大值，所以函数的值域为，且时，；因为方程有两个不同的根，所以，即，解得.即实数a的取值范围为.（3）证明：由，不妨设，构造函数，则，所以在上单调递增，也即对恒成立.由，则，所以，.即，又因为，且在上单调递减，所以，即证.即.【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的符号可以判定单调性，利用导数可以研究函数图象的变化趋势，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的
26、第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线C和直线的一般方程；（2）已知点，直线和曲线C交于A，B两点，若，求直线的一般方程.【答案】（1）；或；（2）或.【解析】【分析】（1）由曲线C和直线的参数方程，消去参数，即可求得曲线C和直线的一般方程；（2）将的参数方程代入曲线C的普通方程，结合直线参数方程中参数的几何意义，即可求解.【详解】（1）由题意，曲线C的参数方程为（为参数），即（为参数），平方相加，可得曲线C的一般方程为，由直线的参数方程为（为参数）当时，的直角坐标方程为.当时，的直角坐标方程为.（
27、2）将的参数方程（为参数）代入，整理得，设A，B对应的参数为，则，解得，即或，所以直线的方程为或.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及直线的参数方程的几何意义的应用，其中解答中熟记直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查推理与运算能力.选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的两个零点，再利用零点分段法解不等式，即可得到答案；（2）利用绝对值不等式，将恒成立等价于恒成立，再解绝对值不等式，即可得到答案；【详解】解：（1）当时，.当时，由，得，解得，所以；当时，由，得，解得，所以；当时，解得，所以无解.综上的解集为（2），当且仅当时等号成立，故恒成立等价于恒成立，由，可得或，所以m的取值范围是.【点睛】本题考查零点分段法解绝对值不等式和不等式恒成立求参数，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意讨论的完整性.
