1、专题限时集训(十五)圆锥曲线中的综合问题 建议用时：45分钟1(2016中原名校联盟二模)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点B(0，)为短轴的一个端点，OF2B60.图154(1)求椭圆C的方程；(2)如图154，过右焦点F2，且斜率为k(k0)的直线l与椭圆C相交于D，E两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AD分别交直线x3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k.试问kk是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由解(1)由条件可知a2，b，故所求椭圆方程为1.4分(2)设过点F2(1,0)的直线l的方程为yk(x1)由可得(4k23)x28k
2、2x4k2120.5分因为点F2(1,0)在椭圆内，所以直线l和椭圆都相交，即0恒成立设点E(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2.6分因为直线AE的方程为y(x2)，直线AD的方程为y(x2)，令x3，可得M，N，所以点P的坐标.8分直线PF2的斜率为k，所以kk为定值.12分2已知椭圆C：1(ab0)，F1，F2是左右焦点，A，B是长轴两端点，点P(a，b)与F1，F2围成等腰三角形，且SPF1F2.(1)求椭圆C的方程；(2)设点Q是椭圆上异于A，B的动点，直线x4与QA，QB分别交于M，N两点(i)当时，求Q点坐标；()过点M，N，F1三点的圆是否经过x轴上不同于点F1
3、的定点？若经过，求出定点坐标，若不经过，请说明理由解(1)F1(c,0)，F2(c,0)，由题意可得F1F2PF2，(ac)2b24c2.1分由SPF1F2可得，2cbbc.2分两式联立解得a2，b，椭圆的方程为1.4分(2)()，QF1MN，QF1x轴.5分由(1)知，c21，F1(1,0)设Q(1，y)，则有1，y，Q.7分()设Q(x0，y0)，则kQA，直线QA的方程为y(x2)令x4得M点坐标为.9分同理kQB，直线QB的方程为y(x2)，得N点坐标为，10分MN.11分设圆心坐标为O(m，n)，若x轴上存在定点E(，0)满足条件，则有m，n.12分由题意可得(m4)2n2，13分代
4、入得2.即29，整理得7，x轴上存在点E(7,0)满足题意.14分3(2016淄博二模)已知点是等轴双曲线C：1上一点，抛物线x22py(p0)的焦点与双曲线C的一个焦点重合图155(1)求抛物线的方程；(2)若点P是抛物线上的动点，点A，B在x轴上，圆x2(y1)21内切于PAB，求PAB面积的最小值解(1)将代入双曲线可得，1，解得a2，c2a2a2，2分由题意可知，p1，所以抛物线方程为x22y.4分(2)设P(x0，y0)，A(m,0)，B(n,0)，不妨设nm.直线PA的方程：y(xm)，化简得y0x(mx0)ymy00.6分又圆心(0,1)到PA的距离为1，1，上式化简得(y2y0
5、)m22x0y0my0，同理有(y2y0)n22x0y0ny08分所以mn，mn，则(mn)2.10分因P(x0，y0)是抛物线上的点，有x2y0，则(mn)2，易知y02，所以nm.所以SPAB(nm)y0y0(y02)4248.12分当(y02)24时，上式取等号，此时y04，x02.因此SPAB的最小值为8.13分4(2016开封二模)已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点.图156(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求OPQ面积的取值范围. 【导学号：67722057】解(1)由题意可设椭圆方程
6、为1(ab0)，则(其中c2a2b2，c0)，且1，故a2，b1.所以椭圆的方程为y21.4分(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0.故可设直线l：ykxm(m0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由消去y得(14k2)x28kmx4(m21)0，5分则64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)0，且x1x2，x1x2.6分故y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，7分因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以k2，即m20.8分又m0，所以k2，即k.9分由于直线OP，OQ的斜率存在，且0，得0m22，且m21.设d为点O到直线l的距离，则d，10分|PQ|，11分所以S|PQ|d1(m21)，故OPQ面积的取值范围为(0,1).12分
