1、1最值系列之瓜豆原理在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点 P，但最终问题问的可以是另一点 Q，当然 P、Q 之间存在某种联系，从 P 点出发探讨 Q 点运动轨迹并求出最值，为常规思路一、轨迹之圆篇引例 1：如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP，Q 为 AP 中点考虑：当点 P 在圆 O 上运动时，Q 点轨迹是？【分析】观察动图可知点 Q 轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆 O 有什么关系？考虑到 Q 点始终为 AP 中点，连接 AO，取 AO 中
2、点 M，则 M 点即为 Q 点轨迹圆圆心，半径MQ 是 OP 一半，任意时刻，均有AMQAOP，QM:PO=AQ:AP=1:2【小结】确定 Q 点轨迹圆即确定其圆心与半径，由 A、Q、P 始终共线可得：A、M、O 三点共线，由 Q 为 AP 中点可得：AM=1/2AOQ 点轨迹相当于是 P 点轨迹成比例缩放根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系2引例 2：如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP，作 AQAP 且 AQ=AP考虑：当点 P 在圆 O 上运动时，Q 点轨迹是？【分析】Q 点轨迹是个圆，可理解为将 AP 绕点 A
3、 逆时针旋转 90得 AQ，故 Q 点轨迹与 P点轨迹都是圆接下来确定圆心与半径考虑 APAQ，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AMAO；考虑 AP=AQ，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AM=AO，且可得半径 MQ=PO即可确定圆 M 位置，任意时刻均有APOAQM引例 3：如图，APQ 是直角三角形，PAQ=90且 AP=2AQ，当 P 在圆 O 运动时，Q 点轨迹是？【分析】考虑 APAQ，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AMAO；考虑 AP:AQ=2:1，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AO:AM=2:1即可确定圆 M 位置，任意时刻均有APOAQM，且相似比为 23【模型总结
4、】为了便于区分动点 P、Q，可称点 P 为“主动点”，点 Q 为“从动点”此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（PAQ 是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ 是定值）【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：PAQ=OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q 与 P 的关系相当于旋转+伸缩古人云：种瓜得瓜，种豆得豆“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”4【思考 1】：如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连
5、接 AP，以 AP 为一边作等边APQ考虑：当点 P 在圆 O 上运动时，Q 点轨迹是？【分析】Q 点满足（1）PAQ=60；（2）AP=AQ，故 Q 点轨迹是个圆：考虑PAQ=60，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足MAO=60；考虑 AP=AQ，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AM=AO，且可得半径 MQ=PO即可确定圆 M 位置，任意时刻均有APOAQM【小结】可以理解 AQ 由 AP 旋转得来，故圆 M 亦由圆 O 旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于 AP 与 AQ 的位置和数量关系【思考 2】如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP，以 AP 为斜边作等腰直角APQ考虑
6、：当点 P 在圆 O 上运动时，如何作出 Q 点轨迹？【分析】Q 点满足（1）PAQ=45；（2）AP:AQ=2：1，故 Q 点轨迹是个圆连接 AO，构造OAM=45且 AO:AM=2：1M 点即为 Q 点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有AOPAMQ即可确定点 Q 的轨迹圆5【练习】如图，点 P（3,4），圆 P 半径为 2，A（2.8,0），B（5.6,0），点 M 是圆 P 上的动点，点 C 是 MB 的中点，则 AC 的最小值是_【分析】M 点为主动点，C 点为从动点，B 点为定点考虑 C 是 BM 中点，可知 C 点轨迹：取 BP 中点 O，以 O 为圆心，OC 为半径作圆，即为点 C 轨
7、迹当 A、C、O 三点共线且点 C 在线段 OA 上时，AC 取到最小值，根据 B、P 坐标求 O，利用两点间距离公式求得 OA，再减去 OC 即可6【2016 武汉中考】如图，在等腰 RtABC 中，AC=BC=2 2，点 P 在以斜边 AB 为直径的半圆上，M 为 PC 的中点，当半圆从点 A 运动至点 B 时，点 M 运动的路径长为_【分析】考虑 C、M、P 共线及 M 是 CP 中点，可确定 M 点轨迹：取 AB 中点 O，连接 CO 取 CO 中点 D，以 D 为圆心，DM 为半径作圆 D 分别交AC、BC 于 E、F 两点，则弧 EF 即为 M 点轨迹当然，若能理解 M 点与 P
8、点轨迹关系，可直接得到 M 点的轨迹长为 P 点轨迹长一半，即可解决问题【2018 南通中考】如图，正方形 ABCD 中，2 5AB，O 是 BC 边的中点，点 E是正方形内一动点，OE=2，连接 DE，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90得 DF，连接 AE、CF求线段 OF 长的最小值【分析】E 是主动点，F 是从动点，D 是定点，E 点满足 EO=2，故 E 点轨迹是以O 为圆心，2 为半径的圆7考虑 DEDF 且 DE=DF，故作 DMDO 且 DM=DO，F 点轨迹是以点 M 为圆心，2 为半径的圆直接连接 OM，与圆 M 交点即为 F 点，此时 OF 最小可构造三垂直全等求线段
9、长，再利用勾股定理求得 OM，减去 MF 即可得到 OF 的最小值8【练习】ABC 中，AB=4，AC=2，以 BC 为边在ABC 外作正方形 BCDE，BD、CE 交于点 O，则线段 AO 的最大值为_【分析】考虑到 AB、AC 均为定值，可以固定其中一个，比如固定 AB，将 AC 看成动线段，由此引发正方形 BCED 的变化，求得线段 AO 的最大值根据 AC=2，可得 C 点轨迹是以点 A 为圆心，2 为半径的圆接下来题目求 AO 的最大值，所以确定 O 点轨迹即可，观察BOC 是等腰直角三角形，锐角顶点 C 的轨迹是以点 A 为圆心，2 为半径的圆，所以 O 点轨迹也是圆，以 AB 为
10、斜边构造等腰直角三角形，直角顶点 M 即为点 O 轨迹圆圆心9连接 AM 并延长与圆 M 交点即为所求的点 O，此时 AO 最大，根据 AB 先求 AM，再根据 BC 与 BO 的比值可得圆 M 的半径与圆 A 半径的比值，得到 MO，相加即得AO此题方法也不止这一种，比如可以如下构造旋转，当 A、C、A共线时，可得 AO最大值或者直接利用托勒密定理可得最大值10二、轨迹之线段篇引例：如图，P 是直线 BC 上一动点，连接 AP，取 AP 中点 Q，当点 P 在 BC 上运动时，Q 点轨迹是？【分析】当 P 点轨迹是直线时，Q 点轨迹也是一条直线可以这样理解：分别过 A、Q 向 BC 作垂线，
11、垂足分别为 M、N，在运动过程中，因为 AP=2AQ，所以 QN 始终为 AM 的一半，即 Q 点到 BC 的距离是定值，故 Q 点轨迹是一条直线【引例】如图，APQ 是等腰直角三角形，PAQ=90且 AP=AQ，当点 P 在直线BC 上运动时，求 Q 点轨迹？【分析】当 AP 与 AQ 夹角固定且 AP:AQ 为定值的话，P、Q 轨迹是同一种图形当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的 Q 点的位置，连线即可，比如 Q点的起始位置和终点位置，连接即得 Q 点轨迹线段11【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（PAQ 是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:
12、AQ 是定值）结论：P、Q 两点轨迹所在直线的夹角等于PAQ（当PAQ90时，PAQ 等于 MN 与BC 夹角）P、Q 两点轨迹长度之比等于 AP:AQ（由ABCAMN，可得 AP:AQ=BC:MN）【2017 姑苏区二模】如图，在等边ABC 中，AB=10，BD=4，BE=2，点 P 从点 E 出发沿EA 方向运动，连结 PD，以 PD 为边，在 PD 的右侧按如图所示的方式作等边DPF，当点P 从点 E 运动到点 A 时，点 F 运动的路径长是_【分析】根据DPF 是等边三角形，所以可知 F 点运动路径长与 P 点相同，P 从 E 点运动到 A 点路径长为 8，故此题答案为 812【201
13、3 湖州中考】如图，已知点 A 是第一象限内横坐标为 2 3 的一个定点，ACx 轴于点 M，交直线 y=-x 于点 N，若点 P 是线段 ON 上的一个动点，APB=30，BAPA，则点 P 在线段 ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动求当点 P 从点 O运动到点 N 时，点 B 运动的路径长是_【分析】根据PAB=90，APB=30可得：AP:AB=3:1，故 B 点轨迹也是线段，且 P 点轨迹路径长与 B 点轨迹路径长之比也为3:1，P 点轨迹长 ON 为 2 6，故B 点轨迹长为 2 2【练习】如图，在平面直角坐标系中，A（-3,0），点 B 是 y 轴正半轴上一动点，点C、D
14、在 x 正半轴上，以 AB 为边在 AB 的下方作等边ABP，点 B 在 y 轴上运动时，求 OP 的最小值【分析】求 OP 最小值需先作出 P 点轨迹，根据ABP 是等边三角形且 B 点在直线上运动，故可知 P 点轨迹也是直线取两特殊时刻：（1）当点 B 与点 O 重合时，作出 P 点位置 P1；（2）当点 B 在 x 轴上方且 AB 与 x 轴夹角为 60时，作出 P 点位置 P2连接 P1P2，即为 P 点轨迹13根据ABP=60可知：12PP 与 y 轴夹角为 60，作 OP12PP，所得 OP 长度即为最小值，OP2=OA=3，所以 OP=32【2019 宿迁中考】如图，正方形 AB
15、CD 的边长为 4，E 为 BC 上一点，且 BE=1，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF，以 EF 为边向右侧作等边EFG，连接 CG，则 CG 的最小值为【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求 CG 最小值，可以将F 点看成是由点 B 向点 A 运动，由此作出 G 点轨迹：考虑到 F 点轨迹是线段，故 G 点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻 G 点在1G 位置，最终 G 点在2G 位置（2G 不一定在 CD 边），12G G 即为 G点运动轨迹CG 最小值即当 CG12G G 的时候取到，作 CH12G G 于点 H，CH 即为所求的最小值
16、14根据模型可知：12G G 与 AB 夹角为 60，故12G G 1EG 过点 E 作 EFCH 于点 F，则 HF=1G E=1，CF=1322CE，所以 CH=52，因此 CG 的最小值为 52 三、轨迹之其他图形篇所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是【2016 乐山中考】如图，在反比例函数2yx 的图像上有一个动点 A，连接 AO并延长交图像的另一支于点 B，在第一象限内有一点 C，满足 AC=BC，当点 A 运动时，点 C 始终在函
17、数kyx的图像上运动，若 tanCAB=2，则 k 的值为（）A2B4C6D815【分析】AOC=90且 AO:OC=1:2，显然点 C 的轨迹也是一条双曲线，分别作 AM、CN 垂直 x 轴，垂足分别为 M、N，连接 OC，易证AMOONC，CN=2OM，ON=2AM，ONCN=4AMOM，故 k=42=8【思考】若将条件“tanCAB=2”改为“ABC 是等边三角形”，k 会是多少？【练习】如图，A（-1,1），B（-1,4），C（-5,4），点 P 是ABC 边上一动点，连接OP，以 OP 为斜边在 OP 的右上方作等腰直角OPQ，当点 P 在ABC 边上运动一周时，点 Q 的轨迹形成的
18、封闭图形面积为_【分析】根据OPQ 是等腰直角三角形可得：Q 点运动轨迹与 P 点轨迹形状相同，根据 OP:OQ=2:1，可得 P 点轨迹图形与 Q 点轨迹图形相似比为2:1，故面积比为 2:1，ABC 面积为 1/234=6，故 Q 点轨迹形成的封闭图形面积为 3【小结】根据瓜豆原理，类似这种求从动点轨迹长或者轨迹图形面积，根据主动点轨迹推导即可，甚至无需作图16【练习】如图所示，AB=4，AC=2，以 BC 为底边向上构造等腰直角三角形 BCD，连接 AD 并延长至点 P，使 AD=PD，则 PB 的取值范围为_【分析】固定 AB 不变，AC=2，则 C 点轨迹是以 A 为圆心，2 为半径的圆，以 BC为斜边作等腰直角三角形 BCD，则 D 点轨迹是以点 M 为圆心、2 为半径的圆考虑到 AP=2AD，故 P 点轨迹是以 N 为圆心，2 2 为半径的圆，即可求出 PB 的取值范围17
