1、3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离选题明细表知识点、方法题号两直线的交点2,7,9两点间的距离1,3,6对称问题4,10综合应用问题5,8,11,12,13基础巩固1.已知A(-1,0),B(5,6),C(3,4),则的值为(D)(A)(B)(C)3(D)2解析:由两点间的距离公式,得|AC|=4,|CB|=2,故=2.2.两直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,那么k的值为(C)(A)-24(B)6(C)6(D)24解析:在2x+3y-k=0中,令x=0得y=,将(0,)代入x-ky+12=0,解得k=6.3.已知ABC的顶点
2、A(2,3),B(-1,0),C(2,0),则ABC的周长是(C)(A)2 (B)3+2(C)6+3(D)6+解析:|AB|=3,|BC|=3,|AC|=3,则ABC的周长为6+3.故选C.4.点P(2,5)关于直线x+y=0的对称点是(C)(A)(5,2) (B)(2,5)(C)(-5,-2)(D)(-2,5)解析:设P(2,5)关于x+y=0的对称点为(a,b),则解得5.已知A(3,-1),B(5,-2),点P在直线x+y=0上.若使|PA|+|PB|取最小值,则P点的坐标为(C)(A)(1,-1)(B)(-1,1)(C)(,-)(D)(-2,2)解析:点A(3,-1)关于直线x+y=0
3、的对称点为A(1,-3),连接AB,则AB与直线x+y=0的交点即为所求的点,直线AB的方程为y+3=(x-1),即y=x-,与x+y=0联立,解得x=,y=-,故P点的坐标为(,-).6.已知A(1,5),B(5,-2),在x轴上的点M与A,B的距离相等,则点M的坐标为.解析:设M(x0,0)由|AM|=|BM|得=,解得x0=.即2x+y+2=0.答案:(,0)7.过两直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的交点,且垂直于直线x-2y+4=0的直线方程为.解析:由得所以交点(-2,2)又知所求直线的斜率为-2,由点斜式得y-2=-2(x+2).即2x+y+2=0.答案:2x+y+2=
4、08.若三条直线l1:x-y=0,l2:x+y-2=0,l3:5x-ky-15=0能构成一个三角形,求k的取值范围.解:当l1l3时知k0且有=1,所以有k=5.当l2l3时知k0且有=-1,所以有k=-5.当l1,l2,l3三线交于一点时,解方程组得故直线l1与l2相交于点(1,1).又l3过点(1,1),所以有51-k-15=0,所以有k=-10.综上可知,要使三条直线构成一个三角形,需有k5且k-10.能力提升9.直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0(kR)所经过的定点是(B)(A)(5,2)(B)(2,3)(C)(-,3)(D)(5,9)解析:由(2k-1)x-(k+3)
5、y-(k-11)=0,得k(2x-y-1)-x-3y+11=0,由得所以直线过定点(2,3).10.直线l:x+2y-1=0关于点(1,-1)对称的直线l的方程为(C)(A)2x-y-5=0(B)x+2y-3=0(C)x+2y+3=0(D)2x-y-1=0解析:由题意得ll,故设l:x+2y+c=0,在l上取点A(1,0),则点A(1,0)关于点(1,-1)的对称点是A(1,-2),所以1+2(-2)+c=0,即c=3,故直线l的方程为x+2y+3=0,故选C.11.过点P(3,0)作一直线l,使它被两直线l1:2x-y-2=0和l2:x+y+3=0所截的线段AB以P为中点,则此直线l的方程是
6、.解析:设l1上的点A的坐标为(x1,y1),因为P(3,0)是线段AB的中点,所以l2上的点B的坐标为(6-x1,-y1),所以解得所以点A的坐标为(,),由两点式可得l的方程为8x-y-24=0.答案:8x-y-24=012.在x轴上求一点P,使得:(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大,并求出最大值;(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小,并求出最小值.解:如图.(1)直线BA与x轴交于点P,此时P为所求点,且|PB|-|PA|=|AB|=5.因为直线BA的斜率kBA=-,所以直线BA的方程为y=-x+4.令y=0得x=,即P(,0).故距离之差最大值为5,此时P
7、点的坐标为(,0).(2)作A关于x轴的对称点A,则A(4,-1),连接CA,则|CA|为所求最小值,直线CA与x轴交点为所求点.又|CA|=,直线CA的斜率kCA=-5,则直线CA的方程为y-4=-5(x-3).令y=0得x=,即P(,0).故A与C距离之和最小值为,此时P点的坐标为(,0).探究创新13.(1)已知点P是平面上一动点,点A(1,1),B(2,-2)是平面上两个定点,求|PA|2+|PB|2的最小值,并求此时P的坐标.(2)求函数f(x)=+的最小值.解:(1)设P(x,y)(xR,yR)则|PA|=,|PB|=,所以|PA|2+|PB|2=(x-1)2+(y-1)2+(x-2)2+(y+2)2=2x2-6x+5+2y2+2y+5=2(x-)2+2(y+)2+5,所以x=,y=-时|PA|2+|PB|2最小.故|PA|2+|PB|2最小值为5,此时P(,-).(2)如图f(x)=+=+.设A(2,3),B(6,1),P(x,0),则上述问题转化为求|PA|+|PB|的最小值.点A关于x轴的对称点A(2,-3),因为|PA|+|PB|AB|=4,所以|PA|+|PB|4.所以f(x)的最小值为4.
