1、第3节 函数的奇偶性与周期性 A级基础巩固1(多选题)(2020广东肇庆检测)下列函数中，既是奇函数，又在其定义域上单调递增的是()Ay By2x2xCysin x Dyx|x|解析：C项在定义域上有增有减，A选项定义域为(，0)(0，)，单调区间是(，0)和(0，)不能写成并集，所以A选项错误对于B选项，f(x)2x2xf(x)是奇函数，并且在定义域上为增函数D项，当x0，yx2是增函数；x0时，yx2也是增函数，且yx|x|是奇函数答案：BD2(2020广东湛江模拟)已知函数g(x)f(2x)x2为奇函数，且f(2)1，则f(2)()A2 B1 C1 D2解析：因为g(x)为奇函数，且f(
2、2)1，所以g(1)g(1)，所以f(2)1f(2)1110，所以f(2)1.答案：C3若函数yf(2x1)是偶函数，则函数yf(2x1)的图象的对称轴是()Ax1 Bx0 Cx Dx解析：因为函数yf(2x1)是偶函数，所以函数yf(2x1)的图象关于y轴对称，因为函数yf(2x1)的图象是由函数yf(2x1)的图象向左平移一个单位得到，故yf(2x1)的图象关于x1对称答案：A4已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且当x时，f(x)log2(3x1)，则f(2 021)等于()A4 B2 C2 Dlog27解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，所
3、以f(2 021)f(45051)f(1)f(1)因为1，且当x时，f(x)log2(3x1)，所以f(1)log23(1)12，所以f(2 021)f(1)2.答案：C5(一题多解)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x)若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大小关系为()Aabc BcbaCbac Dbclog25.1220.8，且ag(log25.1)g(log25.1)，所以g(3)g(log25.1)g(20.8)，则cab.法二(特殊化)取f(x)x，则g(x)x2为偶函数且在(0，)上单调递增，又3log25.120.8，从而可得cab
4、.答案：C6已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)，则实数a的取值范围为()A(1，4) B(2，0) C(1，0) D(1，2)解析：因为f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，所以f(5)f(56)f(1)f(1)，因为f(1)1，f(5)，所以1，即0，解得1a4.答案：A7已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x1，则f(1)_，f(0)f(1)_解析：当x0时，f(x)x1，则f(1)2，又f(x)在R上是奇函数，所以f(1)f(1)2，f(0)0，故f(0)f(1)2.答案：228(2017山东卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(
5、x4)f(x2)若当x3，0时，f(x)6x，则f(919)_解析：因为f(x4)f(x2)，所以f(x2)4)f(x2)2)，即f(x6)f(x)，所以f(x)是周期为6的周期函数，所以f(919)f(15361)f(1)又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(1)f(1)6，即f(919)6.答案：69若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上是单调递增函数如果实数t满足f(ln t)f 2f(1)，那么t的取值范围是_解析：由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(ln t)f ，由f(ln t)f 2f(1)，得f(ln t)f(1)又函数f(x)在区间0，)上是单调递增
6、函数，所以|ln t|1，即1ln t1，故te.答案：10设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f f 成立(1)证明yf(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若f(1)2，求f(2)f(3)的值(3)若g(x)x2ax3，且y|f(x)|g(x)是偶函数，求实数a的值(1)证明：由f f ，且f(x)f(x)，所以f(x3)f(x)f(x)，因此函数yf(x)是以3为周期的函数(2)解：由f(x)是定义在R上的奇函数，知f(0)0，所以f(3)f(0)0，又f(2)f(1)f(1)2.故f(2)f(3)202.(3)解：因为y|f(x)|g(x)是偶函数，且|f(x)|f(x)
7、|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数故g(x)x2ax3为偶函数，所以a0.B级能力提升11(2020衡水中学质检)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0，1时，f(x)2xcos x，则下列结论正确的是()Af f f(2 018)Bf(2 018)f f Cf(2 018)f f Df f f(2 018)解析：因为f(x)在R上是奇函数，且f(x2)f(x)，所以f(x2)f(x)，故f(x4)f(x)，f(x)的周期为4.因此f(2 018)f(2)f(0)，f f ，f f .又x0，1时，f(x)2xcos x单调递增，所以f(0)f f ，故f(2 018)
8、f 0，f(x2)对任意xR恒成立，则f(2 023)_解析：因为f(x)0，f(x2)，所以f(x4)f(x2)2f(x)，则函数f(x)的周期为4，所以f(2 023)f(50641)f(1)因为函数f(x)为偶函数，所以f(2 023)f(1)f(1)当x1时，f(12)，得f(1).由f(x)0，得f(1)1，所以f(2 023)f(1)1.答案：113设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积解：(1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x
9、)是以4为周期的周期函数，所以f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数且f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)故知函数yf(x)的图象关于直线x1对称又当0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示当4x4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB44.C级素养提升14(多选题)(2020山东四校联考)已知偶函数f(x)满足f(x)f(2x)0，则下列结论中正确的是()A函数f(x)是以2为周期的周期函数B函数f(x)是以4为周期的周期函数C函数f(x1)为奇函数D函数f(x
10、3)为偶函数解析：偶函数f(x)满足f(x)f(2x)0，即有f(x)f(x)f(2x)，即为f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，可得f(x)的最小正周期为4，故A错，B正确由f(x2)f(x)，得f(x1)f(x1)又f(x1)f(x1)，则f(x1)f(x1)，故f(x1)为奇函数，C正确由f(x3)f(x3)，若f(x3)为偶函数，即有f(x3)f(x3)，得f(x3)f(x3)，所以f(x6)f(x)可得6为f(x)的周期，这与4为最小正周期矛盾，故D不正确答案：BC素养培育数学运算活用函数性质中“三个二级”结论(自主阅读)1奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D
11、上的奇函数，则对任意的xD，都有f(x)f(x)0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)maxf(x)min0，且若0D，则f(0)0.典例1设函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm_解析：显然函数f(x)的定义域为R.f(x)1.设g(x)，则g(x)g(x)，所以g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)maxg(x)min0，所以Mmg(x)max1g(x)min12g(x)maxg(x)min2.答案：22抽象函数的周期性(1)如果f(xa)f(x)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T2a.(2)如果f(xa)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的
12、一个周期T2a.(3)如果f(xa)f(x)c(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.典例2已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，有f(x3)f(x)，且当x(0，3)时，f(x)x1，则f(2 023)f(2 024)()A3 B2 C1 D0解析：因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(2 023)f(2 023)，因为当x0时，有f(x3)f(x)，所以f(x6)f(x3)f(x)，即当x0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次又当x(0，3)时，f(x)x1，所以f(2 023)f(33761)f(1)2，f(2 024)f(33762)f(2)
13、3.故f(2 023)f(2 024)f(2 023)31.答案：C3抽象函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数(1)若f(ax)f(bx)恒成立，则yf(x)的图象关于直线x对称，特别地，若f(ax)f(ax)恒成立，则yf(x)的图象关于直线xa对称(2)若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)0，即f(x)f(2ax)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称典例3函数f(x)在1，)上单调递减，且f(x1)是偶函数，不等式f(m2)f(x1)对任意的x1，0恒成立，则实数m的取值范围是()A3，1B(，31，)C4，2D(，42，)解析：由于f(x1)是偶函数，所以f(x1)f(x
14、1)，因此函数yf(x)的图象关于x1对称由f(x)在1，)上递减，知f(x)在(，1上递增又x1，0，知x12，1，若m21时，f(m2)f(x1)对x1，0恒成立则m2x1对x1，0恒成立，所以3m1；若m21时，f(m2)f(x1)f(3x)所以m23x对x1，0恒成立，则1m1.由知，实数m的取值范围是3，1答案：A典例4函数yf(x)对任意xR都有f(x2)f(x)成立，且函数yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)4，则f(2 020)f(2 021)f(2 022)的值为_解析：因为函数yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，所以函数yf(x)的图象关于原点对称，所以f(x)是R上的奇函数，f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，故f(x)的周期为4.所以f(2 021)f(50541)f(1)4，所以f(2 020)f(2 022)f(2 020)f(2 020)0所以f(2 020)f(2 021)f(2 022)4.答案：4
