1、2019-2020学年福建省福州市鼓楼区高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题）1. 已知集合0，1，则A. 0，B. 1，C. D. 2. 下列幂函数中过点，的偶函数是A. B. C. D. 3. 下列给出的同组函数中，表示同一函数的是和；和；和A. 、B. C. 、D. 4. 函数的定义域为A. B. C. D. 5. 函数的值域是A. B. C. D. 6. 函数的图象可能是A. B. C. D. 7. 已知函数的图象恒过点A，下列函数图象不经过点A. B. C. D. 8. “”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 若
2、，则不等式的解集是A. B. C. D. 10. 已知函数的定义域是一切实数，则m的取值范围是 A. B. C. D. 11. 已知函数为R上的减函数，则实数a的取值范围是A. B. C. D. 12. 已知函数，若任意，且都有，则实数a的取值范围A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题）13. 已知函数，则_14. 已知函数，且，则_15. 设，若，则_16. 给出以下四个命题：若集合，则，；若函数的定义域为，则函数的定义域为；若函数的单调递减区间是；命题“，”的否定是“，”其中正确的命题有_只填序号三、解答题（本大题共6小题）17. 计算：；已知，求18. 已知函数是定义在R上的
3、偶函数，且当时，现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数的图象，并根据图象写出函数的增区间；写出函数的解析式和值域19. 已知全集，集合，求，；若“”为“”的充分不必要条件，求a的取值范围20. 已知函数，判断函数在区间上的单调性，并给出证明；求该函数的最大值和最小值21. 设函数若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围；在的条件下，当m取最大值时，设，且，求的最小值22. 设函数，是定义域为R的奇函数确定k的值；若，函数，求的最小值；若，是否存在正整数，使得对恒成立？若存在，请求出所有的正整数；若不存在，请说明理由答案和解析1.【答案】C【解析】解：0，1，故选：C进行交集的运
4、算即可本题考查了列举法、描述法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题2.【答案】B【解析】解：A、定义域是，不关于原点对称，不具有奇偶性B通过验证过这两个点，又定义域为R，且C不过，是奇函数，不满足偶函数的条件故选：BA先看定义域是，不关于原点对称，不是偶函数B验证是否过这两个点，再看与的关系C验证是否过这两个点，再看与的关系D验证是否过这两个点，再看与的关系本题主要考查点是否在曲线，即点的坐标是否适合曲线的方程以及函数的奇偶性，要先看定义域，再看与x的函数值间的关系3.【答案】B【解析】解：，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数，函数的定义域为，两个函数的定义域不相同，不是同一函数
5、，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数故选：B分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可本题主要考查同一函数的判断，结合函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键，比较基础4.【答案】D【解析】解：要使函数有意义，则，得，得，即或，即函数的定义域为，故选：D根据函数成立的条件进行求解即可本题主要考查函数定义域的求解，结合函数成立的条件建立不等式关系是解决本题的关键比较基础5.【答案】B【解析】解：函数，所以函数的值域为；，故选：B根据不等式的性质求解：，得出值域本题考查了不等式性质在求函数值域中的应用，属于容易题6.【答案】C【解析】解：若，则函数为增函数，此时，C，D不成立，则
6、A，B不成立，若，则函数为减函数，此时A，B不成立，则D不成立，故C有可能，故选：C讨论和，结合函数的单调性和定点范围利用排除法进行排除即可本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数单调性和是否对应，结合排除法是解决本题的关键比较基础7.【答案】D【解析】解：函数中，令，解得，所以的图象恒过点；对于A，时，函数图象过点A；对于B，时，函数图象过点A；对于C，时，函数图象过点A；对于D，时，函数图象不过点A故选：D令求得图象恒过点A的坐标，再验证选项中的函数是否过点A本题考查了指数函数恒过定点的问题，是基础题8.【答案】A【解析】解：由，得，；反之，由，得“”是“”的充分不必要条件故选：A由，得
7、，可得；反之，由，不一定得到，当时，然后结合充分必要条件的判定得答案本题考查不等式的基本性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题9.【答案】A【解析】解：由知，是定义在上的增函数，则不等式得，故选：A先研究幂函数的定义域和单调性，再把函数单调性的定义和定义域相结合即可本题考查了函数的单调性的应用，是基础题，本题易错点是不考虑定义域10.【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义域是全体实数，得到恒成立，注意对m进行讨论，当时，利用二次函数的性质求解，然后综合即可得到结论本题主要考查函数恒成立，结合一元二次不等式的性质是解决本题的关键【解答】解：若函数的定义域是一切实数，则等价为恒成立，若，则不
8、等式等价为，满足条件，若，则满足，即，解得，综上，故选：D11.【答案】D【解析】解：若函数在R上为减函数，则，即，解得，即实数a的取值范围是，故选：D根据分段函数单调性的性质进行求解即可本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质是解决本题的关键12.【答案】A【解析】解：，时，不合题意，时，只需，即在恒成立，故，故a的范围是，故选：A求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到关于a的不等式，解出即可本题考查了导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题13.【答案】3【解析】解：函数，故答案为：3推导出函数，由此能求出结果本题考查函数值的求法，考查函数性质的应用，考查运算求解能
9、力，是基础题14.【答案】1【解析】解：，则，故答案为：1由已知可得，从而可求，然后代入即可求解本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数值，解题的关键是整体思想的应用15.【答案】【解析】解：当时，设，若，可得，解得；当时，若，可得，显然无解故答案为：利用已知条件分别讨论a的值，求出a的值即可本题考查分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力16.【答案】【解析】解：若集合，当，所以：与集合的元素的互异性相矛盾，故舍去，则解得，；故正确若函数的定义域为，则，解得，所以函数的定义域为；故正确利用函数的图象，单调递减区间是和；故错误命题“，”的否定是“，”，故错误故答案为：直接利用集合的元素的性质，函
10、数的定义域的求法，函数的图象，命题的否定的应用求出结果本题考查的知识要点：集合的元素的性质的应用，函数的定义域的求法和应用，函数的图象的应用，命题的否定的应用，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题型17.【答案】解：原式，又，【解析】利用指数幂的运算性质即可得出利用指数幂的运算性质结合完全平方公式即可得出本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题18.【答案】解：因为函数为偶函数，故图象关于y轴对称，补出完整函数图象如有图：所以的递增区间是，设，则，所以，因为是定义在R上的偶函数，所以，所以时，故的解析式为值域为【解析】因为函数为偶函数，故图象关于y轴对称，由此补出完整函数的图象即可，再由
11、图象直接可写出的增区间可由图象利用待定系数法求出时的解析式，也可利用偶函数求解析式，值域可从图形直接观察得到本题考查分段函数求解析式、作图，同时考查函数的函数的奇偶性和值域等性质19.【答案】解：集合，或，“”为“”的充分不必要条件，解得，故a的取值范围是【解析】根据集合运算定义进行计算即可；由“”为“”的充分不必要条件，得集合，求出a的取值范围即可本题考查了集合的运算，集合与充分必要条件的转化关系，属于基础题20.【答案】解：函数在上单调递增证明：设任意，满足，即在上为增函数；【解析】函数在上单调递增运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论；运用在上单调递增，计算即可得到最值本题
12、考查函数的单调性的判断和证明，考查函数的最值的求法，注意运用单调性，属于基础题21.【答案】解：函数的图象是开口朝上，且以直线为对称轴的抛物线，故函数在上单调递减，当时，函数取最小值，若不等式对任意恒成立，则；由得：，即，即由，故即的最小值为【解析】分析函数在上的单调性，进而求出函数的最小值，可得实数m的取值范围；由得：，即，利用基本不等式，可得的最小值本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键22.【答案】解：是定义域为R的奇函数，代入可得由得，是定义域为R的奇函数，设，且，当时，当时，在定义域R上单调递增当时，即，解得或舍去则，当，令，当时，由题意得，在恒成立，当时，令，t在上单调递减，则，即故得所有的正整数的取值为2，3，4，【解析】根据定义域为R的奇函数有，代入可得；根据知和，函数解析式，可得，在求解的最小值；由题意得，可得，在恒成立，换元思想，即可求解的范围，求出所有的正整数；本题主要考查了函数恒成立问题的求解，以及转化思想的应用，二次函数的最值以及单调性的应用
