1、湖北省武汉市五校联合体2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共12小题）.1.已知，则集合，之间的关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别求出集合与，进而即可判断集合与的关系.【详解】，.故选：C.【点睛】本题主要考查集合间的基本关系及集合的基本运算，属于基础题.解决此类问题，一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行求解.2.设,则f(g()的值为( )A. 1B. 0C. -1D. 【答案】B【解析】【详解】，,故选B.3.已知，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出，再求的值得解.【详解】由题得，所以，所以.故
2、选D【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4.已知，则函数与函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由对数的运算性质可得ab1，讨论a，b的范围，结合指数函数和对数函数的图象，即可得到答案【详解】lga+lgb0，即为lg（ab）0，即有ab1，当a1时，0b1，函数f（x）ax与函数g（x）logbx在同一坐标系中的图象不可能是C，而A显然不成立，对数函数图象不可能在y轴的左边；D是0a1，0b1,不满足ab1；当0a1时，b1，函数f（x）ax与函数g（x）logbx在同一坐标系中的图象可能是B，故选B【点
3、睛】本题考查指数函数和对数函数的图象的画法，考查对数的运算性质，属于基础题5.已知角的终边过点，且，则的值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】因为角的终边过点，所以 ， ，解得，故选B.6.化简的结果是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式进行化简，由此求得化简结果.【详解】，由于，所以，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式化简求值，属于基础题.7.设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，则有90|.根据地理知识，武汉地区的纬度值约为北纬30，当太阳直
4、射南回归线（此时的太阳直射纬度为2326）时物体的影子最长，如果在武汉某高度为h0的楼房北边盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡（如图所示），两楼的距离应至少约为h0的（ ）倍？（注意tan36340.75）A. 0.5倍B. 0.8倍C. 1倍D. 1.4倍【答案】D【解析】【分析】根据题目所述，先求得，解直角三角形，求出影长，求得答案.【详解】90|90|30（2326）|，设影长为，则，h01.4h0.两楼的距离应至少约为h0的1.4倍.故选：D.【点睛】本题以地理知识为背景的基础题，考查了学生的分析理解能力，运算能力，属于容易题.8.定义在上的偶函数在上单调递减，若，
5、则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性，结合对数函数和指数函数的性质，比较出三者的大小关系.【详解】因为偶函数在上单调递减，故在上单调递增，又，则.故选：A【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性、单调性和对数函数、指数函数的性质比较大小，属于中档题.9.若函数的零点为，且，则的值为（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先判断函数在单调递增，再利用零点存在定理结合，求得的值.【详解】因为函数在单调递增，因为，所以，所以.故选C.【点睛】本题考查零点存在定理的应用，求解时要先判断函数的单调性，再判断区间端点函数值的正负，考查
6、数形结合思想和分类讨论思想的运用，考查基本运算求解能力.10.给出下列函数：，），其中周期为的所有偶函数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式，由偶函数定义知，则所给函数全部是偶函数，再结合三角函数的周期公式进行求解判断即可.【详解】，是偶函数，周期T，满足条件，是偶函数，周期，不满足条件，是偶函数，周期T，满足条件是偶函数，但不是周期函数，不满足条件.故选：D.【点睛】求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误一般地，经过恒等变形成“，”的形式，再利用周期公式即可11.若在上单调递减，则的取值范围是（ ）.A
7、. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】令f（x），由题意得f（x）在上单调递增，且f（1），由此能求出a的取值范围【详解】函数上单调递减，令f（x），f（x）在上单调递增，且f（1），解得a8故选B【点睛】本题考查实数值的求法，注意函数的单调性的合理运用，属于基础题12.已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对恒成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由函数图象和题意可得，进而可得关于的不等式组，解不等式组，结合选项即可得解.【详解】函数的最大值为3，图象与直线相邻两个交点的距离为，的周期，解得，对恒成立，即对恒成立，且，解得且，即.结合选
8、项可得当时，的取值范围为.故选：B.【点睛】本题主要考查余弦型函数的图象与性质，考查学生对这些知识的掌握能力，属于中档题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若在上的表达式为，且为奇函数，则时，等于_.【答案】【解析】【分析】先设，则，根据时，代入即可求解.【详解】设，则，因时，所以，故.故答案为：【点睛】本小题主要考查根据函数奇偶性求解析式，属于基础题.14.函数的图象为，以下结论中正确的是_（写出所有正确结论的编号）.图象关于直线对称；图象关于点对称；函数在区间内是增函数；由的图象向右平移个单位长度可以得到图象.【答案】【解析】【分析】利用整体代入的方式求出对称中心和对称
9、轴，分析单调区间，利用函数的平移方式检验平移后的图象.【详解】由题：，令，当时，即函数的一条对称轴，所以正确；令，当时，所以是函数的一个对称中心，所以正确；当，在区间内是增函数，所以正确；的图象向右平移个单位长度得到，与函数不相等，所以错误.故答案为：【点睛】此题考查三角函数的图象和性质，利用整体代入的方式求解对称轴对称中心，求解单调区间，根据函数的平移变换求解平移后的函数解析式.15.当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减.按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物组织内的碳14的含
10、量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了_个“半衰期”.【提示：】【答案】【解析】【分析】设生物组织内原有的碳14含量为，需要经过个“半衰期”才不能测到碳14，则，再根据参考数据即可得解【详解】设生物组织内原有的碳14含量为，需要经过个“半衰期”才不能测到碳14，则，即，由参考数据可知，所以，故答案为：.【点睛】本题考查指数函数模型的应用及指数的简单计算，考查学生的运算求解能力，属于基础题.16.设函数则函数的零点个数是_.【答案】5【解析】【分析】先求解关于的方程的根,再根据所得的根和与原函数
11、数形结合进行交点个数的求解即可.【详解】令函数则或者,又函数的图像如图所示：由图可得方程和共有5个根,即函数有5个零点.故答案为5【点睛】本题主要考查了复合函数零点问题,重点是先求出关于的方程的根,再将所求得的根看成纵坐标从而数形结合求与原函数的交点个数即可.属于中等题型.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知全集，集合，求,.【答案】或，【解析】【分析】可以求出集合，然后进行交集、并集和补集的运算即可.【详解】，即，解得或.所以或，.，所以.所以或，.【点睛】本小题主要考查集合交集、并集和补集的运算，考查一元二次不等式和绝对值不等式的解法，属于中档题.18.
12、函数的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为.()求函数的解析式和当时的单调减区间；()的图象向右平行移动个长度单位,再向下平移1个长度单位,得到的图象,用“五点法”作出在内的大致图象.【答案】()，；()图象见解析.【解析】【分析】() 由函数的最大值为,可求得的值，由图象相邻两条对称轴之间的距离为可求得周期，从而确定的值，然后利用正弦函数的单调性解不式可得单调减区间，取特殊值即可得结果；()利用函数图象的平移变换法则，可得到的解析式，列表、描点、作图即可得结果.【详解】()函数f(x)的最大值是3,A+1=3,即A=2.函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为,最小正周期T=,=2.所以
13、f(x)=2sin(2x-)+1令+2k2x+2k,kZ,即+kx+k,kZ,x0,f(x)的单调减区间为,.()依题意得g(x)=f(x-)-1=2sin(2x-),列表得：描点连线得g(x)在0,内的大致图象.【点睛】本题主要考查三角函数的解析式、单调性、三角函数的图象变换及“五点法”作图，属于中档题.函数的单调区间的求法：(1) 代换法：若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.19.已知定义域为R的函数是奇函数.（1）求实数a的值
14、；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义加以证明；（3）若对任意的x1,2，不等式成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）a=1；（2）单调递增，证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据求出a的值，再验证即得解；（2）利用定义证明函数单调递增；（3）先利用函数的性质得到，再利用对勾函数的性质分析求解.【详解】（1）因为函数的定义域为R,所以.经检验当a=1时，有,所以.（2），函数在定义域内单调递增，证明如下：设，所以，因为，所以，所以函数在R上单调递增.（3）若对任意的x1,2，成立，所以，所以，所以.所以当且仅当时取等.所以.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，考查函数单调性的证
15、明，考查对勾函数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每秒转一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间.（1）以水轮所在平面与水面的交线为轴，以过点且与水面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点距离水面的高度（单位：米）表示为时间（单位：秒）的函数；（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点距水面的高度超过米？【答案】（1）；（2）有时间点距水面的高度超过米.【解析】【分析】（1）设，根据题意求得、的值，以及函数的最小正周期，可求得的值，根据的大小可得出的值，由此可得出关于的函数解析式；（2
16、）由得出，令，求得的取值范围，进而可解不等式，可得出的取值范围，进而得解.【详解】（1）设水轮上圆心正右侧点为，轴与水面交点为，如图所示：设，由，可得，所以.，由题意可知，函数的最小正周期为，所以点距离水面的高度关于时间的函数为；（2）由，得，令，则，由，解得，又，所以在水轮转动的任意一圈内，有时间点距水面的高度超过米.【点睛】本题考查三角函数模型的简单应用，根据题意建立函数解析式是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.21.已知定义域在上的函数满足对于任意的，都有，当且仅当时，成立.（1）设，求证；（2）设，若，试比较x1与x2的大小；（3）若，解关于x的不等式.【答案】（1）证明见解析；（
17、2）；（3）答案见解析【解析】【分析】（1）取，代入已知等式即可证得结果；（2）由，结合（1）中等式，得到，再根据当且仅当时，成立得到，从而得到；（3）在已知等式中取特值求出，由（2）可知函数f（x）在定义域上是减函数，在不等式中，用替换0后利用函数的单调性脱掉“f”，则不等式的解集可求.【详解】（1）证明：，；（2）解：，又，所以，当且仅当时，成立，当时，；（3）解：代入得，即，可得，由（2）可知函数在定义域上是减函数，当时，所以恒成立；故只需满足即成立即可；即.当时，；当时，；当时，；综上可得：当时，；当时，；当时，【点睛】本题考查了函数单调性的定义，考查了含参一元二次不等式的求解.本题的
18、关键是由已知不等式结合函数的单调性得含有参数的不等式.22.已知函数.()若的值域为，求的值；()巳，是否存在这祥的实数，使函数在区间内有且只有一个零点.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】() ；()存在，【解析】【分析】（1）的值域为，则函数必须是开口向上、与轴有唯一交点的二次函数.可以求出的值.（2）已知某函数零点个数，求参数问题，函数零点问题可以转化为方程根或者通过转化变成两图象交点个数问题.本题中令 ，则它的图象非常熟悉，而在的图象则需要考虑是否是二次函数，当确定是二次函数时，考虑函数的开口方向，对称轴与区间的位置关系（为了更好的研究函数在区间的单调性，便于考虑它的
19、性质）.【详解】()函数的值域为，则，解得.()由，即令，原命题等价于两个函数与的图象在内有唯一交点. (1)当时，上递减，在上递增，而g(1)=10=h(1)，g(2)=-11=h(2)，函数与的图象在内有唯一交点.(2)当时，图象开口向下，对称轴为，在上递减，在上递增，与的图象在内有唯一交点，当且仅当，即即.(3)当时，图象开口向上，对称轴为，在上递减，在上递增，与的图象在内有唯一交点，即即，.综上，存在实数，使函数于在区间内有且只有一个点.【点睛】（1）的值域为，可以做个简单分析，是否是二次函数，如果不是，不符合；如果是，则必须开口向上，且即可.（2）考查函数零点相关问题，可以转发为方程根或者两图象交点个数问题，如果华为两函数图象交点个数问题，需要对两边的图象都能去作图.