1、专题限时集训(十七)高考中的圆(建议用时：4 5分钟)1已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点【导学号：19592049】(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求MN.解(1)由题设，可知直线l的方程为ykx1.因为l与C交于两点，所以1，3分解得k.所以k的取值范围为. 6分(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70. 10分所以x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由题设可得812，解得k1，所以l的方程为yx1.故圆
2、心C在直线l上，所以MN2. 16分2(2015溧阳期中)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,2)，B(0,4)，圆C以线段AB为直径(1)求圆C的方程；(2)设点P是圆C上与点A不重合的一点，且OPOA，求直线PA的方程和POA的面积解(1)设圆C的圆心C(a，b)，半径为r，则a1，b3. 3分rAC.圆C的方程为(x1)2(y3)22. 6分(2)OPOA，CPCA，OC是线段PA的垂直平分线，又OC的斜率为3，PA的斜率为.直线PA的方程为y2(x2)，即x3y80. 10分点O到直线PA的距离d，OA2，PA22.POA的面积PAd. 16分3(2016连云港、徐州、淮安、宿迁四
3、市一调)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3,4)，B(9,0)，若C，D分别为线段OA，OB上的动点，且满足ACBD.图166(1)若AC4，求直线CD的方程；(2)证明：OCD的外接圆恒过定点(异于原点O)解(1)因为A(3,4)，所以OA5，又因为AC4，所以OC1，所以C，3分由BD4，得D(5,0)，所以直线CD的斜率为，所以直线CD的方程为y(x5)，即x7y50. 6分(2)证明：设C(3m,4m)(00)，则35， 10分化简得(x17)2y2152(y0)，即点P的轨迹是以点(17,0)为圆心、15为半径的圆位于x轴上方的半圆. 12分则当x17时，点P到直线AB的距离最大
4、，最大值为15千米所以点P的选址应满足在上述坐标系中其坐标为(17,15)即可. 16分5(2016扬州期中)已知直线x2y20与圆C：x2y24ym0相交，截得的弦长为.(1)求圆C的方程；(2)过原点O作圆C的两条切线，与抛物线yx2相交于M，N两点(异于原点)证明：直线MN与圆C相切；(3)若抛物线yx2上任意三个不同的点P，Q，R，且满足直线PQ和PR都与圆C相切，判断直线QR与圆C的位置关系，并加以证明【导学号：19592050】解(1)C(0,2)，圆心C到直线x2y20的距离为d，3分截得的弦长为，r2221. 6分圆C的方程为x2(y2)21.(2)证明：设过原点的切线方程为y
5、kx，即kxy0，1，解得k.过原点的切线方程为yx，不妨设yx与抛物线的交点为M，则解得M(，3)，同理可求N(，3)，直线MN为y3.圆心C(0,2)到直线MN的距离为1且r1，直线MN与圆C相切. 10分(3)直线QR与圆C相切证明如下：设P(a，a2)，Q(b，b2)，R(c，c2)，则直线PQ，PR，QR的方程分别为PQ：(ab)xyab0，PR：(ac)xyac0，QR：(bc)xybc0.PQ是圆C的切线，1，化简得(a21)b22ab3a20， 14分PR是圆C的切线，同理可得(a21)c22ac3a20.则b，c为方程(a21)x22ax3a20的两个实根，bc，bc.圆心到
6、直线QR的距离为d1r.直线QR与圆C相切. 16分6(2016泰州二模)如图168，某市有一条东西走向的公路l，现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m.在施工过程中发现O处的正北1百米的A处有一汉代古迹为了保护古迹，该市决定以A为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区为了连通公路l，m，欲再新建一条公路PQ，点P，Q分别在公路l，m上，且要求PQ与圆A相切图168(1)当P距O处2百米时，求OQ的长；(2)当公路PQ长最短时，求OQ的长解以O为原点，直线l，m分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系设PQ与圆A相切于点B，连结AB，以1百米为单位长度，则圆A的方程为x2(y1)21，(1)由题意可设直线PQ的方程为1，即qx2y2q0(q2). 3分PQ与圆A相切，1，解得q，故当P距O处2百米时，OQ的长为百米. 6分(2)设直线PQ的方程为1，即qxpypq0(p1，q2)，PQ与圆A相切，1，化简得p2，则PQ2p2q2q2， 10分令f(q)q2(q2)，f(q)2q(q2)，当2q时，f(q)时，f(q)0，即f(q)在上单调递增，f(q)在q时取得最小值，故当公路PQ长最短时，OQ的长为百米. 16分
