1、第一章集合与常用逻辑用语1.2常用逻辑用语1.2.3充分条件、必要条件课后篇巩固提升基础达标练1.(2020山东高一期中)设aR,则“a0”是“a20”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析设A=a|a0,B=a|a0=a|a0或a0推出a20;而a20不能推出a0,所以“a0”是“a20”的充分不必要条件.答案A2.集合M=x|-1x1,P=x|b-axa+b,若“a=1”是“MP”的充分条件,则b的取值范围是()A.-2,0)B.(0,2C.(-3,-1)D.(-2,2)解析因为a=1,所以P=x|b-1xb+1,因为MP,所以-1b-11或-1
2、b+11,所以0b2或-2b0,即b的取值范围是(-2,2).答案D3.(多选题)下列不等式:x1;0x1;-1x0;-1x1.其中,可以作为-1x1的充分条件的为()A.B.C.D.解析由于-1x1,显然不能使-1xa,q:x3.(1)若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围;(2)若p是q的充分不必要条件,求a的取值范围;(3)若a是方程x2-6x+9=0的根,判断p是q的什么条件.解设A=x|xa,B=x|x3.(1)若p是q的必要不充分条件,则有BA,所以a3,a的取值范围为(3,+).(3)因为方程x2-6x+9=0的根为3,则有A=B,所以p是q的充要条件.能力提升练1.设P,Q是
3、非空集合,命题甲为PQ=PQ;命题乙为:PQ,那么甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析PQ=PQP=QPQ,当PQ时,PQPQ,所以PQPQ=PQ,所以甲是乙的充分不必要条件.答案A2.(多选题)(2020鱼台高一月考)对任意实数a,b,c,下列命题中正确的是()A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件C.“ab”是“a2b2”的充分条件D.“a5”是“ab”“a2b2”为假命题,“a2b2”“ab”也为假命题,故“ab”是“a2b2”的既不充分也不必要条件,故C为假命题;D中a|a3是a|a5
4、的真子集,故“a5”是“a0”是真命题的充分不必要条件的是()A.a-1B.a0C.a-1D.a0解析因为M=a,a+1,由“xM,x+10”可得,a+10,即a-1.要找“xM,x+10”是真命题的充分不必要条件,即是找a-1对应集合的真子集.由题中选项易知B正确.答案B4.已知p:m-1xm+1,q:2x6,q是p的必要条件,但q不是p的充分条件,则实数m的取值范围为()A.(3,5)B.3,5C.(-,3)(5,+)D.(-,35,+)解析因为q是p的必要条件,q不是p的充分条件,所以由p能得到q,而由q得不到p,所以m-12,m+16,所以3m5.所以实数m的取值范围是3,5.答案B5
5、.已知集合A=x|a-2xa+2,B=x|x-2或x4,则AB=的充要条件是.解析因为AB=,所以a+24,a-2-2,所以0a2.答案0a26.已知p:m-1xm+1,q:12x23.若p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围是.解析因为p是q的必要不充分条件,12,23(m-1,m+1).则m-112,m+123,解得-13m32.当m=-13时,则有12,23-43,23;当m=32时,则有12,2312,52.综上所述,实数m的取值范围是-13,32.答案-13,327.证明:对于任意x,yR,(x-1)(y-1)=0是(x-1)2+(y-1)2=0的必要不充分条件.证明必要性:(x
6、-1)2+(y-1)2=0,x-1=0且y-1=0,(x-1)(y-1)=0,即(x-1)(y-1)=0是(x-1)2+(y-1)2=0的必要条件;充分性:(x-1)(y-1)=0,x-1=0,y-10或x-10,y-1=0或x-1=0,y-1=0,故不一定能得到(x-1)2+(y-1)2=0,即充分性不成立.综上,对于任意x,yR,(x-1)(y-1)=0是(x-1)2+(y-1)2=0的必要不充分条件.素养培优练已知a12,设二次函数f(x)=-a2x2+ax+c,其中a,c均为实数.证明:对于任意x0,1,均有f(x)1成立的充要条件是c34.证明因为a12,所以函数f(x)=-a2x2+ax+c图像的对称轴方程为直线x=a2a2=12a,且012a1,所以f(x)f12a=14+c.先证充分性:因为c34,且f(x)f12a=14+c14+34=1,所以f(x)1.再证必要性:因为f(x)1,所以只需f12a1即可.即14+c1,从而c34.综上可知,对于任意x0,1,均有f(x)1成立的充要条件是c34.