1、数学试卷 试卷满分：150分一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1已知集合，则（ ）A B C D2若有下列四个不等式：;；则下列组合中全部正确的为（ ）ABCD3.已知等差数列的前项和为，则的值等于（ ）A21B1C-42D04已知等比数列中，是方程的两根，则的值为（ ）A64BC256D5 中,若 且,则的形状是（ ）A等边三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D直角三角形6中，点D在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为（ ）ABC6D87.已知数列是等差数列，若，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时等于（ ）ABCD
2、8.已知分别为的三个内角的对边，向量，若，且，则角的大小分别为（ ）A.B.C.D.9.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何?”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少?”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）A平方尺B平方尺C平方尺D平方尺10.下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图2所示,图2中圆的半径均为1,且相邻的圆都相切,A,B,C,D是其中四个圆的圆心,则（ ） A32B28C26D2411.中，,的面积
3、为2，则的最小值为（ ）A. B.C. D.12.将正整数12分解成两个正整数的乘积有112，26，34三种，其中34是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34为12的最佳分解当pq（pq且p、qN*）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f（n）=q-p，例如f（12）=4-3=1，则数列的前2020项和为( )A. B. C. D.二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是 14.设向量满足，且，则向量在向量上的投影的数量为 15.如果一个正四棱柱与一个圆柱的体积相等，那么我们称它们是一对：“等积四棱圆
4、柱”.将“等积四棱圆柱”的正四棱柱，圆柱的表面积与高分别记为与.若，则的值为 .16.已知首项为，公比为q的等比数列满足，则首项的取值范围是_.三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分10分）如图，在中，点在边上，（1）求边的长；（2）若的面积是，求的值18. （本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，若公差，且成等比数列（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和19. （本小题满分12分）已知向量，（1）若，求的值；（2）若，方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围.20.（本小题满分12分）为了应对新冠肺炎带来的影响，某厂家举行大
5、型的促销活动，经测算某产品当促销费用为万元时，销售量万件满足现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品万件还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为万元/万件。（1） 将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；（2） 当促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？21.（本小题满分12分）设数列前项和为, 满足 （1）求数列的通项公式；（2）令 ， 求数列的前项和 ；（3）若不等式对任意的 恒成立，求实数 的取值范围22.（本小题满分12分）对于若数列满足则称这个数列为“数列”.（1）已知数列1, 是“数列”,求实数的取值范围;（2）是否存在首项为的等差数列为“数列”,且其前项和使得恒成
6、立?若存在,求出的通项公式;若不存在,请说明理由;（3）已知各项均为正整数的等比数列是“数列”,数列不是“数列”,若试判断数列是否为“数列”,并说明理由.数学试卷参考答案1.B 2.B 3.D 4.A 5.C 6.B 7.C 8.C 9.C 10.C 11.D 12.A13.1 14. 15. 16.17.（1）在中，设，则由余弦定理得：即：，解之得：即边的长为2。4分（2）由（1）得为等边三角形，作于，则，故 ，在中，由余弦定理得：在中由正弦定理得：，10分18.（1）由题意可得，即，又因为，所以，所以6分（2）因为，所以12分19.（1）由题意，向量，可得，则，因为，所以，所以，所以.6分
7、（2）由，可得，又由，可得，令，可得上单调递减，在上单调递增，又由，结合图象，要使得上有且只有一个实数根，可得或，所以使得方程有且只有一个实数根，实数的取值范围.12分20.（1）由题意知，利润，由销售量万件满足（其中，为正常数），代入化简可得：（其中，为正常数）。4分(2)由（1）知，当且仅当，即时，上式取等号，当时，促销费用投入3万元时，厂家的利润最大；当时，在上单调递增，当时，函数有最大值，即促销费用投入万元时，厂家的利润最大。综上所述，当时，促销费用投入3万元时，厂家的利润最大；当时，促销费用投入万元时，厂家的利润最大。12分21.（1） ，两式相减，得 .所以，又，即是首项为，公比是
8、的等比数列.所以 . 4分 （2） - ,得 故 8分 （3）由题意，再结合（2），知 即 . 从而设 ， .12分22.（1）由题意得解得所以实数的取值范围是3分（2）假设存在等差数列符合要求,设公差为则由得由题意,得对均成立,即当时,当时,因为所以与矛盾,所以这样的等差数列不存在.7分（3）设数列的公比为则因为的每一项均为正整数,且，所以在中,“”为最小项.同理,中,“”为最小项.由为“数列”,只需即又因为不是“数列”,且为最小项,所以即,由数列的每一项均为正整数,可得所以或当时,则令则又所以为递增数列,即所以所以对于任意的都有即数列为“数列”.当时,则因为所以数列不是“数列”.综上:当时,数列为“数列”,当时,数列不是“数列”.12分