1、基础达标若直线l过点(3，0)且与双曲线4x29y236只有一个公共点，则这样的直线共有_条解析：有两条与渐近线平行的直线：y(x3)，另外，还有一条切线x3.答案：3抛物线y22px与直线axy40的一个交点为(1，2)，则抛物线的焦点到该直线的距离是_解析：由交点坐标为(1，2)，求得a、p的值，利用点到直线距离求得焦点到该直线的距离为.答案：曲线x2y29与曲线x28y的交点坐标是_解析：由，得，交点为(2，1)答案：(2，1)过点(0，1)且与抛物线y2x只有一个公共点的直线有_条解析：一条与抛物线的对称轴平行，两条相切，共3条答案：3已知直线xy10与抛物线yax2相切，则a_解析：
2、由， 消去y得方程ax2x10.令14a0，得a.答案：若直线ykx1与椭圆1恒有公共点，则m的取值范围是_解析：因为直线过定点(0，1)恒在椭圆上或在椭圆内，所以1.又m5，所以m1且m5.答案：m1且m5过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若AB10，那么x1x2_解析：因为p2，ABx1x2p10，所以x1x28.答案：8抛物线y4x2上一点到直线y4x5的距离最短，则该点坐标为_解析：因为y4x2与y4x5不相交，设与y4x5平行的直线方程为y4xm.则4x24xm0.设此直线与抛物线相切，则有0，即1616m0，m1.将m1代入式，x，y1，
3、所求点的坐标为.答案：如图，斜率为1的直线l过椭圆y21的右焦点，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长解：设A、B两点的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，由椭圆方程知a24，b21，c23，所以F(，0)，直线l的方程为yx.将其代入x24y24，化简整理，得5x28x80.所以x1x2，x1x2.所以AB|x1x2|.已知抛物线C：y2x2，直线ykx2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交抛物线C于点N.(1)证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；(2)是否存在实数k使0？若存在，求k的值；若不存在，说明理由解：(1)证明：如图所示，设A(x1，2x)，B(x2
4、，2x)，把ykx2代入y2x2，得2x2kx20，由根与系数的关系得x1x2，x1x21，xNxM，N点的坐标为(，)设抛物线在点N处的切线l的方程为ym(x)，将y2x2代入上式得2x2mx0.直线l与抛物线C相切，m28()m22mkk2(mk)20，mk，即lAB.故抛物线C在点N处的切线与AB平行(2)假设存在实数k，使0，则NANB.又M是AB的中点，MNAB.由(1)知yM(y1y2)(kx12kx22)k(x1x2)4(4)2.MNx轴，MN|yMyN|2.又AB|x1x2| . ，解得k2.即存在k2，使0.能力提升直线yx1被椭圆1所截得的弦的中点坐标是_解析：由，消去y得
5、3x24x20，所以x1x2，所以弦的中点的横坐标为，代入yx1，得中点坐标是(，)答案：(，)已知抛物线yx23上存在关于直线xy0对称的相异两点A、B，则AB_解析：设AB的方程为yxb，与yx23联立得：x2xb30，14(b3)0，x1x21，x1x2b3.AB的中点C在xy0上；即b0解得b1符合0，弦长AB3.答案：3过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点设AOB的面积为S(O为原点)，若S的最小值为8，求此时的抛物线方程解：如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为xmy，代入y22px，得y22pmyp20，y1y2p2.又SAOBSOAFSOBF|y1|y2|(|y1|y2|)2.当且仅当|y1|y2|p时等号成立故Smin.由题意有8，p4.故所求的抛物线方程为y28x.4(创新题)已知抛物线C：yx2mx1，点A(3，0)、B(0，3)，求C与线段AB有两个不同交点时m的取值范围解：线段AB：xy30(0x3)由消去y，得x2(m1)x40.令f(x)x2(m1)x4，则方程f(x)0在0，3内有两个不同实数根的充要条件是解得3m.故所求m的取值范围为m|3m