1、突破点5数列的通项与求和(对应学生用书第167页)提炼1an和Sn的关系若an为数列an的通项，Sn为其前n项和，则有an在使用这个关系式时，一定要注意区分n1，n2两种情况，求出结果后，判断这两种情况能否整合在一起.提炼2求数列通项常用的方法(1)定义法：形如an1anc(c为常数)，直接利用定义判断其为等差数列形如an1kan(k为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列(2)叠加法：形如an1anf(n)，利用ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)，求其通项公式(3)叠乘法：形如f(n)0，利用ana1，求其通项公式(4)待定系数法：形如an1panq(其中p，q均为
2、常数，pq(p1)0)，先用待定系数法把原递推公式转化为an1tp(ant)，其中t，再转化为等比数列求解(5)构造法：形如an1panqn(其中p，q均为常数，pq(p1)0)，先在原递推公式两边同除以qn1，得，构造新数列bn，得bn1bn，接下来用待定系数法求解(6)取对数法：形如an1pa(p0，an0)，先在原递推公式两边同时取对数，再利用待定系数法求解.提炼3数列求和数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等，而裂项相消法，错位相减法是常用的两种方法回访1an与Sn的关系1(2015全国卷)设Sn是数列an的前
3、n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.an1Sn1Sn，an1SnSn1，Sn1SnSnSn1.又Sn0，1，即1.又1，是首项为1，公差为1的等差数列，1(n1)(1)n，即Sn.2(2013全国卷)若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式是an_.(2)n1当n1时，S1a1，a11.当n2时，anSnSn1an(anan1)，an2an1，即2，an是以1为首项的等比数列，其公比为2，an1(2)n1，即an(2)n1.3(2014全国卷)数列an满足an1，a82，则a1_.an1，an1111(1an2)an2，周期T(n1)(n2)3.a8a322a22.而a2，a1
4、.回访2数列求和4(2015全国卷改编)Sn为数列an的前n项和已知an0，a2an4Sn3，则(1)an的通项公式为_；(2)设bn，则数列bn的前n项和为_(1)an2n1(2)(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.，得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由an0，得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an2n1.(2)由an2n1可知bn.设数列bn的前n项和为Tn，则Tnb1b2bn.5(2014全国卷改编)已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程x2
5、5x60的根，则(1)an的通项公式为_；(2)数列的前n项和为_(1)ann1(2)2(1)方程x25x60的两根为2,3，由题意得a22，a43.设数列an的公差为d，则a4a22d，故d，从而a1.所以an的通项公式为ann1.(2)设的前n项和为Sn，由(1)知，则Sn，Sn.两式相减得Sn.所以Sn2.(对应学生用书第167页)热点题型1数列中的an与Sn的关系题型分析：以数列中an与Sn间的递推关系为载体，考查数列通项公式的求法，以及推理论证的能力.数列an中，a11，Sn为数列an的前n项和，且满足1(n2)求数列an的通项公式 【导学号：67722024】解由已知，当n2时，1
6、，所以1，2分即1，所以.4分又S1a11，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，6分所以1(n1)，即Sn.8分所以当n2时，anSnSn1.10分因此an12分给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.提醒：在利用anSnSn1(n2)求通项公式时，务必验证n1时的情形变式训练1(1)(2016合肥三模)已知数列an前n项和为Sn，若Sn2an2n ，则Sn_.(2)已知数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，且2Sn23an(nN*)，则an_.(1)n2
7、n(nN*)(2)23n1(nN*)(1)由Sn2an2n得当n1时，S1a12；当n2时，Sn2(SnSn1)2n，即1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，则n，Snn2n(n2)，当n1时，也符合上式，所以Snn2n(nN*)(2)因为2Sn23an，所以2Sn123an1，由，得2Sn12Sn3an13an，所以2an13an13an，即3.当n1时，22S13a1，所以a12，所以数列an是首项为2，公比为3的等比数列，所以an23n1(nN*)热点题型2裂项相消法求和题型分析：裂项相消法是指把数列与式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于或(其中an为
8、等差数列)等形式的数列求和.(2016威海二模)设单调数列an的前n项和为Sn,6Sna9n4，a1，a2，a6成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)由已知6Sna9n4可得，当n2时，6Sn1a9(n1)4，两式相减得6ana9na9(n1)aa9，2分整理得(an3)2a，即anan13或anan13，n2.3分an为单调数列，anan13(舍去)，即an为等差数列当n1时，6a1a5，解得a11或a15.4分若a11，则a2a134，a6a11516，满足a1，a2，a6成等比数列；若a15，则a2a138，a6a11520，不满足a1，a
9、2，a6成等比数列.5分a11，an13(n1)3n2(nN*)an13(n1)3n2.6分(2)由已知，an3n2，bn.9分设bn的前n项和为Tn，Tn(nN*).12分裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成anbnkbn(k1，kN*)的形式，常见的裂项方式有：(1)；(2)；(3)()提醒：在裂项变形时，务必注意裂项前的系数变式训练2已知等差数列an的公差d0，它的前n项和为Sn，若S570，且a2，a7，a22成等比数列，(1)求数列an的通项公式；(2)若数列的前n项和为Tn，求证：Tn.解(1)由已知及等差数列的性质得S55a3，a314，1分又a2，a7，a22成等比数列，即
10、aa2a22.2分由(a16d)2(a1d)(a121d)且d0，解得a1d，a16，d4.4分故数列an的通项公式为an4n2，nN*.6分(2)证明：由(1)得Sn2n24n，8分Tn1.10分又TnT1，所以Tn1，nN*时有ann2，所以有annN*.三、解答题9(2016太原二模)已知数列an的前n项和为Sn，首项为a1，且，an，Sn成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)数列bn满足bn(log2a2n1)(log2a2n3)，求数列的前n项和Tn.解(1)，an，Sn成等差数列，2anSn，1分当n1时，2a1S1，a1，2分当n2时，anSnSn12an2an1，2，4分
11、数列an是首项为，公比为2的等比数列，an2n2(nN*).6分(2)bnlog2a2n1log2a2n3log222n12log222n32(2n1)(2n1)，8分，10分Tn1.12分10已知首项都是1的两个数列an，bn(bn0，nN*)满足anbn1an1bn2bn1bn0.(1)令cn，求数列cn的通项公式；(2)若bn3n1，求数列an的前n项和Sn.解(1)因为anbn1an1bn2bn1bn0(bn0，nN*)，所以2，2分即cn1cn2.3分又c11，所以数列cn是以首项c11，公差d2的等差数列，故cn2n1.5分(2)由bn3n1知ancnbn(2n1)3n1，7分于是
12、数列an的前n项和Sn130331532(2n1)3n1，8分3Sn131332(2n3)3n1(2n1)3n，9分相减得2Sn12(31323n1)(2n1)3n2(2n2)3n，11分所以Sn(n1)3n1.12分B组名校冲刺一、选择题1已知函数yloga(x1)3(a0，a1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列an的第二项与第三项，若bn，数列bn的前n项和为Tn，则T10等于()A.B.C.D.Byloga(x1)3恒过定点(2,3)，即a22，a33，又an为等差数列，ann，bn，T101，故选B.2已知数列an中，a160，an1an3，则|a1|a2|a3|a30|等于()A4
13、45B765C1 080D3 105Ban1an3，an1an3，an是以60为首项，3为公差的等差数列，an603(n1)3n63.令an0，得n21，前20项都为负值|a1|a2|a3|a30|(a1a2a20)a21a302S20S30.Snnn，|a1|a2|a3|a30|765，故选B.3设数列an的前n项和为Sn，且a11，Snnan为常数列，则an()A.B.C.D.B由题意知，Snnan2，当n2时，(n1)an(n1)an1，从而，有an，当n1时上式成立，所以an.故选B.4(2016湖北七校2月联考)中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为
14、难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了()A192里B96里C48里D24里B由题意，知每天所走路程形成以a1为首项，公比为的等比数列，则378，解得a1192，则a296，即第二天走了96里故选B.二、填空题5(2016山西四校联考)已知数列an满足a11，an1an2n(nN*)，则S2 016_. 【导学号：67722026】321 0083数列an满足a11，an1an2n，n1时，a22，n2时，anan12n1，得2，数列an的
15、奇数项、偶数项分别成等比数列，S2 016321 0083.6设数列an的前n项和为Sn，若S24，an12Sn1，nN*，则a1_，S5_.1121an12Sn1，Sn1Sn2Sn1，Sn13Sn1，Sn13，数列是公比为3的等比数列，3.又S24，S11，a11，S53434，S5121.三、解答题7设数列an满足a13a232a33n1an，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Sn.解(1)因为a13a232a33n1an，所以当n2时，a13a232a33n2an1，2分得3n1an，所以an(n2).4分在中，令n1，得a1，满足an，所以an(nN
16、*).6分(2)由(1)知an，故bnn3n.则Sn131232333n3n，3Sn132233334n3n1，8分得2Sn33233343nn3n1n3n1，11分所以Sn(nN*).12分8(2016烟台二模)已知函数f(x)，数列an的前n项和为Sn，若a1，Sn1f(Sn)(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设TnSSS，当n2时，求证：4Tn2.解(1)由题意可知，Sn1，两边取倒数得：2，即2，又2，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列.3分故22(n1)2n，所以Sn，5分当n2时，anSnSn1.7分所以an8分(2)证明：由(1)可知，S，当n2时，10分所以Tn，即4Tn2.12分
