1、模块综合测评(一) (满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在数列an中，a12，an1anln，则an等于()A2ln nB2(n1)ln nC2nln n D1nln nA因为an1anln ln(n1)ln n，所以a2a1ln 2ln 1，a3a2ln 3ln 2，a4a3ln 4ln 3，anan1ln nln(n1)(n2)把以上各式分别相加得ana1ln nln 1，则an2ln n(n2)，且a12也适合，因此an2ln n(nN)2已知函数f(x)，则函数在x1处的切线方程是()A
2、2xy10 Bx2y20C2xy10 Dx2y20A由f(x)，得f(x)，又f(1)1，f(1)2因此函数在x1处的切线方程为y12(x1)，即2xy103已知函数f(x)的导函数是f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln ，则f(1)()AeB2C2DeB由已知得f(x)2f(1)，令x1得f(1)2f(1)1，解得f(1)1，则f(1)2f(1)24在数列an中，若a11，a23，an2an1an(nN)，则该数列的前100项之和是()A18 B8 C5 D2Ca11，a23，an2an1an(nN)，a3312，a4231，a5123，a6312，a7231，a8123，a9312，a
3、n是周期为6的周期数列，1001664，S10016(132132)(1321)55函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()ABCDD设导函数yf(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数yf(x)的图象易得当x(，x1)(x2，x3)时，f(x)0(其中x10x20，由f(x)x0，得0x3因为函数f(x)在区间a1，a1上单调递减，所以 解得11，且x0，所以排除选项D当x0时，由经典不等式x1ln x(x0)，以x1代替x，得xln(x1)(x1，且x0)，所以ln(x1)x1，且x0)，即x0或1x0时，均有f(x)1的n的
4、可能取值为()A4 B5 C6 D7CD数列an是各项均为正数的等比数列，且a2a4a3，aa3，a31又q1，a1a21(n3)，TnTn1(n4，nN)，T11，T2a1a21，T3a1a2a3a1a2T21，T4a1a2a3a4a11，故n的最小值为612设函数f(x)是函数f(x)(xR)的导函数，若f(x)f(x)2x3，且当x0时，f(x)3x2，令F(x)f(x)x3，则下列结论正确的是()AF(x)为偶函数BF(x)为奇函数CF(x)在(0，)上为增函数D不等式f(x)f(x1)3x23x1的解集为ACDF(x)f(x)x3，则F(x)f(x)3x2，由f(x)f(x)2x3，
5、可得F(x)F(x)，故F(x)为偶函数，又当x0时，f(x)3x2，即F(x)0，F(x)在(0，)上为增函数不等式f(x)f(x1)3x23x1可化为f(x)x3f(x1)(x1)3，F(x)F(x1)，F(|x|)F(|x1|)，由函数的单调性可知|x|x1|，解得x三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确的答案填在题中的横线上)13设f(x)ln(32x)，则f(1)_，其在x1处的切线方程是_22xy20f(x)，所以f(1)2，其在x1处的切线方程是2xy2014已知数列an的通项公式为an2nn，若数列an的前n项和为Sn，则S8_546由an2nn，可得S8(2
6、222328)(128)54615若函数f(x)ex(exm)mx有两个不同的零点，则实数m的取值范围是_(1，)法一：f(x)e2xmexmx，f(x)2e2xmexm2e2xm(ex1)，显然m0时，f(x)0，f(x)在(，)上单调递增，f(x)至多只有一个零点，不符合题意；m0时，yf(x)2e2xmexm，令tex，t0，则y2t2mtm，易知，函数在(0，)上有且仅有一个零点，记为t0，设t0e，则2emem0，t(0，t0)时，y0，即x(，x0)时，f(x)0，t(t0，)时，y0，即x(x0，)时，f(x)0，f(x)在(，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，又x时，f
7、(x)，x时，f(x)f(x)有两个不同零点，f(x)minf(x0)emem0，又由得m，代入式得：e(ex0)0，即e2x010，记g(x)ex2x1，g(x)ex20，g(x)在(，)上单调递增，又g(0)0，x00，t0e1，m1，m的取值范围为(1，)法二：当m0时，f(x)e2x0恒成立，f(x)无零点，不符合题意；当m0时，令f(x)0得e2xmexmx0，(exx)me2x，记g(x)，g(x)记h(x)ex2x1，h(x)ex20恒成立，h(x)在(，)上单调递减，又h(0)0，x(，0)时，h(x)h(0)0，g(x)0，x(0，)时，h(x)h(0)0，g(x)0，g(x
8、)在(，0)上单调递增，g(x)在(0，)上单调递减，又x时，g(x)；x时，g(x)0，g(0)1，f(x)有两个不同零点，y与g(x)有两个不同交点，01，m116已知f(x)aln xx2(a0)，若对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有2恒成立，则a的取值范围为_1，)对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有2恒成立，则当x0时，f(x)2恒成立，f(x)x2在(0，)上恒成立，则a(2xx2)max1四、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知an是各项均为正数的等比数列，a12，a32a216(1)求an的通项公
9、式；(2)设bnlog2an，求数列bn的前n项和解(1)设an的公比为q，由题设得2q24q16，即q22q80解得q2(舍去)或q4因此an的通项公式为an24n122n1(2)由(1)得bn(2n1)log222n1，因此数列bn的前n项和为132n1n218(本小题满分12分)求函数f(x)的单调区间解f(x)(x0)设h(x)ln x1(x0)，则h(x)0，所以h(x)在(0，)上单调递减由h(1)0知，当0x0，所以f(x)0；当x1时，h(x)0，所以f(x)2 020成立的最小正整数n的值解(1)令n1，得a12a2a30，解得a25由an2an1an20知，an2an1an
10、1ana2a12故数列an是首项a13，公差d2的等差数列于是an2n1所以bna2n12n1(2)由(1)知bn2n1，于是数列bn的前n项和Tnb1b2bn(21222n)nn2n1n2令f(x)2x1x2，则f(x)2x1ln 210，所以f(x)是关于x的单调递增函数又f(9)210921 031，f(10)2111022 056，故使b1b2bn2 020成立的最小正整数n的值是1020(本小题满分12分)设an是等差数列，bn是等比数列，公比大于0已知a1b13，b2a3，b34a23(1)求an和bn的通项公式；(2)设数列cn满足cn 求a1c1a2c2a2nc2n(nN)解(
11、1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q(q0)依题意，得 解得 故an33(n1)3n，bn33n13n(2)a1c1a2c2a2nc2n(a1a3a5a2n1)(a2b1a4b2a6b3a2nbn)(631123218336n3n)3n26(131232n3n)记Tn131232n3n，则3Tn132233n3n1，得，2Tn332333nn3n1n3n1所以a1c1a2c2a2nc2n3n26Tn3n23(nN)21(本小题满分12分)设函数f(x)ax2aln x，g(x)，其中aR，e2.718为自然对数的底数(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x1时，g(x)0解
12、(1)由题意得f(x)2ax(x0)当a0时，f(x)0时，由f(x)0有x，当x时，f(x)0，f(x)单调递增(2)令s(x)ex1x，则s(x)ex11当x1时，s(x)0，所以s(x)s(1)，即ex1x，从而g(x)022(本小题满分12分)已知函数f(x)ln xx2ax，aR(1)证明ln xx1；(2)若a1，讨论函数f(x)的零点个数解(1)令g(x)ln xx1(x0)，则g(1)0，g(x)1，当x(0，1)时，g(x)0，函数g(x)单调递增；x(1，)时，g(x)0令2xax010，解得x0(负值舍去)，在(0，x0)上，f(x)0，函数f(x)单调递增；在(x0，)上，f(x)1时，f(1)a10，f ln 10，f(2a)ln 2a2a22a12a221时，函数f(x)有两个零点