1、32.2空间线面关系的判定学习目标1.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系.2.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).3.能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系知识链接1用向量法如何证明线面平行？答：证平面外的直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行或直线的方向向量与平面的法向量垂直即可2用向量法如何证明线面垂直？答：证直线的方向向量与平面的法向量平行即可预习导引1空间中平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，则lmabakba1ka2，b1kb2，c1kc2，kR.(2)
2、线面平行设直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)，平面的法向量为u(a2，b2，c2)，则lauau0a1a2b1b2c1c20.(3)面面平行设平面，的法向量分别为u(a1，b1，c1)，v(a2，b2，c2)，则uvukva1ka2，b1kb2，c1kc2，kR.2空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线l的方向向量为a(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b(b1，b2，b3)，则lmabab0a1b1a2b2a3b30.(2)线面垂直设直线l的方向向量是u(a1，b1，c1)，平面的法向量是v(a2，b2，c2)，则luvukv.(3)面面垂直若平面的法向量为u(a1，b1，c1
3、)，平面的法向量为v(a2，b2，c2)，则uvuv0a1a2b1b2c1c20.要点一证明线线垂直例1如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，求证：ACBC1.证明直三棱柱ABCA1B1C1底面三边长AC3，BC4，AB5，AC、BC、C1C两两垂直如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，(3,0,0)，(0，4,4)，0.，即ACBC1.规律方法证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系写出点的坐标求直线的方向向量证明向量垂直得到两直
4、线垂直跟踪演练1已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CNCC1.求证：AB1MN.证明方法一(基向量法)设a，b，c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得|a|b|c|1，acbc0，ac，(ab)，bc，abc，(ac)(abc)cos600.，AB1MN.方法二(坐标法)设AB中点为O，作OO1AA1.以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得A(，0,0)，B(，0,0)，C(0，0)，N(0，)，B1(，0,1)，M(，0)(，)，(1,0,1)，00.，AB1MN.要点二利用空间向量证
5、明平行关系例2如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BMBD，ANAE.求证：MN平面CDE.证明因为矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以AB，AD，AF互相垂直不妨设AB，AD，AF的长分别为3a,3b,3c，以，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则各点坐标为B(3a，0,0)，D(0,3b,0)，F(0,0,3c)，E(0,3b,3c)，所以(3a,3b,0)，(0，3b，3c)因为(a，b,0)，(0，b，c)，所以(0，b，c)(3a,0,0)(a，b,0)(2a,0，c)又平面CDE的一个法向量是(0
6、,3b,0)，由(2a,0，c)(0,3b,0)0，得到.因为MN不在平面CDE内，所以MN平面CDE.规律方法利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题跟踪演练2如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PB与底面成的角为45，底面ABCD为直角梯形，ABCBAD90，PABCAD1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，说明理由解分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，设E(0，y，z)，则(0，y，z1
7、)，(0,2，1)，y(1)2(z1)0，(0,2,0)是平面PAB的法向量，又(1，y1，z)，CE平面PAB，(1，y1，z)(0,2,0)0.y1，代入得z，E是PD的中点，存在E点为PD中点时，CE平面PAB.要点三探索性问题(垂直、平行问题)例3如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点(1)求证：ACSD.(2)若SD平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC.若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由(1)证明连结BD，设AC交BD于O，则ACBD.由题意知SO平面ABCD.以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正
8、方向，建立空间直角坐标系如图设底面边长为a，则高SOa，于是S，D，B，C，则0.故OCSD.从而ACSD.(2)解棱SC上存在一点E使BE平面PAC.理由如下：由已知条件知是平面PAC的一个法向量，且，.设t，则t，而0t.即当SEEC21时，.而BE不在平面PAC内，故BE平面PAC.规律方法在数学命题中，结论常以“是否存在”的形式出现，其结果可能存在，需要找出来；可能不存在，则需要说明理由解答这一类问题时，先假设结论存在，若推证无矛盾，则结论存在；若推证出矛盾，则结论不存在跟踪演练3空间图形PABCD中，ABCD是菱形，ABC60，PAACa，PBPDa，点E在PD上，且PEED21.在
9、PC上是否存在一点F，使BF平面AEC？并证明你的结论解以A为坐标原点，AD、AP所在直线分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图所示由题设条件可得，相关各点的坐标分别为A(0,0,0)，B(a，a,0)，C(a，a,0)，D(0，a,0)，P(0，0，a)，E(0，a，a)，所以(0，a，a)，(a，a,0)，(0,0，a)，(a，a，a)，(a，a，a)，设点F是棱PC上的点，(a，a，a)，其中01，则(a，a，a)(a，a，a)(a(1)，a(1)，a(1)，令12，得即解得，1，2，即，所以当F是PC的中点时，共面又BF平面AEC，所以BF平面AE
10、C.1若平面、的法向量分别为u(2，3,5)，v(3,1，4)，则_、相交但不垂直以上均不正确答案解析平面、的法向量既不共线又不垂直2若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为u(2,0，4)，则_llll与斜交答案解析au，l.3平面的一个法向量为(1,2,0)，平面的一个法向量为(2，1,0)，则平面与平面的位置关系是_答案垂直解析(1,2,0)(2，1,0)0，两法向量垂直，从而两平面垂直4在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB于点F.求证：(1)PA平面EDB；(2)PB平面EFD.证明建立如图所示的空间直
11、角坐标系D是坐标原点，设DCa.(1)连结AC交BD于点G，连结EG，依题意得D(0,0,0)，A(a，0,0)，P(0,0，a)，E(0，)因为底面ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故点G的坐标为(，0)，所以(，0，)又(a,0，a)，所以2，这表明PAEG.而EG平面EDB，且PA平面EDB，所以PA平面EDB.(2)依题意得B(a，a,0)，(a，a，a)，(0，)，所以00，所以，即PBDE.又已知EFPB，且EFDEE，所以PB平面EFD.1用向量方法证明空间中的平行关系(1)线线平行设直线l1、l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1l2，只需证明ab，即akb (kR)
12、(2)线面平行设直线l的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明l，只需证明au，即au0.根据线面平行的判定定理：“如果直线(平面外)与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明平面外的一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可(3)面面平行转化为线线平行、线面平行处理证明这两个平面的法向量是共线向量2正确应用向量方法解决空间中的垂
13、直关系(1)线线垂直设直线l1、l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1l2，只要证明ab，即ab0.(2)线面垂直设直线l的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证l，只需证明au.根据线面垂直的判定定理，转化为直线与平面内的两条相交直线垂直即：设a、b在平面内(或与平面平行)且a与b不共线，直线l的方向向量为c，则lca且cbacbc0.(3)面面垂直根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直证明两个平面的法向量互相垂直一、基础达标1若a(1,5，1)，b(2,3,5)，若(kab)(a3b)，则实数k的值为_答案解析因为kab(k2,5k3,5k)，a3b(7，4，16)，由(
14、kab)(a3b)得，解得k.2已知点A(1,2,1)、B(1,3,4)、D(1,1,1)，若2，则|的值是_答案解析设点P(x，y，z)，则由2，得(x1，y2，z1)2(1x,3y,4z)，即解得|.3已知在四面体ABCD中，G、H分别是ABC和ACD的重心，则GH与BD的位置关系是_答案平行解析设E、F各为BC和CD的中点，则()，所以GHEF，所以GHBD.4已知空间四点A(2,3,1)，B(2，5,3)，C(10,0,10)，D(8，4，a)，如果四边形ABCD为梯形，则实数a的值为_答案9解析因为(4，8,2)，(8,5,7)，(2，4，10a)，(10,1，a1)，四边形ABCD
15、为梯形，则，解得a9，此时与不平行5若平面、的法向量分别为n1(1,2，2)，n2(3，6，6)，则平面，的位置关系是_答案平行解析n23n1，n1n2，.6已知平面上的两个向量a(2,3,1)，b(5,6,4)，则平面的一个法向量为_答案(2,1,1)解析显然a与b不平行，设平面的法向量为n(x，y，z)，则令z1，得x2，y1，n(2,1,1)7.如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分别是正方体六个表面的中心，试确定平面EFG和平面HMN的位置关系解如图，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2，易得E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，
16、H(1,1,2)，M(1,2,1)，N(0,1,1)(0，1,1)，(1,0,1)，(0,1，1)，(1,0，1)设m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分别是平面EFG，平面HMN的法向量，由得令x11，得m(1，1，1)由得令x21，得n(1，1，1)mn，故mn，即平面EFG平面HMN.二、能力提升8已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且面ABC，则等于_答案(，3)解析因为，所以0，即352z0，解得z4，又因为面ABC，所以0，0，解得x，y，所以(，3)9已知点A(1，2,11)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，则ABC的形状是_三角形答案直角解析
17、求得(5,1，7)，(2，3,1)，因为0，所以，所以ABC是直角三角形10.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为A1B1上任意一点，则DP与BC1始终_(填“垂直”或“平行”)答案垂直解析因为()()()0，所以，即DP与BC1始终垂直11.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2，BB13，D是A1C1的中点证明：A1B平面B1DC.证明如图，以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B1(0,0,3)，C(0，0)，D，A1(，0,3)(，0，3)，设平面B1DC的法向量为n(x，y，z)，
18、则取n，由于n0，且A1B平面B1DC，所以A1B平面B1DC.12.如图所示，ABC是一个正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中点求证：平面DEA平面ECA.证明建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，不妨设CA2，则CE2，BD1，C(0,0,0)，A(，1,0)，B(0,2,0)，E(0,0,2)，D(0,2,1)所以(，1，2)，(0,0,2)，(0,2，1)分别设面CEA与面DEA的法向量是n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)，则即解得即解得不妨取n1(1，0)，n2(，1,2)，因为n1n20，所以两个法向量相互垂直所以平面DEA平面ECA.
19、三、探究与创新13已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点(1)求证：A1EBD；(2)若平面A1BD平面EBD，试确定E点的位置(1)证明以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系设正方体棱长为a，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)设E(0，a，e) (0ea)(a，a，ea)，(a，a,0)，a2a2(ea)00，即A1EBD.(2)解设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)(a，a,0)，(a,0，a)，(0，a，e)，n10，n10，n20，n20.取x1x21，得n1(1，1，1)，n2(1，1，)由平面A1BD平面EBD得n1n2.20，即e.当E为CC1的中点时，平面A1BD平面EBD.