1、专训1二次函数与几何的应用名师点金：二次函数与几何的应用非常广泛，解决这类问题的关键是要学会数形结合，一方面，抓住几何图形的特征，灵活运用点的坐标与线段长度之间的相互转化，从而解决与二次函数有关的问题；另一方面，已知二次函数表达式可求出特殊点的坐标，进而求出线段长度，从而解决有关几何问题 二次函数与三角形的综合1如图，在直角坐标系xOy中，ABC是等腰直角三角形，BAC90，A(1，0)，B(0，2)，抛物线yx2bx2过点C.求抛物线对应的函数表达式(第1题) 二次函数与平行四边形的综合2如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2 cm，点A，C分别在y轴的负半轴和x轴的正
2、半轴上，抛物线yax2bxc经过点A，B，且12a5c0.(1)求抛物线对应的函数表达式(2)如果点P由点A开始沿AB边以2 cm/s的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1 cm/s的速度向点C移动一点到达终点后另一点停止移动移动开始后第t s时，设SPQ2(cm2)，试写出S与t之间的函数表达式，并写出t的取值范围当S取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P，B，Q，R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由(第2题) 二次函数与矩形、菱形、正方形的综合3二次函数yx2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，An在y轴的正半
3、轴上，点B1，B2，B3，Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3，Cn在二次函数位于第二象限的图象上四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，(第3题)四边形A2B3A3C3，四边形An1BnAnCn都是菱形，A0B1A1A1B2A2A2B3A3An1BnAn60，则菱形An1BnAnCn的周长为_4(中考孝感)如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若AEF90，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.(1)图中，若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AEEF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等(不要求证明)(2)如图，若点E
4、在线段BC上滑动(不与点B，C重合)AEEF是否总成立？请给出证明在如图所示的平面直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线yx2x1上，求此时点F的坐标(第4题)专训2探究二次函数中存在性问题名师点金：存在性问题是近年来中考的热点，这类问题的知识覆盖面广，综合性强，题型构思精巧，解题方法灵活，求解时常常要猜想或者假设问题的某种关系或结论存在，再经过分析、归纳、演算、推理找出最后的答案常见的类型有：探索与特殊几何图形有关的存在性问题，探索与周长有关的存在性问题，探索与面积有关的存在性问题 探索与相似有关的存在性问题1如图，抛物线yax2bx2经过A(4，0)，B(1，0)两点(1)求
5、出抛物线对应的函数表达式；(2)若P是抛物线上x轴上方的一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由(第1题) 探索与周长有关的存在性问题2如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，OBOA，且AOB120.(1)求点B的坐标(2)求经过A、O、B三点的抛物线对应的函数表达式(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由(第2题) 探索与面积有关的存在性问题3阅读材料：如图，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，
6、外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在ABC内部的线段的长度叫ABC的“铅垂高”(h)我们可得出一种计算三角形面积的新方法：SABCah，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半解答下列问题：如图，抛物线顶点为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB对应的函数表达式(2)求CAB的铅垂高CD及SCAB.(3)抛物线上是否存在一点P，使SPABSCAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由(第3题)4.如图，已知抛物线yx2bxc经过A(1，0)，B(0，2)两点，顶点为D.(1)求抛物线对应的函数表达式(2)将抛物线沿
7、y轴平移后经过点C(3，1)，求平移后所得抛物线对应的函数表达式(3)设(2)中平移后的抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，在此抛物线上是否存在点N，使NBB1的面积是NDD1面积的2倍？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由(第4题) 探索与平行四边形有关的存在性问题5在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4，0)，B(0，4)，C(2，0)三点(1)求抛物线对应的函数表达式(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线yx上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶
8、点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标(第5题)6如图，抛物线yx22x3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点为D.(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴(2)连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PFDE交抛物线于点 F，设点P的横坐标为m.用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？设BCF的面积为S，求S与m的函数关系式(第6题)7如图，已知抛物线yx2bxc与一直线相交于A(1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N.其顶点为D.(1)求抛物线及直线AC对应的函数表
9、达式(2)设点M(3，m)，求使MNMD的值最小时m的值(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EFBD交抛物线于点F，以B、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值(第7题)专训3几种常见的热门考点名师点金：二次函数是中考的必考内容，难度高，综合性强，既可以与代数知识相结合，也可以与几何知识相结合有关二次函数的问题，中考一般以三种形式出现：一是以选择题或填空题出现，重在考查二次函数的基本概念和基本性质；二是以实际应用题的形式出现，重在考查函数建模
10、思想；三是以综合题的形式出现，往往是压轴题，考查学生分析问题和解决问题的能力 二次函数的图象与性质1对于二次函数y(x1)22的图象，下列说法正确的是()A开口向下B对称轴是直线x1C顶点坐标是(1，2)D与x轴有两个交点2在同一平面直角坐标系内，将函数y2x24x3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是()A(3，6)B(1，4)C(1，6) D(3，4)3(2015安顺)如图，为二次函数yax2bxc(a0)的图象，则下列说法：a0；2ab0；abc0；当1x3时，y0.其中正确的个数为()A1B2C3D4(第3题)(第5题)4抛物线y2x2x1的顶点坐标
11、是_，当_时，y随x的增大而增大5如图，已知抛物线yx2bxc经过点(0，3)，请你确定一个b的值，使抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间，你所确定的b的值是_ 用待定系数法求二次函数的表达式6已知抛物线yax2bxc经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该抛物线的函数表达式为()Ay2x2x2 Byx23x2Cyx22x3 Dyx23x27已知一个二次函数的图象的顶点为(8，9)，且经过点(0，1)，则二次函数表达式为_8(中考咸宁)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下
12、表：温度t/42014植物高度增长量l/mm4149494625科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系由此可以推测，最适合这种植物生长的温度为_.9将抛物线yx2x3向上平移，使平移后的抛物线经过点C(0，2)，求平移后的抛物线的表达式10如图，抛物线yax25ax4经过ABC的三个顶点，点A，C分别在x轴、y轴上，且BCx轴，ACBC，求抛物线的表达式(第10题) 二次函数与一元二次方程或不等式的关系11抛物线y9x23x12与坐标轴的交点个数是()A3B2C1D012二次函数yax2bxc的x与y的部分对应值如下表利用二次函数图象可知，当函数值y0时，x的取值范围是()x32101
13、2345y12503430512A.x0或x2B0x2Cx1或x3 D1x313已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，则下列结论错误的是()(第13题)Aabc0B3是方程ax2bxc0的一个根Cabc0D当x1时，y随x的增大而减小14已知关于x的二次函数yx2(2m1)xm23m4.(1)探究m取不同值时，该二次函数的图象与x轴的交点的个数；(2)设该二次函数的图象与x轴的交点分别为A(x1，0)，B(x2，0)，且x12x225，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的函数表达式 二次函数的实际应用15(2015滨州)一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周
14、可卖出300件为提高利润，欲对该T恤进行涨价销售经过调查发现：每涨价1元，每周要少卖出10件请确定该T恤涨价后每周的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并求销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大 二次函数的综合应用16在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，一直角边靠在两坐标轴上，且有点A(0，2)，点C(1，0)，如图所示，抛物线yax2ax2经过点B.(1)求点B的坐标(2)求抛物线的表达式(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由(第17题)答案(第1题)1
15、解：如图，过点C作CDx轴于点D，则CADACD90.又BAC90，OABCAD90，OABACD.又ABAC，AOBCDA90，AOBCDA(AAS)，AOCD1，BOAD2，ODOAAD3，C(3，1)点C(3，1)在抛物线yx2bx2上，1323b2，解得b.抛物线对应的函数表达式为yx2x2.2解：(1)根据题意知：A(0，2)，B(2，2)A点在抛物线上，c2.12a5c0，a.由AB2知抛物线的对称轴为直线x1，1.b.抛物线对应的函数表达式为yx2x2.(2)由题意知：PB(22t) cm，BQt cm，SPQ2PB2BQ2(22t)2t2，即S5t28t4(0t1)假设存在点R
16、，可构成以P，B，R，Q为顶点的平行四边形S5t28t45(0t1)，当t时，S取得最小值，这时PB0.4 cm，BQ0.8 cm，易知P(1.6，2)，Q(2，1.2)分情况讨论：()若R在BQ的右边，这时QR綊PB，则点R的横坐标为2.4，纵坐标为1.2，即R(2.4，1.2)将x2.4代入yx2x2，得y1.2，点R在抛物线上，即这时存在R(2.4，1.2)满足题意()若R在BQ的左边，PB的上方，这时PR綊QB，则点R的横坐标为1.6，纵坐标为1.2，即R(1.6，1.2)易验证点R不在抛物线yx2x2上()若R在BQ的左边，PB的下方，这时PR綊QB，则R(1.6，2.8)易验证点R
17、不在抛物线yx2x2上综上所述，存在点R(2.4，1.2)满足题意34n4解：(1)如图，取AB的中点G，连接EG.AGE与ECF全等(第4题)(2)若点E在线段BC上滑动，AEEF总成立证明：如图，在AB上截取AMEC.ABBC，BMBE，MBE是等腰直角三角形，AME18045135.又CF平分正方形的外角，ECF135，AMEECF.而BAEAEBCEFAEB90，BAECEF，AMEECF，AEEF.如图，过点F作FHx轴于点H.易知FHBECH.设BHa，则FHa1，点F的坐标为(a，a1)点F恰好落在抛物线yx2x1上，a1a2a1，a22，a或(负值不合题意，舍去)，a11.点F
18、的坐标为(，1)1解：(1)将A(4，0)，B(1，0)的坐标分别代入yax2bx2得解得此抛物线对应的函数表达式为yx2x2.(2)存在设点P的横坐标为m，则P点的纵坐标为m2m2，AM4m，PMm2m2.又COAPMA90，当时，APMACO.即4m2，解得m12，m24(舍去)，P(2，1)当时，APMCAO.即2(4m)m2m2.解得m14，m25(均不合题意，舍去)符合条件的点P的坐标为P(2，1)(第2题)2解：(1)过点B作BDy轴于点D，则BOD1209030.由A(2，0)可得OA2，OB2.于是在RtBOD中，易得BD1，OD.点B的坐标为(1，)(2)由抛物线经过点A(2
19、，0)，O(0，0)可设抛物线对应的函数表达式为yax(x2)，将点B(1，)的坐标代入，得a，因此所求抛物线对应的函数表达式为yx2x.(3)存在如图，易知抛物线的对称轴是直线x1，当点C是抛物线的对称轴与线段AB的交点时，BOC的周长最小设直线AB对应的函数表达式为ykxb，则解得yx.当x1时，y，因此点C的坐标为.3解：(1)设抛物线对应的函数表达式为：y1a(x1)24，把A(3，0)的坐标代入求得a1.所以y1(x1)24x22x3.设直线AB对应的函数表达式为：y2kxb，由y1x22x3求得B点的坐标为(0，3)把A(3，0)，B(0，3)的坐标分别代入y2kxb中解得：k1，
20、b3，所以y2x3.(2)因为C点坐标为(1，4)，所以当x1时，y14，y22.所以CD422，SCAB323.(3)存在设P点的横坐标为x，PAB的铅垂高为h，若P在直线AB上方，则hy1y2(x22x3)(x3)x23x.由SPABSCAB得：3(x23x)3.化简得：4x212x90，解得x.将x代入y1x22x3中，解得y1.所以P点坐标为.若P在直线AB下方，则hy2y1x23x.由SPABSCAB得：3(x23x)3.化简得：4x212x90，解得x.易求得P点坐标为(，)，.综上，符合条件的点P的坐标为或(，)或.4解：(1)抛物线yx2bxc经过点A(1，0)，B(0，2)，
21、解得抛物线对应的函数表达式为yx23x2.(2)当x3时，由yx23x2得y2，可知抛物线yx23x2过点(3，2)，将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C.平移后抛物线对应的函数表达式为yx23x1.(3)存在假设存在点N，则点N在抛物线yx23x1上，可设N点坐标为(x0，x023x01)由(2)知，BB1DD11.将yx23x1配方得y，抛物线的对称轴为直线x.当x00时，易知点N不存在当0x0时，如图，同理可得1x021，x03，此时x023x011，点N的坐标为(3，1)综上，符合条件的点N的坐标为(1，1)或(3，1)(第4题)(第5(2)题)5解：(1)设抛物线对应的函数表达式
22、为ya(x4)(x2)，把B(0，4)的坐标代入，得4a(04)(02)，解得a，抛物线对应的函数表达式为：y(x4)(x2)，即yx2x4.(2)如图，过点M作MDx轴于点D，设M点的坐标为(m，n)，则ADm4，MDn，nm2m4，SSAMDS梯形DMBOSABO(m4)(n)(n4)(m)442n2m822m8m24m(m2)24(4m0)，S最大值4.(第5(3)题)(3)设P.如图，当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQOB，Q的横坐标等于P的横坐标，又点Q在直线yx上，Q(x，x)由PQOB，得4，解得x0或x4或x22.x0不合题意，舍去由此可得Q点的坐标为(4，4)或(22，
23、22)或(22，22)；如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP4，四边形PBQO为平行四边形，则BQOP4，Q点的横坐标为4，代入yx得出Q的坐标为(4，4)故满足题意的Q点的坐标有四个，分别是(4，4)，(4，4)，(22，22)，(22，22)6解：(1)A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，抛物线的对称轴是直线x1；(2)设直线BC对应的函数表达式为：ykxb，把B(3，0)，C(0，3)的坐标分别代入得：解得：所以直线BC对应的函数表达式为：yx3，当x1时，y132，E(1，2)当xm时，ym3，P(m，m3)在yx22x3中，当x1时，y4，D(1，4)，当xm时，ym
24、22m3，F(m，m22m3)，线段DE422，线段PFm22m3(m3)m23m.PFDE，当PFDE时，四边形PEDF为平行四边形由m23m2，解得：m12，m21(不合题意，舍去)，因此，当m2时，四边形PEDF为平行四边形设直线PF与x轴交于点M，由B(3，0)，O(0，0)，可得：OBOMMB3，SSBPFSCPF，即SPFBMPFOMPF(BMOM)PFOB，S3(m23m)m2m(0m3)7解：(1)由抛物线yx2bxc过点A(1，0)及C(2，3)得，解得故抛物线对应的函数表达式为yx22x3.设直线AC对应的函数表达式为ykxn，由直线过点A(1，0)及C(2，3)得解得故直
25、线AC对应的函数表达式为yx1.(2)作N点关于直线x3的对称点N，易知N(0，3)，则N(6，3)，由(1)得D(1，4)，故直线DN对应的函数表达式为yx，当M(3，m)在直线DN上时，MNMD的值最小，则m3.(3)能由(1)、(2)得D(1，4)，B(1，2)点E在直线AC上，设E(x，x1)，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F(x，x3)F在抛物线上，x3x22x3，解得x0或x1(舍去)E(0，1)；当点E在线段AC(或CA)延长线上时，点F在点E下方，则F(x，x1)F在抛物线上，x1x22x3，解得x或x.E或(，)综上，满足条件的点E为E(0，1)或或(，)(4)方法
26、一：过点P作PQx轴交AC于点Q；过点C作CGx轴于点G，如图.设Q(a，a1)，则P(a，a22a3)PQ(a22a3)(a1)a2a2.又SAPCSAPQSCPQPQAG(a2a2)3，APC的面积的最大值为.方法二：过点P作PQx轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CGx轴于点G，如图，设Q(a，a1)，则P(a，a22a3)又SAPCSAPHS直角梯形PHGCSAGC(a1)(a22a3)(a22a33)(2a)33a2a3，APC的面积的最大值为.(第7题)1C2.C3C点拨：根据函数图象开口向下可得a0，所以错误；因为抛物线与x轴的交点坐标为(1，0)，(3，0)，所以其对称轴为
27、直线x1，所以1，因此2ab0，所以正确；当x1时，yabc0，所以正确；当1x3时，y0, 所以正确所以正确4.；x5.(答案不唯一)6.D7yx22x18.19解：yx2x3，抛物线的对称轴为直线x.将此抛物线向上平移，抛物线的开口大小、方向及对称轴不变可设平移后抛物线的解析式为ya.将(0，2)代入得2a.解得a.平移后抛物线的解析式为y，即yx2x2.10解：对称轴x，且BCx轴，BCAC5.易知OC4，OA3，即A(3，0)9a15a40，a.抛物线的解析式为yx2x4.11A12.D13.D14解：(1)令y0，得x2(2m1)xm23m40，(2m1)24(m23m4)16m15
28、.当0时，方程有两个不相等的实数根，即16m150，m，此时二次函数的图象与x轴有两个交点；当0时，方程有两个相等的实数根，即16m150，m，此时二次函数的图象与x轴只有一个交点；当0时，方程没有实数根，即16m150，m，此时二次函数的图象与x轴没有交点(2)由一元二次方程根与系数的关系得x1x22m1，x1x2m23m4，x12x22(x1x2)22x1x2(2m1)22(m23m4)2m210m7.x12x225，2m210m75.m25m60.解得m16，m21.m，m1.yx23x2.令x0，得y2，二次函数的图象与y轴的交点C的坐标为(0，2)又yx23x2，顶点M的坐标为(，)
29、设过点C(0，2)与M(，)的直线的函数解析式为ykxb，则解得直线CM的函数解析式为yx2.15解：由题意，得y(x40)30010(x60)，即y10x21 300x36 000(60x90)配方，得y10(x65)26 250.当x65时，y有最大值6 250.因此，当该T恤销售单价定为65元时，每周的销售利润最大(第16题)16解：(1)如图，过点B作BDx轴，垂足为D.BCDACO90，ACOCAO90，BCDCAO.又BDCCOA90，CBAC，BCDCAO，BDOC1，CDOA2，点B的坐标为(3，1)(2)抛物线yax2ax2经过点B(3，1)，19a3a2，解得a.抛物线的解析式为yx2x2.(3)假设存在点P，使得ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形(如图所示)若以点C为直角顶点，则延长BC至点P1，使得P1CBC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1Mx轴于点M，CP1BC，MCP1BCD，P1MCBDC90，MP1CDBC，CMCD2，P1MBD1，可求得点P1的坐标为(1，1)；若以点A为直角顶点，则过点A作AP2CA，且使得AP2AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2Ny轴于点N，同理可证AP2NCAO，NP2OA2，ANOC1，可求得点P2的坐标为(2，1)经检验，点P1(1，1)与点P2(2，1)都在抛物线yx2x2上