1、高考总复习：古典概型与几何概型 编稿：孙永钊 审稿：张林娟【考纲要求】1、理解古典概型及其概率计算公式；了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2、会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；了解几何概型的意义。【知识网络】随机事件的概率古典概型几何概型应用【考点梳理】知识点一、古典概型1. 定义具有如下两个特点的概率模型称为古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。2. 古典概型的基本特征（1）有限性：即在一次试验中，可能出现的结果，只有有限个，也就是说，只有有限个不同的基本事件。（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。3
2、.古典概型的概率计算公式由于古典概型中基本事件发生是等可能的，如果一次试验中共有种等可能的结果，那么每一个基本事件的概率都是。如果某个事件A包含个基本事件，由于基本事件是互斥的，则事件A发生的概率为其所含个基本事件的概率之和，即。所以古典概型计算事件A的概率计算公式为：4.求古典概型的概率的一般步骤：（1）算出基本事件的总个数； （2）计算事件A包含的基本事件的个数；（3）应用公式求值。 5古典概型中求基本事件数的方法：（1）穷举法；（2）树形图；（3）排列组合法。利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。知识点二、几何概型1. 定义：事件A理解为区域的某一子区域A
3、，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。2.几何概型的两个特点：（1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的；（2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。3.几何概型的概率计算公式：随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。所以几何概型计算事件A的概率计算公式为：其中表示试验的全部结果构成的区域的几何度量，表示构成事件A的区域的几何度量。要点诠释：用几何概型的概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，
4、并对几何图形进行相应的几何度量. 对于一些简单的几何概型问题，可以快捷的找到解决办法.【典型例题】类型一、古典概型【例1】连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.（1）写出这个试验的基本事件；（2）求这个试验的基本事件的总数；（3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件?【思路点拨】利用古典概型步骤进行求解：（1）算出基本事件的总个数； （2）计算事件A包含的基本事件的个数；（3）应用公式求值。 【解析】（1）这个试验的基本事件=（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）；（2）基本事件的
5、总数是8.（3）“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）.【总结升华】一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件.举一反三：【变式】一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：有一面涂有色彩的概率；有两面涂有色彩的概率；有三面涂有色彩的概率.【解析】在个小正方体中：一面涂有色彩的有个，两面涂有色彩的有个，三面涂有色彩的有个，所以一面涂有色彩的概率为；两面涂有色彩的概率为；有三面涂有色彩的概率【例2】抛掷两颗骰子，求：（1）点数之和出现7点的概率；（2）出现两个4点的概率
6、.【思路点拨】根据条件列举出事件A所包含基本事件个数。【解析】作图，从下图中容易看出基本事件空间与点集S=（x，y）|xN，yN，1x6，1y6中的元素一一对应.因为S中点的总数是66=36（个），所以基本事件总数n=36.（1）记“点数之和出现7点”的事件为A，从图中可看到事件A包含的基本事件数共6个：（6，1），（5，2），（4，3），（3，4），（2，5），（1，6），所以P（A）=.（2）记“出现两个4点”的事件为B，则从图中可看到事件B包含的基本事件数只有1个：（4，4）.所以P（B）=.【总结升华】在古典概型下求P（A），关键要找出A所包含的基本事件个数然后套用公式【例3】在一次口
7、试中，考生要从5道题中随机抽取3道进行回答，答对其中2道题为优秀，答对其中1道题为及格，某考生能答对5道题中的2道题，试求：（1）他获得优秀的概率为多少；（2）他获得及格及及格以上的概率为多少；【思路点拨】这是一道古典概率问题，须用枚举法列出基本事件数.【解析】设这5道题的题号分别为1,2，3，4，5，则从这5道题中任取3道回答，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4）,（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个基本事件（1）记“获得优秀”为事件A，则随机事件A中包含的基本事件个数为3，故（2）记“获得及格及及
8、格以上”为事件B，则随机事件B中包含的基本事件个数为9，故【总结升华】使用枚举法要注意排列的方法，做到不漏不重.举一反三：【变式】从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.【解析】每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2），（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）.其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则A=（a1，b1），（a2，b
9、1），（b1，a1），（b1，a2） 事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）=【例4】甲、乙两个均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，将这两个玩具同时掷一次.（1）若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少?（2）两个玩具的数字之和共有多少种不同结果?其中数字之和为12的有多少种情况?数字之和为6的共有多少种情况?分别计算这两种情况的概率.【思路点拨】这是一道古典概率问题，须用枚举法列出基本事件数.【解析】（1）甲有6种不同的结果，乙也有6种不同的结果，故基本事件总数为66=36个.其中十位数
10、字共有6种不同的结果，若十位数字与个位数字相同，十位数字确定后，个位数字也即确定.故共有61=6种不同的结果，即概率为.（2）两个玩具的数字之和共有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12共11种不同结果.从中可以看出，出现12的只有一种情况，概率为.出现数字之和为6的共有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）五种情况，所以其概率为.【总结升华】使用枚举法要注意排列的方法，做到不漏不重.举一反三：【变式】某校要从艺术节活动中所产生的4名书法比赛一等奖的同学和2名绘画比赛一等奖的同学中选出2名志愿者，参加广州亚运会的服务工作。求：（1）选出的2名志愿者都是获得书法比赛
11、一等奖的同学的概率；（2）选出的2名志愿者中1名是获得书法比赛一等奖，另1名是获得绘画比赛一等奖的同学的概率.【解析】把4名获书法比赛一等奖的同学编号为1，2，3，4 . 2名获绘画比赛一等奖的同学编号为5，6. 从6名同学中任选2名的所有可能结果如下：（1，2）, (1,3) , (1,4) , (1,5) ,(1,6), (2,3) ,(2,4),(2,5),(2,6), (3,4), (3,5),(3,6) ,(4,5), (4,6), (5,6),共15个. （1）从6名同学中任选2名，都是书法比赛一等奖的所有可能是（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）
12、，共6个。 所以选出的2名志愿者都是书法比赛一等奖的概率 (2) 从6名同学中任选2名，1名是书法比赛一等奖，另1名是绘画比赛一等奖的所有可能是（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）共8个。所以选出的2名志愿者1名是书法比赛一等奖，另1名是绘画比赛一等奖的概率是 类型二、与长度有关的几何概型1如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为2将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用
13、几何概型来求解。【例4】在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接的等边三角形边长的概率是 【思路点拨】解决概率问题先判断属于什么概率模型，本题属几何概型，把问题转化为化成：直径上到圆心O的距离小于的点构成的线段长与直径长之比。【解析】记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF（此时F为OE中点），由几何概型公式得：。【总结升华】将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每
14、一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解。举一反三：【变式】取一根长度为60cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于20cm的概率有多大？60cm20cm20cm60cm【解析】从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为60cm的绳子上的任意一点.如上图,记“剪得两段绳子的长度都不小于20cm”为事件A,把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于中间一段的长度等于绳子长的,于是事件A发生的概率P(A)= .【例5】平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半
15、径ra的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率【思路点拨】本题属几何概型，把问题转化为化成：长度之比。2aroM【解析】把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A，为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，如图所示，这样线段OM长度（记作OM）的取值范围就是o,a，只有当rOMa时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是P（A）=如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：类型三、与面积（体积）有关的几何概型1如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：2“面积比”是求几何概率的一种
16、重要类型，也是在高考中常考的题型。3如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为：【例6】【高清视频：古典概型与几何概型例题4】如图，射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色，金色靶心叫做“黄心”。奥运会的比赛靶面直径是122cm，靶心直径是12.2cm，运动员在70米外射箭。假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，那么射中“黄心”的概率是多少？【思路点拨】求出大圆的面积n和“黄心”的面积m，再由几何概型的概率求法得。【解析】记“射中黄心”为事件B，由于中靶点随机地落在面积为的大圆内，而当中靶点落在面积为的黄心
17、时，事件B发生，于是事件B发生的概率为，即“射中黄心”的概率是0.01。【总结升华】1如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：2“面积比”是求几何概率的一种重要类型，也是在高考中常考的题型。举一反三：【变式】设有关于的一元二次方程（）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率（）若a是从区间0,3任取的一个数，b是从区间0,2任取的一个数，求上述方程有实根的概率【答案】设事件为“方程有实根”当，时，方程有实根的充要条件为（）基本事件共12个：其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值事件中包含9个基本
18、事件，事件发生的概率为（）试验的全部结束所构成的区域为构成事件的区域为所以所求的概率为【例7】将长为的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.【解析】设A=“3段构成三角形”，x,y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为.0ll则实验的全部结果可构成集合，要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第三段，故所求结果构成的集合所求的概率为【总结升华】用几何概型解题的一般步骤是：（1）适当选择观察角度；（2）把基本事件转化为与之相应的区域；（3）把事件A转化为与之对应的区域；（4）利用概率公式计算.举一反三：【变式】 一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求海豚嘴尖离岸
19、边不超过2 m的概率. 【解析】对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.如下图，区域是长30 m、宽20 m的长方形.图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在下图中阴影部分的概率.由于区域的面积为3020=600（m2），阴影A的面积为30202616=184（m2）.P（A）=.类型四、生活中的几何概型【例8】【高清视频：古典概型与几何概型例题3】两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21：00各时刻相见的可能性是
20、相等的，求两人在约定时间内相见的概率。【思路点拨】两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即小时。设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，当且仅当，因此转化成面积问题，利用几何概型求解。【解析】设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当。两人到达约见地点所有时刻（x,y）的各种可能结果可用图中的单位正方形内（包括边界）的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻（x,y）的各种可能结果可用图中的阴影部分（包括边界）不表示。因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为【总结升华】
21、对于活生生中的几何概型问题：（1）要注意实际问题中的可能性的判断；（2）将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的点，便可构造出度量区域。（3）如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为：。解决此类问题事件A的角必须含在事件的全部构成的角之内。举一反三：【变式】两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去. 求两人能够会面的概率. 【答案】设两人到达的时间分别为7点到8点之间的x分钟、y分钟.用表示每次试验的结果，则所有可能结果为：；记两人能够会面为事件A，则事件A的可能结果为：.如图所示，试验全部结果构成区域为正方形ABCD. 而事件A所构成区域是正方形内两条直线所夹中间的阴影部分. 根据几何概型公式，得到：所以，两人能够会面的概率为.