1、复习课(一)推理与证明归纳与类比近几年的高考中归纳推理和类比推理有时考查，考查的形式以填空题为主，其中归纳推理出现的频率较高，重点考查归纳、猜想、探究、类比等创新能力1归纳推理的特点及一般步骤2类比推理的特点及一般步骤典例(1)观察下列等式：1，1，1，据此规律，第n个等式可为_(2)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则_.解析(1)等式的左边的通项为，前n项和为1；右边的每个式子的第一项为，共有n项，故为.(2)正四面体的内切球与外接球的半径之比为13，故.答案
2、(1)1(2)类题通法(1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误1蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数则f(4)_，f(n)_.解析：因为f(1)1，f(2)716，f(3)191612，所以f(
3、4)16121837，所以f(n)1612186(n1)3n23n1.答案：373n23n12若数列an为等差数列，Sn为其前n项和，则有性质“若SmSn(m，nN且mn)，则Smn0.”类比上述性质，相应地，当数列bn为等比数列时，写出一个正确的性质：_.答案：数列bn为等比数列，Tm表示其前m项的积，若TmTn(m，nN，mn)，则Tmn1综合法与分析法(1)综合法与分析法是高考重点考查内容，一般以某一知识点作为载体，考查由分析法获得解题思路以及用综合法有条理地表达证明过程(2)理解综合法与分析法的概念及区别，掌握两种方法的特点，体会两种方法的相辅相成、辩证统一的关系，以便熟练运用两种方法
4、解题(1)综合法：是从已知条件推导出结论的证明方法；综合法又叫做顺推证法或由因导果法(2)分析法：是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即要证”“只需证”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立典例设a0，b0，ab1，求证：8.证明法一：综合法因为a0，b0，ab1，所以1ab2，ab，所以4，又(ab)24，所以8(当且仅当ab时等号成立)法二：分析法因为a0，b0，ab1，要证8.只要证8，只要证8，即证4.也就是证4.即证2，由基本不等式可知，当a0，b0时，2成立
5、，所以原不等式成立类题通法综合法和分析法的特点(1)综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式(2)分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件1若abcd0且adbc，求证：.证明：要证，只需证()2()2，即ad2bc2，因adbc，只需证，即adbc，设adbct，则adbc(td)
6、d(tc)c(cd)(cdt)0，故adbc成立，从而成立2定义在R上的函数yf(x)，f(0)0，当x0时，f(x)1，且对任意的a，bR有f(ab)f(a)f(b)(1)证明：f(0)1；(2)证明：对任意的xR，恒有f(x)0.证明：(1)令ab0，得f(0)f(0)f(0)，又f(0)0，所以f(0)1.(2)由已知当x0时，f(x)1，由(1)得f(0)1，故当x0时，f(x)0成立当x0，所以f(x)1，而f(xx)f(x)f(x)，所以f(x)，可得0f(x)0成立反证法(1)反证法是证明问题的一种方法，在高考中很少单独考查，常用来证明解答题中的一问(2)反证法是间接证明的一种基
7、本方法，使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾1使用反证法应注意的问题：利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的2一般以下题型用反证法：(1)当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确；(2)否定性命题、唯一性命题，存在性命题、“至多”“至少”型命题；(3)有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及无限个元素，用直接证明比较困难，往往用反证法典例(1)否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为()Aa，b，c都是偶数Ba，b，c都是奇数Ca，b，c中至少有两个偶数Da，b，c中都是奇数或至少有
8、两个偶数(2)已知：ac2(bd)求证：方程x2axb0与方程x2cxd0中至少有一个方程有实数根解析(1)自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数”答案D(2)证明：假设两方程都没有实数根则1a24b0与2c24d0，有a2c22ac，即ac0，f(x)，令a11，an1f(an)，nN.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论解(1)a11，a2f(a1)f(1)；a3f(a2)；a4f(
9、a3).猜想an(nN)(2)证明：易知，n1时，猜想正确假设nk(kN)时猜想正确，即ak，则ak1f(ak).这说明，nk1时猜想正确由知，对于任何nN，都有an.类题通法与“归纳猜想证明”相关的常用题型的处理策略(1)与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明(2)与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法1设数列an的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn1)2anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn_.解析：由(S11)2S得：S1；由(S21)2(S2S1)S2得：S2；由(S31)2(S3S
10、2)S3得：S3.猜想Sn.答案： 2已知正项数列an中，对于一切的nN均有aanan1成立(1)证明：数列an中的任意一项都小于1；(2)探究an与的大小关系，并证明你的结论解：(1)证明：由aanan1得an1ana.在数列an中，an0，an10，ana0，0an1，故数列an中的任何一项都小于1.(2)由(1)知0a11，那么a2a1a2，由此猜想an.下面用数学归纳法证明：当n2，且nN时猜想正确当n2时已证；假设当nk(k2，且kN)时，有ak成立，即，那么ak1aka22，当nk1时，猜想正确综上所述，对于一切nN，都有an1.证明：由题意知f(x)1等价于xln xxex.设函
11、数g(x)xln x，则g(x)1ln x.所以当x时，g(x)0.故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，)上的最小值为g.设函数h(x)xex，则h(x)ex(1x)所以当x(0,1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0时，g(x)h(x)，即f(x)1.12各项都为正数的数列an满足a11，aa2.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：对一切nN恒成立解：(1)aa2，数列a为首项为1，公差为2的等差数列，a1(n1)22n1，又an0，则an.(2)证明：由(1)知，即证1.当n1时，左边1，右边1，所以不等式成立当n2时，左边右边，所以不等式成立假设当nk(k2，kN)时不等式成立，即1，当nk1时，左边1.所以当nk1时不等式成立由知对一切nN不等式恒成立
